Exercice 1 (4 points) 
QCM sur les fonctions et les probabilités

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n’est demandée.

▶ 1. La représentation graphique d’une fonction f définie et dérivable sur ℝ est tracée ci-dessous ainsi que les tangentes respectives aux points d’abscisses – 3 et 0.

a) f′(0) = – 1

b) f′(– 1) = 0

c) f′(– 3) = – 1

d) f′(– 3) = 3

▶ 2. On note g la fonction définie sur l’intervalle par :

.

a)

c)

b)

d)

▶ 3. On considère la fonction h définie sur [0 ; 7] et représentée par la courbe ci-dessous :

a)

c)

b)

d)

▶ 4. On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la dérivée k″ d’une fonction k définie sur .

a) k est concave sur l’intervalle [1 ; 2]

b) k est convexe sur l’intervalle [1 ; 2]

c) k est convexe sur

d) k est concave sur

Exercice 2 (5 points)
 Équipement de collégiens et lycéens en téléphones portables et nombre de SMS envoyés

Commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes.

partie A

Un centre de loisirs destiné aux jeunes de 11 ans à 18 ans compte 60 % de collégiens et 40 % de lycéens.

Le directeur a effectué une étude statistique sur la possession de téléphones portables. Cette étude a montré que 80 % des jeunes possèdent un téléphone portable et que, parmi les collégiens, 70 % en possèdent un.

On choisit au hasard un jeune du centre de loisirs et on s’intéresse aux événements suivants :

C : « le jeune choisi est un collégien » ;

L : « le jeune choisi est un lycéen » ;

T : « le jeune choisi possède un téléphone portable ».

Rappel des notations

Si A et B sont deux événements, p(A) désigne la probabilité que l’événement A se réalise et pB(A) désigne la probabilité de A sachant que l’événement B est réalisé. On note aussi l’événement contraire de A.

▶ 1. Donner les probabilités : p(C), p(L), p(T), pC(T). (1 point)

▶ 2. Faire un arbre de probabilités représentant la situation et commencer à le renseigner avec les données de l’énoncé. (0,5 point)

▶ 3. Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien possédant un téléphone portable. (0,5 point)

▶ 4. Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien sachant qu’il possède un téléphone portable. (0,5 point)

▶ 5. a) Calculer p(T ∩ L), en déduire pL(T). (0,5 point)

b) Compléter l’arbre construit dans la question 2. (0,25 point)

partie B

En 2012, en France, selon une étude publiée par l’Arcep (Autorité de régulation des communications électroniques et des postes), les adolescents envoyaient en moyenne 83 SMS (messages textes) par jour, soit environ 2 500 par mois. On admet qu’en France le nombre de SMS envoyés par un adolescent en un mois peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance μ = 2 500 et d’écart-type σ = 650.

Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les probabilités arrondies au millième.

▶ 1. Calculer la probabilité qu’un adolescent envoie entre 2 000 et 3 000 SMS par mois. (0,5 point)

▶ 2. Calculer p(X ≥ 4 000). (0,5 point)

▶ 3. Sachant que p(X ≤ a) = 0,8, déterminer la valeur de a. On arrondira le résultat à l’unité. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé. (0,75 point)

Exercice 3 (5 points)
 Nombre de contrats d’entretien de piscines souscrits auprès d’une entreprise

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

L’entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d’entretien aux propriétaires de piscines privées.

Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année, 12 % de contrats supplémentaires sont souscrits et 6 contrats résiliés. Il se fonde sur ce constat pour estimer le nombre de contrats annuels à venir.

En 2015, l’entreprise PiscinePlus dénombrait 75 contrats souscrits.

On modélise la situation par une suite (un), où un représente le nombre de contrats souscrits auprès de l’entreprise PiscinePlus l’année 2015 + n. Ainsi, on a u0 = 75.

▶ 1. a) Estimer le nombre de contrats en 2016. (0,5 point)

b) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :

. (0,5 point)

▶ 2. L’entreprise PiscinePlus peut prendre en charge un maximum de 100 contrats avec son nombre actuel de salariés. Au-delà, l’entreprise devra embaucher davantage de personnel.

On cherche à connaître en quelle année l’entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise l’algorithme suivant :

a) Recopier et compléter la ligne L9. (0,25 point)

b) Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l’algorithme ci-dessus. (0,75 point)

c) Donner la valeur affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme, puis interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice. (0,5 point)

▶ 3. On rappelle que, pour tout entier naturel n, on a :

et .

On pose, pour tout entier naturel n :

.

a) Montrer que la suite est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme. (1 point)

b) En déduire l’expression de en fonction de n puis montrer que, pour tout entier naturel n, on a :

. (0,5 point)

c) Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation . (0,75 point)

d) Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on ? (0,25 point)

Exercice 3 (5 points)
 Choix pour l’entretien de piscines

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

L’entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d’entretien aux propriétaires de piscines privées.

C’est la seule entreprise dans les environs. Aussi, les propriétaires de piscines n’ont que deux choix possibles : soit ils s’occupent eux-mêmes de l’entretien de leur piscine, soit ils souscrivent un contrat avec l’entreprise PiscinePlus.

On admet que le nombre de propriétaires de piscines est constant.

Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année :

12 % des particuliers qui entretenaient eux-mêmes leur piscine décident de souscrire un contrat avec l’entreprise PiscinePlus ;

20 % de particuliers sous contrat avec l’entreprise PiscinePlus décident de le résilier pour entretenir eux-mêmes leur piscine.

Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets C et L où :

C est l’événement « Le particulier est sous contrat avec l’entreprise PiscinePlus » ;

L est l’événement « Le particulier effectue lui-même l’entretien de sa piscine ».

Chaque année, on choisit au hasard un particulier possédant une piscine et on note pour tout entier naturel n :

cn la probabilité que ce particulier soit sous contrat avec l’entreprise PiscinePlus l’année 2015 + n ;

ln la probabilité que ce particulier entretienne lui-même sa piscine l’année 2015 + n.

On note Pn = (an bn) la matrice ligne de l’état probabiliste pour l’année 2015 + n.

Dans cet exercice, on se propose de savoir si l’entreprise PiscinePlus atteindra l’objectif d’avoir au moins 35 % des propriétaires de piscines comme clients sous contrat d’entretien.

partie A

▶ 1. Dessiner le graphe probabiliste représentant cette situation et donner la matrice de transition associée au graphe dont les sommets sont pris dans l’ordre C et L. (0,75 point)

▶ 2. a) Montrer que l’état stable de ce graphe est (0,75 point)

b) Déterminer, en justifiant, si l’entreprise PiscinePlus peut espérer atteindre son objectif. (0,5 point)

partie B

En 2015, on sait que 15 % des propriétaires de piscines étaient sous contrat avec l’entreprise PiscinePlus. On a ainsi .

▶ 1. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :

cn+1 = 0,68 cn + 0,12. (0,5 point)

▶ 2. À l’aide d’un algorithme, on cherche à connaître au bout de combien d’années l’entreprise PiscinePlus atteindra son objectif.

a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l’algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats au millième. (0,75 point)

b) Donner la valeur affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme, puis interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice. (0,25 point)

▶ 3. On rappelle que, pour tout entier naturel n, on a :

et que .

On pose, pour tout entier naturel n, .

a) Montrer que la suite est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme. (0,75 point)

On admet que, pour tout entier naturel n, on a :

.

b) Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation . (0,5 point)

c) Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on ? (0,25 point)

Exercice 4 (5 points)
 Étude d’une fonction ; application au bénéfice d’une entreprise

Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [3 ; 13] par :

f(x) = – 2x + 20 – e–2x+10.

partie A Étude de la fonction f

▶ 1. Montrer que la fonction dérivée f′ de la fonction f, définie pour tout x de l’intervalle [3 ; 13], a pour expression :

(0,75 point)

▶ 2. a) Résoudre dans l’intervalle [3 ; 13] l’inéquation f′(x) ≥ 0. (0,5 point)

b) En déduire le signe de f′(x) sur l’intervalle [3 ; 13] et dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle. Les valeurs du tableau seront, si besoin, arrondies à 10–3. (0,75 point)

c) Calculer l’intégrale . On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10–3 près. (1 point)

partie B Application

Une usine fabrique et commercialise des toboggans. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 300 et 1 300. On suppose que toute la production est commercialisée.

Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d’euros, réalisé pour la production et la vente de x centaines de toboggans est modélisé sur l’intervalle [3 ; 13] par la fonction f.

En utilisant la partie A, répondre aux questions suivantes :

▶ 1. Déterminer le nombre de toboggans que l’usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et donner ce bénéfice, arrondi à l’euro. (0,5 point)

▶ 2. Calculer le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 300 et 1 300 toboggans. Arrondir le résultat à l’euro. (0,5 point)

partie C Rentabilité

Pour être rentable, l’usine doit avoir un bénéfice positif.

Déterminer le nombre minimum et le nombre maximum de toboggans que l’usine doit fabriquer en un mois pour qu’elle soit rentable. Justifier la réponse. (1 point)