Sujet complet du Liban 2017

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2017 | Académie : Moyen-Orient

Liban • Juin 2017

Sujets complets

matT_1706_09_00C

3

Liban • Juin 2017

Sujet complet • 20 points • 3 h

Sujet complet du Liban 2017

Les thèmes clés

Exercice 1 – Valeur moyenne d’une fonction • Loi à densité, loi normale.

Exercice 2 – Évolution en pourcentage • Suite géométrique.

Exercice 3 – Probabilité conditionnelle • Loi binomiale.

Exercice 3 (spécialité) – Graphe probabiliste • Plus court chemin.

Exercice 4 – Fonction exponentielle • Convexité.

Exercice 1 (3 points) 30 min
QCM sur les fonctions et les probabilités (3 questions)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.

Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

1. On considère la fonction g définie sur ]0 ; +[ par g(x)=2x.

La valeur moyenne de la fonction g sur l’intervalle [1 ; e] est :

a) 2

b) 1e1

c) 2e1

d) 2e1

2. On considère une variable aléatoire X suivant une loi normale. La courbe de la figure ci-après représente la fonction de densité f associée à la variable X.

matT_1706_09_00C_01

a) l’espérance de X est 0,4 ;

b) l’espérance de X est 0,95 ;

c) l’écart-type de X est environ 0,4 ;

d) l’écart-type de X est environ 0,2.

3. À l’occasion de son inauguration, un hypermarché offre à ses clients un ticket à gratter par tranche de 10 euros d’achats. L’hypermarché affirme que 15 % des tickets à gratter sont gagnants, c’est-à-dire donneront droit à un bon d’achat de 5 euros.

Amandine a reçu 50 tickets à gratter après un achat de 500 euros dans cet hypermarché. Deux d’entre eux étaient gagnants.

On suppose que le nombre de tickets à gratter est suffisamment important pour considérer qu’un échantillon de 50 tickets correspond à un tirage aléatoire avec remise.

a) L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence observée de tickets gagnants dans un échantillon de 50 tickets à gratter est [0,051 ; 0,249], les bornes étant arrondies au millième.

b) L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence observée de tickets gagnants dans un échantillon de 50 tickets à gratter est [0,100 ; 0,200], les bornes étant arrondies au millième.

c) La fréquence de tickets gagnants reçus par Amandine est 50500.

d) Amandine peut annoncer avec un risque de 5 % que l’affirmation de l’hypermarché n’est pas mensongère.

Exercice 2 (6 points) 50 min
Accord de Kyoto et émissions de CO2 d’une zone industrielle

Commun à tous les candidats

Les deux parties sont indépendantes.

partie A. L’accord de Kyoto (1997)

Le principal gaz à effet de serre (GES) est le dioxyde de carbone, noté CO2.

En 2011, la France a émis 486 mégatonnes de GES en équivalent CO2 contre 559 mégatonnes en 1990.

1. Dans l’accord de Kyoto, la France s’est engagée à réduire ses GES de 8 % entre 1990 et 2012. Peut-on dire qu’en 2011 la France respectait déjà cet engagement ? Justifier la réponse. (0,5 point)

2. Sachant que les émissions de 2011 ont marqué une baisse de 5,6 % par rapport à 2010, calculer le nombre de mégatonnes en équivalent CO2 émises par la France en 2010. Arrondir le résultat à 0,1. (0,5 point)

partie B. Étude des émissions de gaz à effet de serre d’une zone industrielle

Un plan de réduction des émissions de gaz à effet de serre (GES) a été mis en place dans une zone industrielle. On estime que, pour les entreprises déjà installées sur le site, les mesures de ce plan conduisent à une réduction des émissions de 2 % d’une année sur l’autre et que, chaque année, les implantations de nouvelles entreprises sur le site génèrent 200 tonnes de GES en équivalent CO2.

En 2005, cette zone industrielle a émis 41 milliers de tonnes de CO2 au total.

Pour tout entier naturel n, on note un le nombre de milliers de tonnes de CO2 émis dans cette zone industrielle au cours de l’année 2005 + n.

1. Déterminer u0 et u1. (0,5 point)

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :

un+1 = 0,98 × un + 0,2. (0,5 point)

3. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par :

vn = un - 10.

a) Montrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,98. Préciser son premier terme. (0,5 point)

b) Exprimer vn en fonction de n, pour tout entier naturel n. (0,5 point)

c) En déduire que, pour tout entier naturel :

un=31×(0,98)n+10. (0,5 point)

4. a) Calculer la limite de la suite (un). (0,5 point)

b) Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. (0,5 point)

5. À l’aide de l’algorithme ci-dessous, on se propose de déterminer l’année à partir de laquelle la zone industrielle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO2, par rapport à l’année 2005.

a) Recopier et compléter les lignes 7 et 9 de l’algorithme : (1 point)

1

Variables

 

2

3

U est du type nombre

n est du type nombre entier

4

Début Algorithme

 

5

6

7

U prend la valeur 41

n prend la valeur 0

Tant que ……. faire

   

8

9

10

11

Début Tant que

U prend la valeur …

n prend la valeur n + 1

Fin Tant que

 

12

Afficher n

13

Fin Algorithme

b) L’algorithme affiche 54. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. (0,5 point)

Exercice 3 (5 points) 45 min
Étude d’un ensemble de demandeurs d’emploi selon deux critères

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

Les parties A et B sont indépendantes.

Notations :

Pour tout événement A, on note A¯ l’événement contraire de A et p(A) la probabilité de l’événement A.

Si A et B sont deux événements, on note pB(A) la probabilité de A sachant que l’événement B est réalisé.

Dans cet exercice, on arrondira les résultats au millième.

Une agence Pôle Emploi étudie l’ensemble des demandeurs d’emploi selon deux critères, le sexe et l’expérience professionnelle.

Cette étude montre que :

52 % des demandeurs d’emploi sont des femmes et 48 % sont des hommes ;

18 % des demandeurs d’emploi sont sans expérience, les autres sont avec expérience ;

parmi les hommes qui sont demandeurs d’emploi, on sait que 17,5 % sont sans expérience.

partie A

On prélève au hasard la fiche d’un demandeur d’emploi de cette agence. On note :

S : l’événement « le demandeur d’emploi est sans expérience » ;

F : l’événement « le demandeur d’emploi est une femme ».

1. Préciser p(S) et pF¯(S). (0,5 point)

2. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les pointillés par les probabilités associées. (1 point)

matT_1706_09_00C_02

3. Démontrer que p(F¯S)=0,084. Interpréter le résultat. (0,75 point)

4. La fiche prélevée est celle d’un demandeur d’emploi sans expérience. Calculer la probabilité pour que ce soit un homme. (0,5 point)

5. Sachant que la fiche prélevée est celle d’une femme, calculer la probabilité que ce soit la fiche d’un demandeur d’emploi sans expérience. (1 point)

partie B

La responsable de l’agence décide de faire le point avec cinq demandeurs d’emploi qui sont suivis dans son agence. Pour cela, elle prélève cinq fiches au hasard. On admet que le nombre de demandeurs d’emploi dans son agence est suffisamment grand pour assimiler cette situation à un tirage avec remise.

En justifiant la démarche, calculer la probabilité que, parmi les cinq fiches tirées au hasard, il y ait au moins une fiche de demandeur d’emploi sans expérience. (1,25 point)

Exercice 3 (5 points) 45 min
Opérateurs de téléphonie mobile et réseau de fibre optique

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

partie A

Deux opérateurs Alpha et Bravo se partagent le marché de la téléphonie mobile dans un pays. En 2015, l’opérateur Alpha possède 30 % du marché de téléphonie mobile. Le reste appartient à l’opérateur Bravo.

On étudie l’évolution dans le temps du choix des abonnés de 2015 pour l’un ou l’autre des opérateurs. Chaque abonné conserve un abonnement téléphonique, soit chez l’opérateur Alpha soit chez l’opérateur Bravo.

On estime que, chaque année :

12 % des abonnés de l’opérateur Alpha le quittent et souscrivent un abonnement chez l’opérateur Bravo ;

86 % des abonnés de l’opérateur Bravo lui restent fidèles, les autres le quittent pour l’opérateur Alpha.

On modélise cette situation par un graphe probabiliste à deux sommets Alpha et Bravo :

A est l’événement : « l’abonné est chez l’opérateur Alpha » ;

B est l’événement : « l’abonné est chez l’opérateur Bravo ».

1. Dessiner ce graphe probabiliste. (0,75 point)

On admet que la matrice de transition de ce graphe probabiliste, en considérant les sommets dans l’ordre alphabétique, est :

M=(0,880,120,140,86).

On note pour tout entier naturel n :

an la probabilité qu’un abonné soit chez l’opérateur Alpha l’année 2015 + n ;

bn la probabilité qu’un abonné soit chez l’opérateur Bravo l’année 2015 + n.

On note Pn=(anbn) la matrice ligne de l’état probabiliste pour l’année 2015 + n.

2. Donner a0 et b0. (0,5 point)

3. Montrer qu’en 2018, il y aura environ 44,2 % des abonnés chez l’opérateur Alpha. (0,75 point)

4. Les deux opérateurs voudraient connaître la répartition de l’ensemble des abonnés sur le long terme. On note P=(xy) l’état stable de la répartition des abonnés.

a) Montrer que les nombres x et y sont solutions du système :

{0,12x0,14y=0x+y=1(0,5 point)

b) Résoudre le système précédent dans l’ensemble des réels. (0,5 point)

c) Déterminer la répartition des abonnés entre les deux opérateurs au bout d’un grand nombre d’années. Arrondir les pourcentages à 0,1 %. (0,5 point)

partie B

Un opérateur français doit développer son réseau de fibre optique dans la région des stations de ski notées A, B, C, D, E, F, G, H, I à l’approche de la saison touristique. À ce jour, seule la station C est reliée au réseau national de fibre optique.

Le coût des tronçons du réseau de fibre optique varie selon le relief des montagnes et des vallées. L’opérateur a mené une étude afin de déterminer son plan de déploiement.

Dans le graphe ci-dessous :

les sommets représentent les stations de ski ;

les arêtes représentent les différents tronçons qu’il est possible de déployer ;

le poids de chaque arête correspond au coût associé, en milliers d’euros.

matT_1706_09_00C_03

1. À l’aide de l’algorithme de Dijkstra, déterminer le tracé de fibre optique le moins cher à déployer, entre les stations C et G. (1 point)

2. Déterminer, en milliers d’euros, le coût de ce tracé. (0,5 point)

Exercice 4 (6 points) 50 min
Étude d’une fonction et réchauffement climatique

Commun à tous les candidats

Les deux parties sont liées.

partie a

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 10] par :

f(x)=10,5+100 ex.

On note f la fonction dérivée de f sur l’intervalle [0 ; 10].

1. Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 10], on a :

f(x)=100 ex(0,5+100 ex)2. (0,5 point)

On note f la fonction dérivée seconde de f sur l’intervalle [0 ; 10].

Un logiciel de calcul formel fournit l’expression suivante de f(x) :

f(x)=100 ex(100 ex0,5)(0,5+100 ex)3.

2. a) Montrer que, dans l’intervalle [0 ; 10], l’inéquation 100 ex0,50 est équivalente à l’inéquation xln(0,005). (0,5 point)

b) En déduire le tableau de signes de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 10]. (0,5 point)

3. On appelle f la courbe représentative de f tracée dans un repère.

Montrer, à l’aide de la question 2., que la courbe f admet un point d’inflexion noté I, dont on précisera la valeur exacte de l’abscisse. (0,5 point)

4. En utilisant les résultats de la question 2., déterminer l’intervalle sur lequel la fonction f est concave. (0,5 point)

partie b

Dans toute cette partie, les températures seront exprimées en degrés Celsius, notés °C.

La COP21, conférence sur les changements climatiques des Nations Unies, a adopté le 12 décembre 2015 le premier accord universel sur le climat, appelé accord de Paris, signé par 195 pays.

Cet accord confirme l’objectif, d’ici l’année 2100, que la température terrestre ne dépasse pas de plus de 2 °C la température de l’année 1900.

Dans cette partie, on modélise, par la fonction f de la partie A, une évolution de température possible permettant d’atteindre l’objectif de l’accord de Paris.

La courbe représentative f de la fonction est tracée ci-dessous, et I est son point d’inflexion.

Sur l’axe des abscisses, l’année 1900 correspond à 0 et une unité représente 25 ans, donc l’année 1925 correspond à 1.

Sur l’axe des ordonnées, on a représenté le nombre de degrés Celsius au-dessus de la température de 1900.

matT_1706_09_00C_04

1. a) Calculer f(10), en arrondissant le résultat au centième. (0,5 point)

b) En déduire qu’en 2150, avec ce modèle, l’objectif de l’accord de Paris sera respecté. (0,5 point)

2. a) En utilisant la partie A, déterminer l’année correspondant à l’abscisse du point I d’inflexion de la courbe f. Arrondir le résultat à l’unité. (0,5 point)

b) Calculer, pour cette année-là, le nombre de degrés Celsius supplémentaires par rapport à 1900. (0,5 point)

3. On appelle vitesse du réchauffement climatique la vitesse d’augmentation du nombre de degrés Celsius. On admet que, à partir de 1900, la vitesse du réchauffement climatique est modélisée par la fonction f.

a) Est-il vrai de dire qu’après 2033 la température terrestre diminuera ? Justifier la réponse. (0,5 point)

b) Est-il vrai de dire qu’après 2033 la vitesse du réchauffement climatique diminuera ? Justifier la réponse. (0,5 point)

4. Pour sauvegarder les îles menacées par la montée des eaux, la température terrestre ne doit pas dépasser de plus de 1,5 °C la température de l’année 1900.

Déterminer l’année au cours de laquelle la température terrestre atteindra ce seuil, selon ce modèle. (0,5 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

1. Calculez une intégrale.

2. Déterminez, à partir du graphique, l’espérance μ de X et le réel a tel que P(μaXμ+a)0,95, puis utilisez un résultat du cours.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Partie A

1. Vous pouvez calculer et exploiter un coefficient multiplicateur. N’oubliez pas qu’un pourcentage de réduction est un pourcentage de la valeur initiale.

Partie B

5. a) L’algorithme doit calculer les termes successifs de la suite tant qu’ils ne remplissent pas la condition un  20,5.

Exercice 3 (Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L)

Partie A

1. Interprétez en termes de probabilités les pourcentages donnés dans l’énoncé.

3 On demande la probabilité de l’intersection de deux événements.

4. et 5. Calculez des probabilités conditionnelles.

Partie B

Introduisez, en justifiant toutes les étapes, une variable aléatoire suivant une loi binomiale.

Exercice 3 (Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

3. L’état probabiliste de l’année 2018 est donné par la matrice ligne P3.

4. a) On a PM = P.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

Partie A

2. a) Utilisez le lien entre la fonction exponentielle et la fonction ln.

Partie B

3. Ne confondez pas température terrestre et vitesse du réchauffement climatique ; la première est modélisée par la fonction f, la deuxième par la fonction f.

Corrigé

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

1. Déterminer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

La valeur moyenne de la fonction g sur l’intervalle [1 ; e] est :

m=1e11eg(x) dx.

g(x) =2x, donc une primitive de g sur ]0 ; +[ est la fonction G:x 2lnx.

m=1e1[2lnx]1e

m=1e1(2lne2ln1)

m=2e1.

La bonne réponse est c).

2. Reconnaître graphiquement l’espérance ou l’écart type d’une loi normale

La courbe donnée a pour axe de symétrie la droite d’équation x = 1, donc la fonction représentée est associée à une variable aléatoire suivant une loi d’espérance 1, ce qui élimine les réponses a) et b).

On lit graphiquement que P(0,6X1,4)0,95 et d’après le cours, si X suit la loi normale d’espérance μ et d’écart-type σ, alors :

P(μ2σXμ+2σ)0,95.

Donc 2σ 0,4 et σ 0,2.

La bonne réponse est d).

3. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique

L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence observée de tickets gagnants dans un échantillon de taille n est :

[p1,96p(1p)n;p+1,96p(1p)n]

avec ici p = 0,15 (l’hypermarché affirme que 15 % des tickets sont gagnants) et n = 50 (Amandine a reçu 50 tickets).

Les bornes étant arrondies au millième :

I = [0,051 ; 0,249].

La fréquence de tickets gagnants reçus par Amandine est f=250 (2 tickets gagnants sur 50).

n  30, np  5 n(1 - p)  5, donc les conditions d’utilisation d’un intervalle de fluctuation asymptotique sont remplies.

f = 0,04, donc f I ; avec un risque d’erreur de 5 %, Amandine peut annoncer que l’affirmation de l’hypermarché est mensongère.

La bonne réponse est a).

Exercice 2

Commun à tous les candidats

partie A. L’accord de Kyoto (1997)

1. Déterminer un pourcentage d’évolution

4865590,87.

Or 0,87=113100, donc entre 1990 et 2011, la quantité de GES émis par la France a déjà diminué d’environ 13 %.

En 2011 la France respectait déjà son engagement.

2. Calculer la quantité initiale connaissant la quantité finale et le pourcentage d’évolution

Soit x le nombre de mégatonnes de CO2 émises par la France en 2010 :

486=xx×5,6100

486 = 0,944 x.

Donc :

x=4860,944

x 514,8 en arrondissant le résultat à 0,1.

En 2010, la France a émis environ 514,8 mégatonnes de CO2.

partie B. Étude des émissions de gaz à effet de serre d’une zone industrielle

1. Déterminer les deux premiers termes d’une suite

En 2005, la zone industrielle a émis 41 milliers de tonnes de CO2 au total, d’où :

u0=41

Il y a réduction des émissions de 2 % d’une année sur l’autre et les implantations de nouvelles entreprises génèrent 200 tonnes (soit 0,2 millier de tonnes) de GES en équivalent CO2, d’où :

u1=u0u0×2100+0,2

u1 = 0,98 × 41 + 0,2

u1=40,38

2. Établir une relation entre deux termes consécutifs d’une suite

Pour les mêmes raisons que précédemment, pour tout entier naturel n :

un+1=unun×2100+0,2

un+1=0,98×un+0,2

3. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n :

vn+1 = un+1 - 10

vn+1 = 0,98 × un + 0,2 - 10

vn+1=0,98 (vn+10)9,8

vn+1 = 0,98 vn.

Donc la suite (vn) est géométrique de raison 0,98.

Son premier terme est v0=u010=31.

b) Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique

D’après la question précédente, pour tout entier naturel :

vn= 31×(0,98)n

c) Donner l’expression du terme général d’une suite associée à une suite géométrique

Pour tout entier naturel n, un = vn + 10, donc :

un= 31×(0,98)n+10

4. a) Calculer la limite d’une suite

0 < 0,98 < 1, donc :

limn+(0,98)n=0

limn+un=10

b) Interpréter la limite d’une suite

À long terme, les émissions de CO2 de la zone industrielle se stabiliseront aux environs de 10 milliers de tonnes.

5. a) Compléter un algorithme

Notez bien

Puisqu’en 2005, la zone industrielle a émis 41 milliers de tonnes de CO2, elle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO2 par rapport à cette année-là lorsque la quantité de CO2 émis en une année sera inférieure ou égale à 20,5 milliers de tonnes.

Pour que l’algorithme détermine et affiche le nombre d’années nécessaires pour que la zone industrielle réduise au moins de moitié ses émissions de CO2, par rapport à l’année 2005, on complète les lignes 7 et 9 de la manière suivante :

7 Tant que U>20,5 faire

9U prend la valeur 0,98 U+0,2

b) Interpréter le résultat affiché par un algorithme

Puisque l’algorithme affiche 54, il faudra 54 ans pour que la zone industrielle réduise au moins de moitié ses émissions de CO2, par rapport à l’année 2005.

C’est donc à partir de 2059 que la zone industrielle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO2 par rapport à l’année 2005.

Exercice 3

Candidats de série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de série L

partie A

1. Préciser à partir des données d’un énoncé les valeurs de deux probabilités

18 % des demandeurs d’emploi sont sans expérience, donc :

 p(S)=0,18

Parmi les hommes demandeurs d’emploi, 17,5 % sont sans expérience :

 pF¯(S)=0,175

2. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

Notez bien

On ne peut pas compléter entièrement l’arbre car on ne connaît pas la proportion de personnes sans expérience parmi les femmes demandeurs d’emploi.

La situation peut être représentée par l’arbre suivant.

matT_1706_09_00C_05

3. Calculer et interpréter la probabilité de l’intersection de deux événements

D’après l’arbre de la question précédente :

p(F¯S)=0,48×0,175

p(F¯S)=0,084.

La probabilité que la fiche choisie soit celle d’un homme sans expérience est 0,084.

4. Calculer une probabilité conditionnelle

On cherche pS(F¯).

pS(F¯)=p(F¯S)p(S¯)

pS(F¯)=0,0840,18

pS(F¯)0,467.

Si la fiche prélevée est celle d’un demandeur d’emploi sans expérience, la probabilité que ce soit celle d’un homme est environ 0,467.

5. Calculer une probabilité conditionnelle

On cherche pF(S).

pF(S)=p(FS)p(F)

p(F)=0,52 d’après l’énoncé.

p(S)=0,18 et p(S)=p(FS)+p(F¯S), donc :

p(FS)=p(S)p(F¯S)

p(FS)=0,180,48×0,175

p(FS)=0,096.

D’où :

pF(S)=0,0960,52

pF(S)0,185.

Sachant que la fiche prélevée est celle d’une femme, la probabilité que ce soit la fiche d’un demandeur d’emploi sans expérience est environ 0,185.

partie B

Soit X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de cinq fiches, associe le nombre de fiches de demandeurs d’emploi sans expérience.

X compte le nombre de succès (« le demandeur d’emploi est sans expérience ») lors de la répétition de cinq épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ; X suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,18 (18 % des demandeurs d’emploi sont sans expérience), d’où :

p(X1)=1p(X=0)=1(10,18)50,629.

La probabilité que parmi les cinq fiches tirées au hasard, il y ait au moins une fiche de demandeur d’emploi sans expérience est 0,629.

Exercice 3

Candidats de série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

partie A

1. Représenter une situation par un graphe probabiliste

Notez bien

Dans un graphe probabiliste, la somme des probabilités portées par les arêtes issues d’un même sommet est égale à 1.

La situation peut être représentée par le graphe suivant :

matT_1706_09_00C_06

2. Donner l’état initial d’un graphe probabiliste

Puisqu’en 2015, l’opérateur Alpha possédait 30 % du marché, l’opérateur Bravo le reste :

a0=0,3;b0=0,7

3. Déterminer un état probabiliste

2018 = 2015 + 3, donc l’état probabiliste pour l’année 2018 est donné par la matrice P3 :

P3=P0×M3.

À l’aide de la calculatrice, en arrondissant à 103 :

P3 = (0,442 0,558).

On en déduit qu’en 2018, environ 44,2 % des abonnés seront chez l’opérateur Alpha.

4. a) Écrire un système permettant de déterminer un état stable

Si P=(xy) est l’état stable de la répartition des abonnés :

x + y = 1 et P × M = P.

P×M=P(xy) (0,880,120,140,86)=(xy){0,88 x+0,14 y=x0,12 x+0,86 y=y0,12 x0,14 y=0.

Donc les nombres x et y sont solutions du système :

{0,12x0,14y=0x+y=1

b) Résoudre un système de deux équations à deux inconnues

{0,12x0,14y=0x+y=1{y=1x0,26 x0,14=0{x=713y=613

Le système a pour unique solution le couple (713;613).

c) Déterminer une répartition à long terme

D’après la question précédente, au bout d’un grand nombre d’années, 713 des abonnés seront chez l’opérateur Alpha, 613 chez Bravo, soit, en arrondissant à 0,1 %, l’opérateur Alpha possédera 53,8 % du marché de téléphonie mobile, l’opérateur Bravo en possédera 46,2 %.

partie B

1. Déterminer à l’aide de l’algorithme de Dijkstra un trajet de coût minimal

L’algorithme de Dijkstra permettant de déterminer le tracé le moins cher entre les stations C et G peut être résumé par le tableau suivant :

C

A

B

D

E

F

H

I

G

 

0

 
 

25 (C)

30 (C)

20 (C)

C (0)

 

25 (C)

30 (C)

 

40 (D)

35 (D)

D (20)

   

30 (C)

 

40 (D)

35 (A)

35 (D)

A (25)

       

40 (D)

35 (A)

35 (D)

B (30)

       

40 (D)

45 (H)

 

35 (D)

55 (H)

H (35)

       

40 (D)

45 (H)

   

55 (H)

I (35)

         

45 (H)

   

55 (H)

E (40)

               

50 (F)

F (45)

Le tracé de fibre optique le moins cher entre les stations C et G est donc :

C – A – H – F – G

> 2. Déterminer le coût d’un trajet

Notez bien

Le coût du trajet peut être lu dans le tableau précédent, et vérifié en additionnant les coûts des différents tronçons.

Le coût du trajet C – A – H – F – G est de 50 milliers d’euros.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

partie a

1. Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 10] :

f(x)=100×( ex)(0,5+100 ex)2

f(x)=100 ex(0,5+100 ex)2

2. a) Montrer l’équivalence de deux inéquations

100 ex0,50 équivaut successivement à :

100 ex0,5

ex0,005

xln(0,005)

xln(0,005).

100 ex0,50xln(0,005)

b) Étudier le signe de la dérivée seconde d’une fonction

Pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 10], 100 ex>0 et (0,5+100 ex)3>0, donc f(x) a le signe de 100 ex0,5.

D’après la question précédente, on peut dresser le tableau de signes suivant :

x

0

 

ln(0,005)

 

10

Signe de f(x)

 

+

0

-

 

3. Déterminer un point d’inflexion de la courbe représentative d’une fonction

D’après le tableau dressé à la question précédente, f s’annule et change de signe en ln(0,005).

Donc Cf admet un point d’inflexion d’abscisse ln(0,005).

4. Déterminer un intervalle sur lequel une fonction est concave

La fonction f est concave sur tout intervalle où sa dérivée seconde est négative, donc d’après la question précédente, f est concave sur [ln(0,005);10].

partie b

1. a) Calculer l’image d’un nombre par une fonction

f(10)=10,5+100 e10.

En arrondissant le résultat au centième :

f(10)1,98

b) Interpréter un résultat numérique

2150 = 1900 + 25 × 10, donc 2150 est l’année de rang 10 et f(10) est le nombre de degrés Celsius au-dessus de la température de 1900. Pour tout x dans l’intervalle [0 ; 10] :

f(x)=100 ex(0,5+100 ex)2

donc f(x)>0. f est strictement croissante sur [0 ; 10].

Pour tout x dans cet intervalle, f(0)f(x)f(10)<2, donc d’ici 2150, la température terrestre ne devrait pas dépasser de plus de 2 °C la température de l’année 1900.

En 2150, avec le modèle considéré, l’objectif de l’accord de Paris devrait être respecté.

2. a) Donner une interprétation concrète de l’abscisse d’un point

D’après la question 3 de la partie A, le point d’inflexion I de la courbe  f a pour abscisse ln(0,005).

L’année correspondante est 1900+25×(ln(0,005))2032.

En arrondissant à l’unité, l’année associée à l’abscisse du point d’inflexion I de Cf est 2032.

b) Calculer et interpréter l’image d’un nombre par une fonction

f(ln(0,005))=10,5+100 eln(0,005)=1

Pour l’année correspondant au point d’inflexion I de la courbe Cf, le nombre de degrés Celsius supplémentaires par rapport à 1900 est de 1 °C.

3. a) Étudier, à partir d’une modélisation, le sens de variation d’une température

f est strictement croissante sur [0 ; 10], donc la température terrestre augmente de 1900 à 2150.

Selon le modèle considéré, il est faux de dire qu’après 2033 la température terrestre diminuera.

b) Étudier à partir d’une modélisation le sens de variation de la vitesse du réchauffement climatique

D’après la question 2. b) de la partie A, f est négative sur [ln(0,005);10], donc f est décroissante sur cet intervalle.

f modélise la vitesse du réchauffement climatique et, d’après la question 2.b), ln(0,005) correspond à l’année 2032.

Selon le modèle considéré, on peut donc dire qu’après 2033 la vitesse du réchauffement climatique diminuera.

4. Déterminer le nombre en lequel une fonction atteint une valeur donnée

Pour déterminer l’année au cours de laquelle la température terrestre devrait atteindre le seuil de plus de 1,5 °C au-dessus de la température de l’année 1900, on résout f(x)=1,5.

Cette équation équivaut successivement à :

10,5+100 ex=1,5

ex=1100(11,50,5)

x=ln[1100(11,50,5)]

x 6,397.

6,397 × 25 = 159,925 et 1 900 + 159,925 = 2 059,925.

C’est donc vers la fin de l’année 2059 que la température terrestre devrait pour la première fois atteindre le seuil de plus de 1,5 °C au-dessus de la température de l’année 1900.