Sujet complet du Liban 2017

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2017 | Académie : Moyen-Orient

Liban • Juin 2017

Sujet complet • 20 points • 4 h

Sujet complet du Liban 2017

Les thèmes clés

Exercice 1 – Géométrie dans l’espace • Compléments sur les fonctions

Exercice 2 – Loi exponentielle • Lois normales • Variable aléatoire discrète

Exercice 3 – Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien

Exercice 4 – Fonction logarithme • Tableur

Exercice 4 (spécialité) – Arithmétique • Algorithmique

 

Exercice 1 (6 points) 70 min
Promenade sur la diagonale d’un cube

Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH dont la représentation en perspective cavalière est donnée ci-dessous.

Les arêtes sont de longueur 1.

L’espace est rapporté au repère orthonormé (D;DA,DC,DH)

matT_1706_09_01C_01

partie a

 1. Montrer que le vecteur DF est normal est normal au plan (EBG).

 2. Déterminer une équation cartésienne du plan (EBG).

 3. En déduire les coordonnées du point I intersection de la droite (DF) et du plan (EBG).

On démontrerait de la même manière que le point J intersection de la droite (DF) et du plan (AHC) a pour coordonnées (13;13;13).

partie b

À tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], on associe le point M du segment [DF] tel que DM=x DF. On s’intéresse à l’évolution de la mesure θ en radians de l’angle EMB^ lorsque le point M parcourt le segment [DF]. On a 0  θ  π.

 1. Que vaut θ si le point M est confondu avec le point D ? avec le point F ?

 2. a) Justifier que les coordonnées du point M sont (; ; x).

b) Montrer que cos(θ)=3x24x+13x24x+2. On pourra pour cela s’intéresser au produit scalaire des vecteurs ME et MB.

 3. On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction f:x3x24x+13x24x+2.

matT_1706_09_01C_tab1

Pour quelles positions du point M sur le segment [DF] :

a) le triangle MEB est-il rectangle en M ?

b) l’angle θ est-il maximal ?

Exercice 2 (6 points) 70 min
Parkings d’une ville

Commun à tous les candidats

Dans tout l’exercice, les probabilités seront données avec une précision de 10–4.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Dans cet exercice, on étudie quelques grandeurs caractéristiques du fonctionnement des parkings d’une ville.

partie a : durée d’attente pour entrer dans un parking souterrain

On appelle durée d’attente le temps qui s’écoule entre le moment où la voiture se présente à l’entrée du parking et le moment où elle franchit la barrière d’entrée du parking. Le tableau suivant présente les observations faites sur une journée.

Durée d’attente en minutes

[0 ; 2[

[2 ; 4[

[4 ; 6[

[6 ; 8[

Nombre de voitures

75

19

10

5

 1. Proposer une estimation de la durée d’attente moyenne d’une voiture à l’entrée du parking.

 2. On décide de modéliser cette durée d’attente par une variable aléatoire T (exprimée en minutes) suivant une loi exponentielle de paramètre λ.

a) Justifier que l’on peut choisir λ = 0,5.

b) Une voiture se présente à l’entrée du parking. Quelle est la probabilité qu’elle mette moins de deux minutes pour franchir la barrière ?

c) Une voiture attend à l’entrée du parking depuis une minute. Quelle est la probabilité qu’elle franchisse la barrière dans la minute suivante ?

partie b : durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain

Une fois garée, la durée de stationnement d’une voiture est modélisée par une variable aléatoire D qui suit la loi normale d’espérance μ = 70 min et d’écart type σ = 30 min.

 1. a) Quelle est la durée moyenne de stationnement d’une voiture ?

b) Un automobiliste entre et se gare dans le parking. Quelle est la probabilité que sa durée de stationnement dépasse deux heures ?

c) À la minute près, quel est le temps maximum de stationnement pour au moins 99 % des voitures ?

 2. La durée de stationnement est limitée à trois heures. Le tableau donne le tarif de la première heure et chaque heure supplémentaire est facturée à un tarif unique. Toute heure commencée est due intégralement.

Durée de stationnement

Inférieure à 15 min

Entre 15 min et 1 h

Heure supplémentaire

Tarif en euros

Gratuit

3,5

t

Déterminer le tarif t de l’heure supplémentaire que doit fixer le gestionnaire du parking pour que le prix moyen de stationnement d’une voiture soit de 5 euros.

partie c : temps d’attente pour se garer dans un parking de centre-ville

La durée de stationnement d’une voiture dans un parking de centre-ville est modélisée par une variable aléatoire T qui suit une loi normale d’espérance μ et d’écart type σ. On sait que la moyenne du temps de stationnement dans ce parking est égale à 30 minutes et que 75 % des voitures ont un temps de stationnement inférieur à 37 minutes.

Le gestionnaire du parking vise l’objectif que 95 % des voitures aient un temps de stationnement entre 10 et 50 minutes. Cet objectif est-il atteint ?

Exercice 3 (3 points) 35 min
Alignés ou pas ?

Commun à tous les candidats

Soit k un réel strictement positif. On considère les fonctions fk définies sur par :

fk(x)=x+kex.

On note 𝒞k la courbe représentative de la fonction fk dans un plan muni d’un repère orthonormé.

On a représenté ci-après quelques courbes 𝒞k pour différentes valeurs de k.

matT_1706_09_01C_02

Pour tout réel k strictement positif, la fonction fk admet un minimum sur . La valeur en laquelle ce minimum est atteint est l’abscisse du point noté Ak de la courbe 𝒞k. Il semblerait que, pour tout réel k strictement positif, les points Ak soient alignés.

Est-ce le cas ?

Exercice 4 (5 points) 65 min
Âge et hauteur d’un épicéa

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

L’épicéa commun est une espèce d’arbre résineux qui peut mesurer jusqu’à 40 mètres de hauteur et vivre plus de 150 ans.

L’objectif de cet exercice est d’estimer l’âge et la hauteur d’un épicéa à partir du diamètre de son tronc mesuré à 1,30 m du sol.

partie a : modélisation de l’âge d’un épicéa

Pour un épicéa dont l’âge est compris entre 20 et 120 ans, on modélise la relation entre son âge (en années) et le diamètre de son tronc (en mètres) mesuré à 1,30 m du sol par la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; 1[ par :

f(x)=30ln(20x1x)

x désigne le diamètre exprimé en mètres et f(x) l’âge en années.

1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; 1[.

2. Déterminer les valeurs du diamètre x du tronc tel que l’âge calculé dans ce modèle reste conforme à ses conditions de validité, c’est-à-dire compris entre 20 et 120 ans.

partie b

On a relevé la hauteur moyenne des épicéas dans des échantillons représentatifs d’arbres âgés de 50 à 150 ans. Le tableau suivant, réalisé à l’aide d’un tableur, regroupe ces résultats et permet de calculer la vitesse de croissance moyenne d’un épicéa.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

1

Âge (en années)

50

70

80

85

90

95

100

105

110

120

130

150

2

Hauteur (en mètres)

11,2

15,6

18,05

19,3

20,55

21,8

23

24,2

25,4

27,6

29,65

33

3

Vitesse de croissance (en mètres par année)

0,22

0,245

0,25

1. a) Interpréter le nombre 0,245 dans la cellule D3.

b) Quelle formule doit-on entrer dans la cellule C3 afin de compléter la ligne 3 en recopiant la cellule C3 vers la droite ?

2. Déterminer la hauteur attendue d’un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à 1,30 m du sol vaut 27 cm.

3. La qualité du bois est meilleure au moment où la vitesse de croissance est maximale.

a) Déterminer un intervalle d’âges durant lequel la qualité du bois est la meilleure en expliquant la démarche.

b) Est-il cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ 70 cm ?

Exercice 4 (5 points) 65 min
Numéros de carte bancaire

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un numéro de carte bancaire est de la forme :

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 c

a1, a2, …, a15 et c sont des chiffres compris entre 0 et 9.

Les quinze premiers chiffres contiennent des informations sur le type de carte, la banque et le numéro de compte bancaire.

c est la clé de validation du numéro. Ce chiffre est calculé à partir des quinze autres.

L’algorithme suivant permet de valider la conformité d’un numéro de carte donné.

Initialisation

I prend la valeur 0

P prend la valeur 0

R prend la valeur 0

Traitement

Pour k allant de 0 à 7 :

R prend la valeur du reste de la division euclidienne de 2a2k+1 par 9

I prend la valeur I + R

Fin Pour

Pour k allant de 1 à 7 :

P prend la valeur P + a2k

Fin Pour

S prend la valeur I P c

Sortie

Si S est un multiple de 10 alors :

Afficher « Le numéro de la carte est correct. »

Sinon :

Afficher « Le numéro de la carte n’est pas correct. »

Fin Si

1. On considère le numéro de carte suivant : 5635 4002 9561 3411.

a) Compléter le tableau ci-dessous permettant d’obtenir la valeur finale de la variable I.

k

0

1

2

3

4

5

6

7

a2k+1

2a2k+1

R

I

b) Justifier que le numéro de la carte 5635 4002 9561 3411 est correct.

c) On modifie le numéro de cette carte en changeant les deux premiers chiffres. Le premier chiffre (initialement 5) est changé en 6. Quel doit être le deuxième chiffre a pour que le numéro de carte obtenu 6a35 4002 9561 3411 reste correct ?

2. On connaît les quinze premiers chiffres du numéro d’une carte bancaire. Montrer qu’il existe une clé c rendant ce numéro de carte correct et que cette clé est unique.

3. Un numéro de carte dont les chiffres sont tous égaux peut-il être correct ? Si oui, donner tous les numéros de carte possibles de ce type.

4. On effectue le test suivant : on intervertit deux chiffres consécutifs distincts dans un numéro de carte correct et on vérifie si le numéro obtenu reste correct.

On a trouvé une situation où ce n’est pas le cas, l’un des deux chiffres permutés valant 1.

Peut-on déterminer l’autre chiffre permuté ?

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Partie A

3. Déterminez une représentation paramétrique de la droite (DF). Résolvez ensuite un système d’équations pour déterminer les coordonnées du point I.

Partie B

1. Étudiez successivement la nature des triangles EDB et EFB.

2. b) Calculez successivement MEMB et les distances ME et MB.

3. b) Justifiez que l’angle θ est maximal si et seulement si cos(θ) est minimal. Concluez.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Partie A

2. a) Pensez à la notion d’espérance.

2. c) Identifiez correctement à l’aide de la variable aléatoire T la probabilité conditionnelle à calculer.

Partie B

1. a) Pensez à nouveau à la notion d’espérance.

2. Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire discrète qui, à un automobiliste choisi au hasard fréquentant le parking, associe le tarif en euros qu’il devrait payer. Concluez en traduisant la contrainte imposée par le gestionnaire à l’aide de l’espérance de cette variable aléatoire discrète.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Étudiez les variations de fk pour déterminer son minimum sur . Vérifiez ensuite que les coordonnées du point Ak vérifient l’équation réduite d’une droite à identifier en vous aidant éventuellement du graphique fourni.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

2. Résolvez, dans , les équations f(x)=20 et f(x)=120. Concluez en utilisant les variations de la fonction f.

Partie B

2. Déterminez dans un premier temps l’âge d’un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à 1,30 m du sol vaut 27 cm à l’aide de la partie A. Utilisez ensuite le tableau (relevé) pour conclure.

3. a) Complétez la ligne 3 du tableur et identifiez la ou les valeurs maximales.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

3. Distinguez le cas où le chiffre choisi est compris entre 0 et 4 du cas où le chiffre choisi est compris entre 5 et 9. Déroulez ensuite l’algorithme pour conclure.

4. Pensez ici à trouver un contre-exemple en choisissant des séries de chiffres les plus simples possibles.

Corrigé

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

Partie A

1. Montrer qu’un vecteur est normal à un plan  E31c • E32a • E33a 

D’après la figure et le repère fournis, on a les coordonnées des points suivants :

D(0 ; 0 ; 0), E(1 ; 0 ; 1), F(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 1 ; 0), G(0 ; 1 ; 1).

On a ensuite :

EB|xBxE=11=0yByE=10=1zBzE=01=1EG|xGxE=01=1yGyE=10=1zGzE=11=0 et DF|xFxD=10=1yFyD=10=1zFzD=10=1

Les coordonnées des vecteurs EB et EG n’étant pas proportionnelles, les vecteurs EB et EG ne sont pas colinéaires.

De plus, on a :

DFEB=1×+1×1+1×(1)=0 donc DF est orthogonal à EB ;

DFEG=1×(1)+ 1×1+1×0=0 donc DF est orthogonal à EG.

Le vecteur DF est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (EBG) donc le vecteur DF est normal au plan (EBG).

2. Déterminer une équation cartésienne d’un plan  E33c 

Le vecteur DF de coordonnées (1 ; 1 ; 1) est normal au plan (EBG), une équation cartésienne de ce plan est donc : 1x + 1y + 1z + d = 0 où d est un réel à déterminer. Or, le point E(1 ; 0 ; 1) appartient au plan (EBG) donc :

xE + yE + zE + d = 0 1 + 0 + 1 + d = 0 d = - 2.

Une équation cartésienne du plan (EBG) est donc x+y+z2=0.

3. Déterminer les coordonnées d’un point d’intersection  E30 • E33c 

Le vecteur DF(1;1;1) est un vecteur directeur de la droite (DF). Une représentation paramétrique de la droite (DF) est alors donnée par :

{x=xD+xDF×ty=yD+yDF×tz=zD+zDF×t,t ce qui nous donne {x=0+1×t=ty=0+1×t=tz=0+1×t=t,t.

I(x;y;z)(DF)(EBG){x=ty=tz=tx+y+z2=0{x=ty=tz=tt+t+t2=0x=y=z=t=23

Le point I a donc pour coordonnées (23;23;23).

Partie B

1. Déterminer une mesure pour un angle sous contrainte

Si le point M est confondu avec le point D, alors EMB^=EDB^. Les côtés du triangle EDB ont tous la même mesure puisqu’ils correspondent tous à une diagonale d’une face du cube. Le triangle EDB est donc équilatéral : θ=EMB^=EDB^=60°=π3rad.

Si le point M est confondu avec le point F, alors EMB^=EFB^. Or le triangle EFB est rectangle en F puisque, dans le carré EFBA, on a EFB^=90°. Par conséquent, θ=EMB^=EFB^=90°=π2rad.

2. a) Déterminer les coordonnées d’un point  E27 

DM=xDF{xMxD=x×xDFyMyD=x×yDFzMzD=x×zDF{xM0=x×1yM0=x×1zM0=x×1{xM=xyM=xzM=x

Le point M a donc pour coordonnées (x;x;x).

b) Déterminer le cosinus d’un angle à l’aide d’un produit scalaire  E31a • E31c 

Puisque E [DF] et B [DF], on a ME0  et MB0. Le produit scalaire MEMB est donc bien défini et donné par : MEMB=ME×MB×cos(ME,MB)=ME×MB×cos(θ).

On a :

ME|xExM=1xyEyM=0x=xzEzM=1x et MB|xBxM=1xyByM=1xzBzM=0x=x

À noter

Pour tous réels a et b, (ab)2=a22ab+b2.

MEMB=xME×xMB+yME×yMB+zME×zMB=(1x)2+(x)×(1x)+(1x)×(x)=12x+x2x+x2x+x2=3x24x+1.

ME=ME=xME2+yME2+zME2=(1x)2+(x)2+(1x)2=12x+x2+x2+12x+x2=3x24x+2.

De même, MB=MB=3x24x+2.

Par conséquent, puisque MB = ME ≠ 0, on a :

cos(θ)=MEMBME×MB=MEMBME2=3x24x+13x24x+2.

3. a) Déterminer la position d’un point pour qu’un triangle soit rectangle  E19d 

Le triangle MEB est rectangle en M si et seulement si θ=EMB^=π2rad. Or, comme 0  θ  π, c’est équivalent à cos(θ= 0, soit f(x= 0.

f(x)=0x=13oux=1M=JouM=F

Le triangle MEB est rectangle en M si et seulement si M est en J ou M est en F sur le segment [DF].

b) Déterminer la position d’un point pour qu’un angle soit maximal  E19d 

D’après le tableau de variations, si x [0 ; 1], alors f(x)=cos(θ)[12;12].

Or cos(θ)[12;12]0θππ3θ2π3. La fonction cosinus étant strictement décroissante sur [0 ; π], l’angle θ est maximal, égal à 2π3, si et seulement si cos(θ) est minimal, égal à 12. Il en découle, d’après le tableau de variations, que l’angle θ est maximal si et seulement si x=23.

En conclusion, d’après la question 3. de la partie A et la question 2. a) de la partie B, l’angle θ est maximal si et seulement si M est en I sur le segment [DF].

Exercice 2

Commun à tous les candidats

Partie A

1. Proposer une estimation d’une moyenne

À retenir

x¯=i=1kxi×nii=1kni, avec k : nombre d’intervalles ; (xi)1ik centres des intervalles ; (ni)1ik effectifs correspondants.

On a : 1×75+3×19+5×10+7×575+19+10+5=2171092.

Une estimation de la durée d’attente moyenne d’une voiture à l’entrée du parking est 2 minutes.

2. a) Justifier le choix d’un paramètre d’une loi  E41c 

D’après la question précédente, la durée d’attente moyenne serait de deux minutes.

La durée d’attente étant modélisée par une variable aléatoire T (exprimée en minutes) suivant une loi exponentielle de paramètre λ, la durée d’attente moyenne correspondrait à l’espérance de T notée E(T) et égale à 1λ.

D’après ces deux points, on aurait : 2=E(T)2=1λλ=12=0,5.

On peut donc choisir λ=0,5.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle  E40a • E40c 

À retenir

Si X est une variable aléatoire continue, alors pour tout réel a, P(X = a= 0.

La probabilité que la voiture mette moins de deux minutes pour franchir la barrière est donnée par P(T<2)=loi continueP(T2).

La densité f associée à la variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0,5 est donnée par :

f(t)={0sit<0λeλt=0,5e0,5tsit0

À noter

Une primitive de la densité associée à une loi exponentielle de paramètre λ > 0 sur l’intervalle [0;+[ est : xeλx.

Nous avons alors :

P(T2)=020,5e0,5tdt=[e0,5t]02=e0,5×2(e0,5×0)=1e10,6321.

La probabilité que la voiture mette moins de deux minutes pour franchir la barrière est environ 0,6321.

c) Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle  E35 • E40a • E40c 

La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle : probabilité que sachant que la voiture attend déjà depuis une minute, elle franchisse la barrière dans la minute suivante (donc attende moins de deux minutes dès sa présentation à l’entrée du parking). Elle se note : P(T1)(T  2).

La loi exponentielle étant une loi sans vieillissement, on a : P(T1)(T  2) = P(T  2 - 1) = P(T  1).

Similairement à la question précédente, on a : P(T1)=[e0,5t]01=e0,5×1(e0,5×0)=1e0,50,3935. 

On en conclut que : P(T1)(T  2) 0,3935.

La probabilité que la voiture qui attend à l’entrée du parking depuis une minute franchisse la barrière dans la minute suivante est environ 0,3935.

Partie B

1. a) Interpréter un paramètre d’une loi  E40e 

La durée de stationnement étant modélisée par une variable aléatoire suivant une loi normale d’espérance μ = 70 min, la durée moyenne de stationnement est 70 minutes.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi normale  E40a • E40e • C3 

La probabilité que la durée de stationnement de cet automobiliste dépasse deux heures, à savoir 120 minutes, s’écrit à l’aide de la variable aléatoire D de la manière suivante : P(D120). Par définition et par symétrie de la densité associée à la loi normale considérée, on a : P(D>120)en vert sur le graphique=0,5P(70D120)en jaune sur le graphique.

matT_1706_09_01C_03

À l’aide de la calculatrice, on obtient :

TI 83 +

Casio Graph 75

matT_1706_09_01C_04

matT_1706_09_01C_05

La probabilité que sa durée de stationnement dépasse deux heures est environ 0,0478.

c) Déterminer une valeur sous contrainte

À noter

Syntaxe pour la TI 83 + : FracNormale(b,μ,σ) où b = 0,99 ; μ = 70 et σ = 30.

Syntaxe pour la Casio Graph 75 : InvNormCD(b,σ,μ) où b = 0,99 ; μ = 70 et σ = 30.

Le temps maximum tmax de stationnement pour au moins 99 % des voitures est la plus petite valeur t telle que : P(Dt)0,99.

Cherchons la valeur te telle que P(Dte)=0,99.

À l’aide de la calculatrice, on a :

TI 83 +

Casio Graph 75

matT_1706_09_01C_06

matT_1706_09_01C_07

Ainsi, on a : te 140 (à la minute près).

Pour tout t  te, P(Dt)P(Dte)=0,99.

Pour tout t te, P(Dt)P(Dte)=0,99.

Par conséquent, tmax = te.

Le temps maximum de stationnement pour au moins 99 % des voitures est, à la minute près, 140 minutes soit 2 heures 20 minutes.

2. Déterminer une valeur sous contrainte  E38 • C3 

La grille tarifaire en euros en fonction de la durée de stationnement exprimée en minutes peut se résumer à l’aide du tableau suivant :

Durée de stationnement d en minutes

d < 15

15  d  60

60 < d  120

120 < d  180

Tarif en euros

0

3,5

3,5 + t

3,5 + 2t

Définissons la variable aléatoire S qui, à un automobiliste choisi au hasard fréquentant ce parking souterrain, associe le tarif en euros qu’il devrait payer.

La probabilité qu’il ne paie pas correspond à la probabilité que sa durée de stationnement n’excède pas 15 minutes à savoir P(D<15). Similairement à la question 1. b) de la partie B, on a : P(D<15)=0,5P(15D70)0,0334.

La probabilité qu’il paie 3,50 euros correspond à la probabilité que sa durée de stationnement soit comprise entre 15 minutes et 60 minutes à savoir P(15D60).

À l’aide de la calculatrice, on a : P(15D60)0,3361.

La probabilité qu’il paie 3,5 + t euros correspond à la probabilité que sa durée de stationnement soit strictement supérieure à 60 minutes mais inférieure ou égale à 120 minutes à savoir P(60<D120). Comme D est une variable aléatoire continue, on a P(60<D120)=P(60D120). À l’aide de la calculatrice,P(60D120)0,5828.

De même, la probabilité qu’il paie 3,5 + 2t euros correspond à la probabilité P(120D180)0,0477.

La loi de probabilité de la variable aléatoire discrète S est ainsi donnée par le tableau suivant :

Tarif en euros

0

3,5

3,5 + t

3,5 + 2t

Probabilité

p1=P(D<15)

p2=P(15D60)

p3=P(60<D120)

p4=P(120<D180)

Probabilité (arrondie au dix millième)

0,0334

0,3361

0,5828

0,0477

Le gestionnaire du parking souhaite que le prix moyen de stationnement d’une voiture soit de 5 €, en d’autres mots que l’espérance de la variable aléatoire discrète S notée E(S) soit égale à 5. Or, par définition :

E(S)=0×p1+3,5×p2+(3,5+t)×p3+(3,5+2t)×p4=3,5×(p2+p3+p4)+t×(p3+2p4).

Par conséquent, E(S= 5 équivaut à :

t=53,5×(p2+p3+p4)p3+2p41,61690,67822,38.

Le gestionnaire du parking devrait fixer le tarif de l’heure supplémentaire à 2 euros et trente-huit centimes pour que le prix moyen de stationnement d’une voiture soit de 5 euros.

Partie C

Prendre une initiative  E40d • E40e • C3 

La moyenne du temps de stationnement dans ce parking étant égale à 30 minutes, on a : μ = 30.

« 75 % des voitures ont un temps de stationnement inférieur à 37 minutes » se traduit à l’aide de la variable aléatoire T par P(T<37)=0,75 qui, comme la variable aléatoire T est continue, est équivalent à P(T37)=0,75. Or :

P(T37)=0,75P(T30centrer3730)=0,75P(T30σréduire7σ)=0,75.

À noter

Syntaxe pour la TI 83 + : FracNormale(a,μ,σ) où μ = 0 et σ = 1.

Syntaxe pour la Casio Graph 75 : InvNormCD(a,σ,μ) où μ = 0 et σ = 1.

Or, comme la variable aléatoire T suit la loi normale d’espérance 30 et d’écart type σ alors, par définition, la variable aléatoire TC=T30σ suit la loi normale centrée réduite. Nous avons ainsi P(TC7σ)=0,75TCN(0;12). Résolvons alors l’équation P(TCa)=0,75a est un réel à déterminer et où TC suit la loi normale centrée réduite.

À l’aide de la calculatrice, nous avons :

TI 83 +

Casio Graph 75

matT_1706_09_01C_08

matT_1706_09_01C_09

Ainsi a 0,6745. Par identification, nous pouvons maintenant écrire que 7σ=a soit σ=7a10,378.

La valeur de σ, arrondie à l’unité, est 10.

Le gestionnaire du parking vise l’objectif que 95 % des voitures aient un stationnement entre 10 et 50 minutes. Or, la probabilité qu’une voiture choisie au hasard stationne entre 10 et 50 minutes dans ce parking du centre-ville s’écrit : P(10T50). À l’aide de la calculatrice en prenant μ = 30 et σ = 10, cette probabilité est environ de 0,9545. L’objectif serait donc atteint.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

Pour tout réel k strictement positif, la fonction fk est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur .

À noter

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors eu est dérivable sur I et (eu)=ueu.

Pour tous réels a > 0 et b > 0, a > b ln(a) > ln(b) ; ln(1a)=ln(a).

Pour tout x , fk(x)=1kex.

fk(x)>01>kexk>01k>exln(1k)>ln(ex)ln(k)>xln(k)<x.

On en déduit le tableau de variations de fk sur .

matT_1706_09_01C_tab2

À retenir

Pour tout réel a > 0, eln(a)=a.

fk(ln(k))=ln(k)+keln(k)=ln(k)+keln(k)=ln(k)+kk=ln(k)+1.

Le point Ak (k > 0) cité dans l’énoncé a donc pour coordonnées (ln(k) ; ln(k) + 1).

On remarque alors que, pour tout réel k strictement positif, ces coordonnées vérifient l’équation réduite y = x + 1.

Par conséquent, pour tout réel k strictement positif, les points Ak sont sur la droite d’équation y = x + 1 et sont donc alignés.

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

1. Étudier les variations d’une fonction  E6c • E6e • E6f 

Les fonctions affines x 20x et x 1 - x sont dérivables sur ]0 ; 1[. Comme la fonction x 1 - x ne s’annule pas sur cet intervalle, la fonction (quotient) x20x1x est dérivable également sur ]0 ; 1[.

À noter

Pour tout réel x de ]0 ; 1[, 20x > 0 et 1 - x > 0.

De plus, cette fonction est strictement positive sur ]0 ; 1[. Par composition et produit, la fonction f est donc dérivable sur ]0 ; 1[.

• Pour tout réel x de ]0 ; 1[, on a :

f(x)=30×ln(20x1x)=30×(ln(20x)ln(1x)).

À retenir

Si u est dérivable et strictement positive sur I, ln(u) est dérivable sur I et (lnu)=uu.

Par suite, pour tout réel x de ]0 ; 1[ on a :

f(x)=30×(2020x(1)1x)=30×(1x+11x).

Comme x > 0 et 1 - x > 0, on a f(x)>0.

La fonction f est donc strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; 1[.

2. Déterminer des valeurs sous contrainte  E8f • E9a 

Résolvons l’équation f(x)=20 dans . On a :

À noter

Pour tous réels a et b, a=bea=eb.

f(x)=2030×ln(20x1x)=20ln(20x1x)=2320x1x=e2320x=e23xe2320x+xe23=e23x=e2320+e23.

Notons x1 cette solution. Une valeur approchée au millième étant 0,089, x1 appartient bien à l’intervalle ]0 ; 1[.

À retenir

Pour tout réel c >0, elnc=c.

De même, l’équation f(x)=120 admet dans une seule solution qui est x=e420+e4.

Notons x2 cette solution. Une valeur approchée au millième étant 0,731, x2 appartient bien à l’intervalle ]0 ; 1[.

Pour tout réel x tel que x1  x  x2, on a f(x1)f(x)f(x2) (f étant strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; 1[ d’après la question 1.). Or, f(x1)=20 et f(x2)=120. Ainsi, 20f(x)120.

Les valeurs du diamètre x du tronc tel que l’âge calculé dans ce modèle reste conforme à ses conditions de validité, sont les valeurs comprises entre x1 et x2 à savoir l’intervalle :

[e2320+e23;e420+e4][0,089;0,731].

Partie B

1. a) Interpréter une valeur

D’après le relevé, un épicéa âgé entre 70 et 80 ans a une vitesse de croissance moyenne de 0,245 mètre à savoir 24,5 centimètres par an.

b) Déterminer une formule à saisir dans un tableur

D’après le relevé, un épicéa âgé entre 50 et 70 ans grandit sur ces 20 années de 15,6 - 11,2 = 4,4 mètres. Cela représente ainsi une vitesse de croissance moyenne en mètres par année de 4,420=0,22.

Une formule qui peut être saisie dans la cellule C3 afin de compléter la ligne 3 en recopiant la cellule C3 vers la droite est : « =(C2–B2)/(C1–B1) ».

2. Calculer une image par une fonction

L’âge d’un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à 1,30 m du sol vaut 27 cm est :

Attention

Veillez aux unités : 27 cm correspond à 0,27 m.

f(0,27)=30×ln(20×0,2710,27)=30×ln(54073)60.

Cet épicéa étant âgé environ de 60 ans (entre 50 et 70 ans), il aurait dû mesurer 11,2 mètres à 50 ans et avoir une vitesse de croissance moyenne de 0,22 mètre par an. Ainsi, à l’âge de 60 ans, sa hauteur en mètres devrait être de : 11,2 + 10 × 0,22 = 13,40.

La hauteur attendue d’un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à 1,30 m du sol vaut 27 cm, est 13,40 mètres.

3. a) Compléter une ligne d’un tableur

Complétons le reste de la ligne 3 du tableau pour connaître toutes les vitesses de croissance :

On a :

 

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

1

Âge (en années)

50

70

80

85

90

95

100

105

110

120

130

150

2

Hauteur (en mètres)

11,2

15,6

18,05

19,3

20,55

21,8

23

24,2

25,4

27,6

29,65

33

3

Vitesse de croissance (en mètres par année)

 

0,22

0,245

0,25

0,25

0,25

0,24

0,24

0,24

0,22

0,205

0,1675

Sur cette troisième ligne, la vitesse de croissance maximale est 0,25 mètre par an (cellules E3, F3 et G3). L’intervalle d’âges durant lequel la qualité du bois est la meilleure est donc [80 ; 95].

b) Calculer une image par une fonction

L’âge d’un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à 1,30 m du sol vaut environ 70 cm est :

f(0,70)=30×ln(20×0,7010,70)=30×ln(1403)115ans.

Cet épicéa étant âgé d’environ 115 ans, d’après la question précédente, la qualité du bois n’est plus la meilleure. Il n’est ainsi pas cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ 70 cm.

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. a) Comprendre une structure itérative

Conseil

Concentrez-vous sur la première structure itérative « Pour » de la phase « traitement ».

On remarquera que les chiffres notés a2k+1 sont les chiffres d’indice impair. On notera également que, d’après l’énoncé, R est le reste de la division euclidienne de 2a2k+1 par 9. Enfin la variable I prend pour valeur la somme des valeurs successives de R obtenues dans le tableau.

k

0

1

2

3

4

5

6

7

a2k+1

5

3

4

0

9

6

3

1

2a2k+1

10

6

8

0

18

12

6

2

R

1

6

8

0

0

3

6

2

I

1

7

15

15

15

18

24

26

La valeur finale de la variable I est 26.

b) Comprendre un algorithme

À retenir

Lisez la phase de sortie pour savoir dans quel cas un numéro de carte est correct.

D’après l’algorithme proposé, si S = I + P + c est un multiple de 10 alors le numéro de la carte est correct.

D’après la question précédente, I = 26.

Conseil

Concentrez-vous sur la deuxième structure itérative « Pour » de la phase « traitement ».

On remarquera que les chiffres notés a2k sont les chiffres d’indice pair, par conséquent P prend pour valeur la somme de ces termes et :

P = 6 + 5 + 0 + 2 + 5 + 1 + 4 = 23.

Enfin, d’après le numéro de la carte fourni, c = 1.

On obtient ainsi :

S = I + P + c = 26 + 23 + 1 = 50 = 5 × 10.

S est bien un multiple de 10 donc le numéro de la carte 5635 4002 9561 3411 est correct.

c) Trouver un chiffre manquant dans un numéro de carte bancaire

Si le premier chiffre est changé en 6, alors, en remarquant que2×6=123[9], on constate que la première valeur de R dans le tableau de la question 1. a) devient 3. La valeur initiale de R passant de 1 à 3, la valeur finale de I augmente de 2 et devient 28.

Dans le calcul de P, le chiffre 6 est remplacé par a donc P prend la valeur 23 - 6 + a = 17 + a.

Nous obtenons S = I + P + c = 28 + (17 + a) + 1 = 46 + a. Si S est un multiple de 10, alors le numéro de la carte est correct. Par conséquent, si 46+a0[10], ce qui équivaut à a46[10] soit a4[10], alors le numéro de la carte est correct. Or a est compris entre 0 et 9. Finalement, si a=4, alors le numéro de la carte 6a35 4002 9561 3411 est correct.

2. Justifier l’existence et l’unicité d’une clé

On connaît les quinze premiers chiffres du numéro d’une carte bancaire. On peut déterminer alors sans difficulté la valeur de I + P. Dans la division euclidienne de I + P par 10, il existe un unique couple d’entiers naturels (q ; r) tel que I + P = 10q + r où 0  r < 10 soit 0  r  9.

On obtient alors I+Pr[10] soit encore I+Pr0[10] avec 0  r  9.

À noter

« S = I + P + c est un multiple de 10 » est équivalent à « I+P+c0[10] »

Si r = 0, alors I+P0[10] et seule la valeur c = 0 (0  c  9) convient pour avoir I+P+c0[10].

Si r ≠ 0, alors : 1  r  9 - 1 -r - 9  9  10 - r  1.

Ensuite I+Pr0[10]I+P+(10r)0[10].

En prenant c = 10 - r, on obtient I+P+c0[10] où 1  c  9, l’unicité de r assurant l’unicité de c.

En résumé, lorsque l’on connaît les quinze premiers chiffres du numéro d’une carte bancaire, il existe une clé c rendant ce code de carte correct et cette clé est unique.

3. Rechercher un numéro de carte bancaire sous contrainte

Notons n la valeur commune prise par tous les chiffres du numéro de la carte bancaire.

Si 0  n  4, alors 0  2n  8. Dans la division euclidienne de 2n par 9, nous avons donc 2n=9×0+2n=R.

Nous obtenons alors I = 8 × 2n, P = 7 × n et c = n.

Ensuite S = I + P + c = 16n + 7n + n = 24n.

Enfin S0[10]24n0[10]4n0[10]. Or cette dernière relation de congruence est vérifiée si et seulement si n = 0 (0  n  4).

Seul un numéro de carte dont tous les chiffres sont égaux à 0 est correct.

Si 5  n  8, alors 10  2n  16. Dans la division euclidienne de 2n par 9, nous avons donc 2n=9×1+2n9=R.

Nous obtenons alors I=8×(2n9), P = 7 × n et c = n.

Ensuite S = I + P + c = 16n - 72 + 7n + n = 24n - 72.

Enfin S0[10]24n720[10]4n20[10]. Or cette dernière relation de congruence est vérifiée si et seulement si n = 8 (5  n  8).

Seul un numéro de carte dont tous les chiffres sont égaux à 8 est correct.

Si n = 9, alors, dans la division euclidienne de 2n par 9, nous avons donc 2n=9×2+0=R.

Nous obtenons alors I = 8 × 0, P = 7 ×= 63 et c = 9.

Ensuite S = I + P + c = 0 + 63 + 9 = 72. Mais S = 72 n’est pas un multiple de 10. Le cas n = 9 ne permet donc pas d’obtenir un numéro de carte correct.

En résumé, un numéro de carte dont tous les chiffres sont égaux peut être correct ; les seuls chiffres possibles sont 0 et 8.

4. Rechercher un chiffre après permutation dans un numéro de carte bancaire

L’idée est de construire des numéros de carte bancaire corrects contenant le chiffre 1, qui donnent après permutation des numéros de carte bancaire incorrects pour voir si l’on peut anticiper la valeur du chiffre qui permute avec le 1.

Considérons les numéros suivants :

N1 = 2100 0000 0000 0005

N1= 1200 0000 0000 0005

N2 = 7100 0000 0000 0005

N2= 1700 0000 0000 0005

N1 et N2 sont deux numéros qui correspondent aux contraintes imposées par l’énoncé : présence du 1 et numéros corrects (2×2+1+5=100[10] pour N1 ; 2×7+1+5=14+1+50[10]pour N2).

N1 et N2 sont deux numéros obtenus à partir de N1 et N2 par permutation des deux premiers chiffres dont le 1. Aucun de ces deux numéros n’est correct :

pour N1, 2 × 1 + 2 + 5 = 9 qui n’est pas un multiple de 10 ;

pour N2, 2 × 1 + 7 + 5 = 14 qui n’est pas un multiple de 10.

En résumé, nous avons construit deux numéros de carte bancaire corrects où l’on a permuté deux chiffres consécutifs l’un étant le 1. On a alors obtenu des numéros de carte bancaire incorrects. L’autre chiffre permuté peut être dans notre cas le 2 ou le 7.

On ne peut donc a priori pas anticiper la valeur de l’autre chiffre permuté.