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Liban • Mai 2016
Sujet complet • 20 points
Sujet complet du Liban 2016
Exercice 1 (4 points) QCM sur les fonctions et les probabilités
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n'est demandée.
▶ 1. La représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur ℝ est tracée ci-dessous ainsi que les tangentes respectives aux points d'abscisses – 3 et 0.
a) f′(0) = – 1
b) f′(– 1) = 0
c) f′(– 3) = – 1
d) f′(– 3) = 3
▶ 2. On note g la fonction définie sur l'intervalle 
par :
.
a) 
c) 
b) 
d) 
▶ 3. On considère la fonction h définie sur [0 7] et représentée par la courbe ci-dessous :
a) 
c) 
b) 
d) 
▶ 4. On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la dérivée k″ d'une fonction k définie sur 
.
a) k est concave sur l'intervalle [1 2]
b) k est convexe sur l'intervalle [1 2]
c) k est convexe sur 
d) k est concave sur 
Exercice 2 (5 points) Équipement de collégiens et lycéens en téléphones portables et nombre de SMS envoyés
Commun à tous les candidats
Les parties A et B sont indépendantes.
partie A
Un centre de loisirs destiné aux jeunes de 11 ans à 18 ans compte 60 % de collégiens et 40 % de lycéens.
Le directeur a effectué une étude statistique sur la possession de téléphones portables. Cette étude a montré que 80 % des jeunes possèdent un téléphone portable et que, parmi les collégiens, 70 % en possèdent un.
On choisit au hasard un jeune du centre de loisirs et on s'intéresse aux événements suivants :
C : « le jeune choisi est un collégien »
L : « le jeune choisi est un lycéen »
T : « le jeune choisi possède un téléphone portable ».
Rappel des notations
Si A et B sont deux événements, p(A) désigne la probabilité que l'événement A se réalise et pB(A) désigne la probabilité de A sachant que l'événement B est réalisé. On note aussi 
l'événement contraire de A.
▶ 1. Donner les probabilités : p(C), p(L), p(T), pC(T). (1 point)
▶ 2. Faire un arbre de probabilités représentant la situation et commencer à le renseigner avec les données de l'énoncé. (0,5 point)
▶ 3. Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien possédant un téléphone portable. (0,5 point)
▶ 4. Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien sachant qu'il possède un téléphone portable. (0,5 point)
▶ 5. a) Calculer p(T ∩ L), en déduire pL(T). (0,5 point)
b) Compléter l'arbre construit dans la question 2. (0,25 point)
partie B
En 2012, en France, selon une étude publiée par l'Arcep (Autorité de régulation des communications électroniques et des postes), les adolescents envoyaient en moyenne 83 SMS (messages textes) par jour, soit environ 2 500 par mois. On admet qu'en France le nombre de SMS envoyés par un adolescent en un mois peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance μ = 2 500 et d'écart-type σ = 650.
Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les probabilités arrondies au millième.
▶ 1. Calculer la probabilité qu'un adolescent envoie entre 2 000 et 3 000 SMS par mois. (0,5 point)
▶ 2. Calculer p(X ≥ 4 000). (0,5 point)
▶ 3. Sachant que p(X ≤ a) = 0,8, déterminer la valeur de a. On arrondira le résultat à l'unité. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé. (0,75 point)
Exercice 3 (5 points) Nombre de contrats d'entretien de piscines souscrits auprès d'une entreprise
Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L
L'entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d'entretien aux propriétaires de piscines privées.
Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année, 12 % de contrats supplémentaires sont souscrits et 6 contrats résiliés. Il se fonde sur ce constat pour estimer le nombre de contrats annuels à venir.
En 2015, l'entreprise PiscinePlus dénombrait 75 contrats souscrits.
On modélise la situation par une suite (un), où un représente le nombre de contrats souscrits auprès de l'entreprise PiscinePlus l'année 2015 + n. Ainsi, on a u0 = 75.
▶ 1. a) Estimer le nombre de contrats en 2016. (0,5 point)
b) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :
. (0,5 point)
▶ 2. L'entreprise PiscinePlus peut prendre en charge un maximum de 100 contrats avec son nombre actuel de salariés. Au-delà, l'entreprise devra embaucher davantage de personnel.
On cherche à connaître en quelle année l'entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise l'algorithme suivant :
| L1 L2 L3 L4 L5 | Variables : Traitement : | n est un nombre entier naturel U est un nombre réel Affecter à n la valeur 0 Affecter à U la valeur 75 Tant que U ≤ 100 faire | |
| L6 L7 | n prend la valeur n + 1 U prend la valeur 1,12 U – 6 | ||
| L8 L9 | Sortie | Fin Tant que Afficher ……… | |
a) Recopier et compléter la ligne L9. (0,25 point)
b) Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l'algorithme ci-dessus. (0,75 point)
| Valeur de n | 0 | ||
| Valeur de U | 75 |
c) Donner la valeur affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme, puis interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice. (0,5 point)
▶ 3. On rappelle que, pour tout entier naturel n, on a :
et 
.
On pose, pour tout entier naturel n :
.
a) Montrer que la suite 
est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme. (1 point)
b) En déduire l'expression de 
en fonction de n puis montrer que, pour tout entier naturel n, on a :
. (0,5 point)
c) Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation 
. (0,75 point)
d) Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on ? (0,25 point)
Exercice 3 (5 points) Choix pour l'entretien de piscines
Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
L'entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d'entretien aux propriétaires de piscines privées.
C'est la seule entreprise dans les environs. Aussi, les propriétaires de piscines n'ont que deux choix possibles : soit ils s'occupent eux-mêmes de l'entretien de leur piscine, soit ils souscrivent un contrat avec l'entreprise PiscinePlus.
On admet que le nombre de propriétaires de piscines est constant.
Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année :
12 % des particuliers qui entretenaient eux-mêmes leur piscine décident de souscrire un contrat avec l'entreprise PiscinePlus
20 % de particuliers sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus décident de le résilier pour entretenir eux-mêmes leur piscine.
Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets C et L où :
C est l'événement « Le particulier est sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus »
L est l'événement « Le particulier effectue lui-même l'entretien de sa piscine ».
Chaque année, on choisit au hasard un particulier possédant une piscine et on note pour tout entier naturel n :
cn la probabilité que ce particulier soit sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus l'année 2015 + n
ln la probabilité que ce particulier entretienne lui-même sa piscine l'année 2015 + n.
On note Pn = (an bn) la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année 2015 + n.
Dans cet exercice, on se propose de savoir si l'entreprise PiscinePlus atteindra l'objectif d'avoir au moins 35 % des propriétaires de piscines comme clients sous contrat d'entretien.
partie A
▶ 1. Dessiner le graphe probabiliste représentant cette situation et donner la matrice de transition associée au graphe dont les sommets sont pris dans l'ordre C et L. (0,75 point)
▶ 2. a) Montrer que l'état stable de ce graphe est 
(0,75 point)
b) Déterminer, en justifiant, si l'entreprise PiscinePlus peut espérer atteindre son objectif. (0,5 point)
partie B
En 2015, on sait que 15 % des propriétaires de piscines étaient sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus. On a ainsi 
.
▶ 1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :
cn+1 = 0,68 cn + 0,12. (0,5 point)
▶ 2. À l'aide d'un algorithme, on cherche à connaître au bout de combien d'années l'entreprise PiscinePlus atteindra son objectif.
| L1 L2 L3 L4 L5 | Variables : Traitement : | n est un nombre entier naturel C est un nombre réel Affecter à n la valeur 0 Affecter à C la valeur 0,15 Tant que C 0,35 faire | |
| L6 L7 | n prend la valeur n + 1 C prend la valeur 0,68 C + 0,12 | ||
| L8 L9 | Sortie : | Fin Tant que Afficher n | |
a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l'algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats au millième. (0,75 point)
| Valeur de n | 0 | ||
| Valeur de C | 0,15 |
b) Donner la valeur affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme, puis interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. (0,25 point)
▶ 3. On rappelle que, pour tout entier naturel n, on a :
et que 
.
On pose, pour tout entier naturel n, 
.
a) Montrer que la suite 
est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme. (0,75 point)
On admet que, pour tout entier naturel n, on a :
.
b) Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation 
. (0,5 point)
c) Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on ? (0,25 point)
Exercice 4 (5 points) Étude d'une fonction application au bénéfice d'une entreprise
Commun à tous les candidats
Soit f la fonction définie sur l'intervalle [3 13] par :
f(x) = – 2x + 20 – e–2x+10.
partie A Étude de la fonction f
▶ 1. Montrer que la fonction dérivée f′ de la fonction f, définie pour tout x de l'intervalle [3 13], a pour expression :
(0,75 point)
▶ 2. a) Résoudre dans l'intervalle [3 13] l'inéquation f′(x) ≥ 0. (0,5 point)
b) En déduire le signe de f′(x) sur l'intervalle [3 13] et dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle. Les valeurs du tableau seront, si besoin, arrondies à 10–3. (0,75 point)
c) Calculer l'intégrale 
. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10–3 près. (1 point)
partie B Application
Une usine fabrique et commercialise des toboggans. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 300 et 1 300. On suppose que toute la production est commercialisée.
Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de x centaines de toboggans est modélisé sur l'intervalle [3 13] par la fonction f.
En utilisant la partie A, répondre aux questions suivantes :
▶ 1. Déterminer le nombre de toboggans que l'usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et donner ce bénéfice, arrondi à l'euro. (0,5 point)
▶ 2. Calculer le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 300 et 1 300 toboggans. Arrondir le résultat à l'euro. (0,5 point)
partie C Rentabilité
Pour être rentable, l'usine doit avoir un bénéfice positif.
Déterminer le nombre minimum et le nombre maximum de toboggans que l'usine doit fabriquer en un mois pour qu'elle soit rentable. Justifier la réponse. (1 point)
Les clés du sujet
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 35 minutes
Les thèmes en jeu
Dérivée • Tangente • Fonction logarithme népérien • Convexité • Intégrale, calculs d'aire.
Les conseils du correcteur
▶ 1. Déterminez les coefficients directeurs des tangentes représentées.
▶ 2. Utilisez les résultats du cours sur la dérivée du produit de deux fonctions et la dérivée de la fonction ln.
▶ 4. La courbe représentée est celle de la dérivée seconde k″. Le signe de k″ est lié à la convexité de la fonction k.
Exercice 2 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale.
Les conseils du correcteur
Partie A
▶ 3. La probabilité demandée est la probabilité de l'intersection de deux événements.
▶ 4. La probabilité cherchée est une probabilité conditionnelle.
Partie B
▶ 3. Utilisez la fonction InvN, InvNorm ou FracNormale de la calculatrice.
Exercice 3 (Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.
Les conseils du correcteur
▶ 1. b) Une quantité qui augmente de 12 % est multipliée par 1,12.
▶ 2. b) N'oubliez pas, à chaque étape, de comparer U et 100 l'algorithme s'arrête (on sort de la boucle « Tant que ») dès que 
.
▶ 3. a) Si 
, alors 
.
c) Utilisez la fonction logarithme népérien.
Exercice 3 (Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 45 minutes
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage • Suite géométrique • Fonction logarithme népérien • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Graphe probabiliste • Matrice.
Les conseils du correcteur
Partie A
▶ 1. Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d'un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1. La matrice de transition est une matrice carrée à deux lignes et deux colonnes, telle que la somme des deux coefficients d'une même ligne est égale à 1.
▶ 2. a) L'état stable est représenté par l'unique matrice ligne P dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que PM = M, où M est la matrice de transition associée au graphe.
▶ 2. b) Utilisez l'état stable étudié à la question précédente.
Partie B
▶ 1. N'oubliez pas que, pour tout entier naturel n, 
.
▶ 2. a) L'algorithme s'arrête (on sort de la boucle « Tant que ») dès que C ≥ 0,35.
▶ 2. b) Utilisez la fonction logarithme népérien.
Exercice 4 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 50 minutes
Les thèmes en jeu
Dérivée • Variations d'une fonction • Fonction exponentielle • Intégrale, calculs d'aire • Valeur moyenne d'une fonction.
Les conseils du correcteur
Partie B
▶ 2. Utilisez la définition de la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle et le résultat de la question 2. c) de la partie A.
Partie C
Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires pour étudier les solutions de l'équation f(x) = 0 et le signe de f(x) suivant les valeurs de x.
Corrigé
Exercice 1
Commun à tous les candidats
▶ 1. Déterminer un nombre dérivé par lecture graphique
Pour tout réel a, f′(a) est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse a.
car au point d'abscisse 0, Cf a une tangente parallèle à l'axe des abscisses la réponse a) est donc fausse.
car la tangente à Cf au point d'abscisse – 1 n'est pas parallèle à l'axe des abscisses la réponse b) est donc fausse.
La tangente à Cf au point d'abscisse – 3 passe par les points de coordonnées (– 3 3) et (– 2 2) donc son coefficient directeur est :
et 
.
car la tangente à Cf au point d'abscisse – 3 a un coefficient directeur négatif la réponse d) est fausse.
La bonne réponse est c).
▶ 2. Calculer la dérivée d'une fonction
On calcule la dérivée de g en appliquant la formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions pour tout réel x strictement positif :
.
La bonne réponse est d).
▶ 3. Donner par lecture graphique la valeur exacte ou un encadrement d'une intégrale
Info
On dit aussi « aire sous la courbe de h entre 0 et 5 ».
La fonction h est continue sur [0 7], donc sur [0 5].
représente donc l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe Ch, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation 
.
Info
Le domaine défini ci-avant contient 20 « rectangles unités » entiers et quelques portions de rectangles.
Par lecture graphique, on observe que cette aire est comprise entre 20 et 30.
La bonne réponse est b).
▶ 4. Étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle
k est concave sur [1 2] car, d'après la courbe donnée, k″ est négative sur cet intervalle.
Notez bien
Si k était convexe sur [0 + ∞[, alors à plus forte raison, k serait convexe sur [0 2].
k n'est convexe ni sur [0 2], ni sur 
car k″ est négative sur [0 2].
k n'est pas concave sur 
car k″ n'est pas négative sur tout l'intervalle 
.
La bonne réponse est a).
Exercice 2
Commun à tous les candidats
partie A
▶ 1. Donner des probabilités à partir d'un énoncé
Info
Tout adolescent fréquentant le centre de loisirs est soit collégien, soit lycéen.
Les événements C et L sont deux événements contraires, ils forment une partition de l'univers, la somme de leurs probabilités est égale à 1.
D'après l'énoncé :
▶ 2. Représenter une situation par un arbre pondéré
D'après l'énoncé et la question précédente :
D'où l'arbre :
Info
Les probabilités indiquées en rouge sont calculées à la question 5. de cette partie.
▶ 3. Calculer la probabilité de l'intersection de deux événements
La probabilité que le jeune choisi soit un collégien qui possède un téléphone portable est :
La probabilité que le jeune choisi soit un collégien possédant un téléphone portable est 0,42.
▶ 4. Calculer une probabilité conditionnelle
La probabilité que le jeune choisi soit un collégien sachant qu'il possède un téléphone portable est :
.
Info
On peut interpréter ce résultat de la manière suivante « parmi les jeunes qui possèdent un téléphone portable, 52,5 % sont des collégiens ».
La probabilité que le jeune choisi soit un collégien sachant qu'il possède un téléphone portable est 0,525.
▶ 5. a) Calculer une probabilité conditionnelle
C et L forment une partition de l'univers, donc :
.
D'où 
Info
Ce résultat signifie que 95 % des lycéens fréquentant le centre de loisirs possèdent un téléphone portable.
D'où :
b) Compléter un arbre de probabilités
Voir ci-dessus (question 2.) les probabilités résultant des calculs de la question précédente sont indiquées en rouge.
partie B
▶ 1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
.
La probabilité qu'un adolescent envoie entre 2 000 et 3 000 SMS par mois est égale à 0,558 en arrondissant au millième.
▶ 2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
Notez bien
Puisque X suit une loi normale d'espérance 2500 :
.
En arrondissant au millième :
▶ 3. Déterminer une borne d'un intervalle connaissant une probabilité associée à une loi normale
Si on entre la probabilité 0,8 donnée et les paramètres de la loi de X, la calculatrice affiche que le réel a tel que 
.
Le réel a tel que 
est égal à 3 047,0538 soit environ 3 047, en arrondissant à l'unité.
80 % des jeunes envoient au plus 3 047 SMS par mois.
Exercice 3
Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L
▶ 1. a) Calculer un terme d'une suite
Le nombre de contrats en 2016 est u1.
En 2016, le nombre de contrats d'entretien est de 78.
b) Établir une relation entre deux termes consécutifs d'une suite
Pour tout entier naturel n :
▶ 2. a) Compléter un algorithme
Dans l'algorithme donné, la variable n contient les rangs des années successives, 2015 étant « l'année 0 », et U contient les valeurs des termes successifs de la suite 
.
Si n est le rang de la première année où le nombre de contrats souscrits dépasse 100, l'algorithme doit afficher 
.
La ligne L9 doit donc être :
L9 Sortie : Afficher 2015 + n
b) Construire un tableau d'étapes d'un algorithme
La réalisation de l'algorithme peut être résumée par le tableau ci-dessous :
| Valeur de n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Valeur de U | 75 | 78 | 81 | 85 | 89 | 94 | 99 | 105 |
(toutes les valeurs ont été arrondies à l'unité.)
c) Donner la valeur affichée en sortie d'un algorithme
D'après la question précédente, la valeur affichée en sortie de l'algorithme est 7.
Au bout de 7 ans, c'est-à-dire en 2022, le nombre de contrats souscrits dépassera pour la première fois 100 l'entreprise devra donc embaucher en 2022.
▶ 3. a) Montrer qu'une suite est une suite géométrique
Pour tout entier naturel n :
Donc pour tout entier naturel n :
La suite (vn) est géométrique de raison 1,12 son premier terme est 
.
b) Donner l'expression du terme général de deux suites
D'après le cours, pour tout entier naturel n :
, donc 
, donc :
▶ c) Résoudre une inéquation dans l'ensemble des entiers naturels
.
On applique aux deux membres (strictement positifs) de cette inégalité la fonction ln, strictement croissante sur 
l'ordre est conservé :
.
car 
, donc l'inéquation équivaut à 
.
Or 
, donc dans l'ensemble des entiers naturels, l'inéquation 
équivaut à :
d) Donner une interprétation de l'ensemble des solutions d'une inéquation
On retrouve à la question précédente le résultat obtenu à la question 2. c) grâce à l'algorithme : à partir de 7 ans (après l'année 2015), le nombre de contrats souscrits sera supérieur à 100.
Exercice 3
Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
partie A
▶ 1. Représenter une situation par un graphe probabiliste et donner la matrice de transition associée
La situation peut être représentée par le graphe ci-dessous :
Notez bien
Les coefficients de la première ligne de la matrice M sont les probabilités portées par les arêtes issues du sommet C du graphe, ceux de la deuxième ligne sont les probabilités portées par les arêtes issues de L.
La matrice de transition associée est :
▶ 2. a) Vérifier qu'une matrice ligne donnée est l'état stable d'un graphe probabiliste
la somme des deux coefficients de la matrice ligne P est égale à 1.
.
P est une matrice ligne dont les deux coefficients sont compris entre 0 et 1 et ont une somme égale à 1 P vérifie d'autre part PM = P.
Donc P est l'état stable du graphe probabiliste.
b) Déterminer si une entreprise atteindra l'objectif qu'elle s'est fixé
Puisque 
est l'état stable du graphe probabiliste, à long terme, le pourcentage de particuliers souscrivant un contrat d'entretien avec l'entreprise PiscinePlus parmi ceux possédant une piscine privée se rapprochera de 37,5 %.
L'entreprise PiscinePlus atteindra donc l'objectif d'avoir au moins 35 % des propriétaires de piscines comme clients sous contrat d'entretien.
partie B
▶ 1. Établir une relation entre deux termes consécutifs d'une suite
Pour tout entier naturel 
, 
, c'est-à-dire :
Or 
donc :
▶ 2. a) Construire un tableau d'étapes d'un algorithme
La réalisation de l'algorithme peut être résumée par le tableau ci-dessous :
| Valeur de n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Valeur de C | 0,15 | 0,222 | 0,271 | 0,304 | 0,327 | 0,342 | 0,353 |
(toutes les valeurs ont été arrondies au millième.)
b) Donner la valeur affichée en sortie d'un algorithme
D'après la question précédente, la valeur affichée en sortie de l'algorithme est 6.
Au bout de 6 ans, c'est-à-dire en 2021, le pourcentage de propriétaires de piscines clients sous contrat d'entretien de l'entreprise PiscinePlus dépassera pour la première fois 35 %.
L'entreprise devrait donc atteindre son objectif en 2021.
▶ 3. a) Montrer qu'une suite est une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
:
Donc pour tout entier naturel 
:
La suite 
est géométrique de raison 0,68 son premier terme est :
.
b) Résoudre une inéquation dans l'ensemble des entiers naturels
.
On applique aux deux membres (strictement positifs) de cette inégalité la fonction ln, strictement croissante sur 
l'ordre est conservé, d'où :
.
car 
, donc l'inéquation équivaut à :
.
Or 
, donc dans l'ensemble des entiers naturels, l'inéquation 
équivaut à :
c) Donner une interprétation de l'ensemble des solutions d'une inéquation
On retrouve à la question précédente le résultat obtenu à la question 2. b) grâce à l'algorithme : à partir de 6 ans (après 2015), le pourcentage de propriétaires de piscines clients sous contrat d'entretien de l'entreprise PiscinePlus dépassera 35 %.
Exercice 4
Commun à tous les candidats
partie A Étude de la fonction f
▶ 1. Calculer la dérivée d'une fonction
Pour tout 
de l'intervalle 
:
▶ 2. a) Résoudre une inéquation associée à la dérivée d'une fonction
.
et la fonction exponentielle étant strictement croissante sur ℝ :
.
L'ensemble des solutions dans l'intervalle 
de l'inéquation 
est 
.
b) Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle
D'après la question précédente : 
si 
si 
.
Donc 
est strictement croissante sur 
, strictement décroissante sur 
. Son tableau de variations sur l'intervalle 
est :
(en arrondissant à 
).
c) Calculer une intégrale
Une primitive sur 
de 
est la fonction 
définie par :
Notez bien
On peut vérifier que, pour tout 
appartenant à 
, 
.
(valeur approchée à 
près).
partie B Application
▶ 1. Déterminer une production permettant d'obtenir un bénéfice maximal
D'après la question précédente, le bénéfice de l'usine est maximal pour 
, c'est-à-dire pour 500 toboggans produits.
et 
donne le bénéfice en milliers d'euros, donc le bénéfice maximal est 9 000 euros.
▶ 2. Calculer un bénéfice moyen
Le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 300 et 1 300 toboggans est, en milliers d'euros :
Le bénéfice moyen, pour une production mensuelle comprise entre 300 et 1 300 toboggans, est donc, arrondi à l'euro, environ 1 270 euros.
partie C Rentabilité
Déterminer les productions pour lesquelles une usine est rentable
La fonction 
est continue sur l'intervalle 
, strictement croissante sur 
, strictement décroissante sur 
.
De plus, 
, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation
admet une solution 
dans 
et une solution 
dans 
.
D'après le tableau de variations de 
, 
si et seulement si
.
Avec la calculatrice :
.
D'où :
et 
.
Notez bien
Une fabrication de 973 ou de 1 000 toboggans donne un bénéfice négatif.
L'usine est donc rentable si elle fabrique entre 374 et 999 toboggans en un mois.