5
Liban • Mai 2016
Sujet complet • 20 points
Sujet complet du Liban 2016
Exercice 1 (4 points) Section d’un octaèdre par un plan
Commun à tous les candidats
On considère un solide ADECBF constitué de deux pyramides identiques ayant pour base commune le carré ABCD de centre I. Une représentation en perspective de ce solide est donnée ci-dessous. Toutes les arêtes sont de longueur 1.
L’espace est rapporté au repère orthonormé 
.
▶ 1. a) Montrer que 
.
En déduire les coordonnées des points I, E et F.
b) Montrer que le vecteur 
est normal au plan (ABE).
c) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABE).
▶ 2. On nomme M le milieu du segment [DF] et N celui du segment [AB].
a) Démontrer que les plans (FDC) et (ABE) sont parallèles.
b) Déterminer l’intersection des plans (EMN) et (FDC).
c) Construire sur la figure ci-dessus la section du solide ADECBF par le plan (EMN).
Exercice 2 (4 points) Jouons au tennis !
Commun à tous les candidats
Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s’entraîner seul. Cet appareil envoie des balles une par une à une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la balle suivante arrive.
Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard la balle à droite ou à gauche avec la même probabilité.
Dans tout l’exercice, on arrondira les résultats à 10&minus 3 près.
Partie A
Le joueur s’apprête à recevoir une série de 20 balles.
▶ 1. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à droite ?
▶ 2. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et 10 balles à droite ?
Partie B
Le lance-balle est équipé d’un réservoir pouvant contenir 100 balles. Sur une séquence de 100 lancers, 42 balles ont été lancées à droite. Le joueur doute alors du bon fonctionnement de l’appareil. Ses doutes sont-ils justifiés ?
Partie C
Pour augmenter la difficulté, le joueur paramètre le lance-balle de façon à donner un effet aux balles lancées. Elles peuvent être soit « liftées », soit « coupées ». La probabilité que le lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche.
Les réglages de l’appareil permettent d’affirmer que :
la probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée à droite est 0,24
la probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée à gauche est 0,235.
Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la probabilité qu’elle soit envoyée à droite ?
Exercice 3 (4 points) Intégrons !
Commun à tous les candidats
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 1] par :
.
Partie A
▶ 1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 1].
▶ 2. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 1], 
(on rappelle que e = e1).
▶ 3. Montrer alors que 
.
Partie B
Soit n un entier naturel. On considère les fonctions fn définies sur [0 1] par :
.
On note n la courbe représentative de la fonction fn dans le plan muni d’un repère orthonormé.
On considère la suite de terme général :
.
▶ 1. On a tracé ci-dessous les courbes représentatives des fonctions fn pour n variant de 1 à 5. Compléter le graphique en traçant la courbe 0 représentative de la fonction f0.
▶ 2. Soit n un entier naturel, interpréter graphiquement un et préciser la valeur de u0.
▶ 3. Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite (un) ? Démontrer cette conjecture.
▶ 4. La suite (un) admet-elle une limite ?
Exercice 4 (5 points) Le fourre-tout
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l’absence de réponse n’est pas pénalisée.
▶ 1. Sur le schéma ci-dessous on a représenté la courbe de densité d’une variable aléatoire X qui suit une loi normale d’espérance μ = 20. La probabilité que la variable aléatoire X soit comprise entre 20 et 21,6 est égale à 0,34.
Affirmation 1 : La probabilité que la variable aléatoire X appartienne à l’intervalle [23,2 + &infin [ vaut environ 0,046.
▶ 2. Soit z un nombre complexe différent de 2. On pose :
.
Affirmation 2 : L’ensemble des points du plan complexe d’affixe z tels que |Z | = 1 est une droite passant par le point A(1 0).
Affirmation 3 : Z est un imaginaire pur si et seulement si z est réel.
▶ 3. Soit f la fonction définie sur ℝ par :
.
Affirmation 4 : L’équation f(x) = 0,5 admet une unique solution sur ℝ.
Affirmation 5 : L’algorithme suivant affiche en sortie la valeur 0,54.
|
Variables |
X et Y sont des réels |
|
|
Initialisation |
X prend la valeur 0 Y prend la valeur |
|
|
Traitement |
Tant que Y 0,5 |
|
|
X prend la valeur X + 0,01 Y prend la valeur |
||
|
Fin Tant que |
||
|
Sortie |
Afficher X |
|
Exercice 4 (5 points) D’accord ou pas d’accord ?
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l’absence de réponse n’est pas pénalisée.
▶ 1. On considère le système 
d’inconnue n entier relatif.
Affirmation 1. Si n est solution de ce système alors n &ndash 11 est divisible par 4 et par 5.
Affirmation 2. Pour tout entier relatif k, l’entier 11 + 20k est solution du système.
Affirmation 3. Si un entier relatif n est solution du système alors il existe un entier relatif k tel que n = 11 + 20k.
▶ 2. Un automate peut se trouver dans deux états A ou B. À chaque seconde il peut soit rester dans l’état où il se trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste ci-dessous. Pour tout entier naturel n, on note an la probabilité que l’automate se trouve dans l’état A après n secondes et bn la probabilité que l’automate se trouve dans l’état B après n secondes. Au départ, l’automate est dans l’état B.
On considère l’algorithme suivant :
|
Variables |
a et b sont des réels |
|
|
Initialisation |
a prend la valeur 0 b prend la valeur 1 |
|
|
Traitement |
Pour k allant de 1 à 10 |
|
|
a prend la valeur 0,8a + 0,3b b prend la valeur 1 &ndash a |
||
|
Fin Pour |
||
|
Sortie |
Afficher a Afficher b |
|
Affirmation 4. En sortie, cet algorithme affiche les valeurs de a10 et b10.
Affirmation 5. Après 4 secondes, l’automate a autant de chances d’être dans l’état A que d’être dans l’état B.
Exercice 5 (3 points) De la suite dans les idées
Commun à tous les candidats
On considère la suite (zn) de nombres complexes définie pour tout entier naturel n par :
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note Mn le point d’affixe zn. On considère le nombre complexe zA = 4 + 2i et A le point du plan d’affixe zA.
▶ 1. Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel n par un = zn &ndash zA.
a) Montrer que, pour tout entier naturel n, 
.
b) Démontrer que, pour tout entier naturel n :
.
▶ 2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points A, Mn et Mn+4 sont alignés.
Les clés du sujet
Exercice 1 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 50 minutes.
Les thèmes clés
Géométrie dans l’espace • Géométrie vectorielle • Produit scalaire.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Positions relatives E24c • E25 → 2. a) et b)
Vecteur normal à un plan E33a → 1. b)
Repérage E29 → 1. a)
Produit scalaire E31c → 1. b) et 2. a)
Équation cartésienne d’un plan E33a • E33c → 1. c)
Nos coups de pouce
▶ 1. a) Justifiez que (EI) est une hauteur du triangle EAC et appliquez ensuite le théorème de Pythagore dans le triangle EIA.
▶ 2. a) Démontrez que le plan (ABE) contient deux droites sécantes qui sont respectivement parallèles à deux droites sécantes du plan (FDC) ou alors démontrez que 
est normal au plan (FDC).
Exercice 2 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 45 minutes.
Les thèmes clés
Loi binomiale • Intervalle de fluctuation • Probabilité conditionnelle.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Loi binomiale E39 → Partie A
Probabilités avec une loi binomiale C2 → Partie A
Intervalle de fluctuation E43 → Partie B
Conditionnement, arbre pondéré E35 • E37 → Partie C
Nos coups de pouce
Partie A
Pensez à définir clairement la variable aléatoire implicitement utilisée et à bien rédiger les justifications permettant d’identifier la loi suivie par cette variable aléatoire. Menez ensuite à bien les calculs demandés de probabilité à l’aide d’une calculatrice.
Partie B
Pensez à définir un intervalle de fluctuation. Pour ce faire, identifiez la taille n de l’échantillon considéré et la proportion p du caractère étudié mise en doute. Concluez selon l’appartenance ou non de la fréquence observée du caractère étudié sur l’échantillon à l’intervalle de fluctuation défini.
Partie C
Illustrez la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
Exercice 3 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 50 minutes.
Les thèmes clés
Fonctions exponentielle et logarithme népérien • Dérivation et intégration • Suites.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Propriétés et formules
Fonction exponentielle E8a • E8b • E8d • E8e → Partie A Partie B, 3.
Fonction logarithme népérien E9a • E9b → Partie A, 3.
Intégration E7c • E11 • E13 • E14 • E15c → Partie A, 3. Partie B, 1., 2. et 3.
Dérivation E6c • E6e • E6f → Partie A, 1. et 3.
Suites E2a • E2b • E2e → Partie B, 3. et 4.
Nos coups de pouce
Partie A
▶ 3. Déterminez une primitive de la fonction f à l’aide de la question précédente. Calculez ensuite l’intégrale et concluez en utilisant quelques propriétés de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien.
Partie B
▶ 4. Pensez à utiliser le théorème de convergence monotone.
Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Probabilités • Nombres complexes • Fonctions • Algorithmique.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Probabilités E40a • E40e → Affirmation 1
Nombres complexes E16 • E17 • E18 • E22 → Affirmations 2 et 3
Limites E5 → Affirmation 4
Dérivation E6c • E6e • E6f → Affirmation 4
Continuité E7b • E7c → Affirmation 4
Exponentielle E8 → Affirmation 4
Nos coups de pouce
▶ Affirmation 1. Utilisez l’information donnée dans l’énoncé pour déterminer une valeur approchée de l’écart type de la loi normale considérée. Utilisez ensuite les propriétés classiques de la loi normale pour conclure.
▶ Affirmation 3. Écrivez le nombre complexe Z sous forme algébrique. Pour ce faire, posez z = a + ib (a et b réels).
▶ Affirmation 4. Pensez à utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Au préalable, dressez le tableau complet de variations de la fonction f sur ℝ.
Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)
Durée conseillée : 60 minutes.
Les thèmes clés
Matrices • Arithmétique • Suites.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Calcul matriciel C5 → Affirmation 5
Nos coups de pouce
▶ Affirmation 4. Définissez l’état de l’automate après n secondes à l’aide d’une matrice colonne et déterminez la matrice de transition associée à la situation proposée. Établissez alors une relation de récurrence qui relie 
avec 
et 
et comparez avec les affectations qui figurent dans ­ l’algorithme.
▶ Affirmation 5. Pensez à une formule qui permet de déterminer l’état de l’automate après n secondes uniquement à partir de l’état initial et de la matrice de transition.
Exercice 5 (Commun à tous les candidats)
Durée conseillée : 35 minutes.
Les thèmes clés
Nombres complexes • Suites.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.
Raisonnement par récurrence E1 → 1. b)
Argument d’un nombre complexe E19 • E22 → 2.
Nos coups de pouce
▶ 1. b) Pensez à un raisonnement par récurrence.
▶ 2. Démontrez l’alignement des points indiqués à l’aide d’un angle orienté bien choisi en exploitant judicieusement un argument d’un nombre complexe associé à votre angle orienté.