Sujet complet du Liban 2017

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujet complet
Type : Sujet complet | Année : 2017 | Académie : Moyen-Orient

Liban • Juin 2017

Sujet complet • 20 points • 4 h

Sujet complet du Liban 2017

Les thèmes clés

Exercice 1 – Géométrie dans l’espace • Compléments sur les fonctions

Exercice 2 – Loi exponentielle • Lois normales • Variable aléatoire discrète

Exercice 3 – Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien

Exercice 4 – Fonction logarithme • Tableur

Exercice 4 (spécialité) – Arithmétique • Algorithmique

 

Exercice 1 (6 points) 70 min
Promenade sur la diagonale d’un cube

Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH dont la représentation en perspective cavalière est donnée ci-dessous.

Les arêtes sont de longueur 1.

L’espace est rapporté au repère orthonormé (D;DA,DC,DH)

matT_1706_09_01C_01

partie a

 1. Montrer que le vecteur DF est normal est normal au plan (EBG).

 2. Déterminer une équation cartésienne du plan (EBG).

 3. En déduire les coordonnées du point I intersection de la droite (DF) et du plan (EBG).

On démontrerait de la même manière que le point J intersection de la droite (DF) et du plan (AHC) a pour coordonnées (13;13;13).

partie b

À tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], on associe le point M du segment [DF] tel que DM=x DF. On s’intéresse à l’évolution de la mesure θ en radians de l’angle EMB^ lorsque le point M parcourt le segment [DF]. On a 0  θ  π.

 1. Que vaut θ si le point M est confondu avec le point D ? avec le point F ?

 2. a) Justifier que les coordonnées du point M sont (; ; x).

b) Montrer que cos(θ)=3x24x+13x24x+2. On pourra pour cela s’intéresser au produit scalaire des vecteurs ME et MB.

 3. On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction f:x3x24x+13x24x+2.

matT_1706_09_01C_tab1

Pour quelles positions du point M sur le segment [DF] :

a) le triangle MEB est-il rectangle en M ?

b) l’angle θ est-il maximal ?

Exercice 2 (6 points) 70 min
Parkings d’une ville

Commun à tous les candidats

Dans tout l’exercice, les probabilités seront données avec une précision de 10–4.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Dans cet exercice, on étudie quelques grandeurs caractéristiques du fonctionnement des parkings d’une ville.

partie a : durée d’attente pour entrer dans un parking souterrain

On appelle durée d’attente le temps qui s’écoule entre le moment où la voiture se présente à l’entrée du parking et le moment où elle franchit la barrière d’entrée du parking. Le tableau suivant présente les observations faites sur une journée.

Durée d’attente en minutes

[0 ; 2[

[2 ; 4[

[4 ; 6[

[6 ; 8[

Nombre de voitures

75

19

10

5

 1. Proposer une estimation de la durée d’attente moyenne d’une voiture à l’entrée du parking.

 2. On décide de modéliser cette durée d’attente par une variable aléatoire T (exprimée en minutes) suivant une loi exponentielle de paramètre λ.

a) Justifier que l’on peut choisir λ = 0,5.

b) Une voiture se présente à l’entrée du parking. Quelle est la probabilité qu’elle mette moins de deux minutes pour franchir la barrière ?

c) Une voiture attend à l’entrée du parking depuis une minute. Quelle est la probabilité qu’elle franchisse la barrière dans la minute suivante ?

partie b : durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain

Une fois garée, la durée de stationnement d’une voiture est modélisée par une variable aléatoire D qui suit la loi normale d’espérance μ = 70 min et d’écart type σ = 30 min.

 1. a) Quelle est la durée moyenne de stationnement d’une voiture ?

b) Un automobiliste entre et se gare dans le parking. Quelle est la probabilité que sa durée de stationnement dépasse deux heures ?

c) À la minute près, quel est le temps maximum de stationnement pour au moins 99 % des voitures ?

 2. La durée de stationnement est limitée à trois heures. Le tableau donne le tarif de la première heure et chaque heure supplémentaire est facturée à un tarif unique. Toute heure commencée est due intégralement.

Durée de stationnement

Inférieure à 15 min

Entre 15 min et 1 h

Heure supplémentaire

Tarif en euros

Gratuit

3,5

t

Déterminer le tarif t de l’heure supplémentaire que doit fixer le gestionnaire du parking pour que le prix moyen de stationnement d’une voiture soit de 5 euros.

partie c : temps d’attente pour se garer dans un parking de centre-ville

La durée de stationnement d’une voiture dans un parking de centre-ville est modélisée par une variable aléatoire T qui suit une loi normale d’espérance μ et d’écart type σ. On sait que la moyenne du temps de stationnement dans ce parking est égale à 30 minutes et que 75 % des voitures ont un temps de stationnement inférieur à 37 minutes.

Le gestionnaire du parking vise l’objectif que 95 % des voitures aient un temps de stationnement entre 10 et 50 minutes. Cet objectif est-il atteint ?

Exercice 3 (3 points) 35 min
Alignés ou pas ?

Commun à tous les candidats

Soit k un réel strictement positif. On considère les fonctions fk définies sur par :

fk(x)=x+kex.

On note 𝒞k la courbe représentative de la fonction fk dans un plan muni d’un repère orthonormé.

On a représenté ci-après quelques courbes 𝒞k pour différentes valeurs de k.

matT_1706_09_01C_02

Pour tout réel k strictement positif, la fonction fk admet un minimum sur . La valeur en laquelle ce minimum est atteint est l’abscisse du point noté Ak de la courbe 𝒞k. Il semblerait que, pour tout réel k strictement positif, les points Ak soient alignés.

Est-ce le cas ?

Exercice 4 (5 points) 65 min
Âge et hauteur d’un épicéa

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

L’épicéa commun est une espèce d’arbre résineux qui peut mesurer jusqu’à 40 mètres de hauteur et vivre plus de 150 ans.

L’objectif de cet exercice est d’estimer l’âge et la hauteur d’un épicéa à partir du diamètre de son tronc mesuré à 1,30 m du sol.

partie a : modélisation de l’âge d’un épicéa

Pour un épicéa dont l’âge est compris entre 20 et 120 ans, on modélise la relation entre son âge (en années) et le diamètre de son tronc (en mètres) mesuré à 1,30 m du sol par la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; 1[ par :

f(x)=30ln(20x1x)

x désigne le diamètre exprimé en mètres et f(x) l’âge en années.

1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; 1[.

2. Déterminer les valeurs du diamètre x du tronc tel que l’âge calculé dans ce modèle reste conforme à ses conditions de validité, c’est-à-dire compris entre 20 et 120 ans.

partie b

On a relevé la hauteur moyenne des épicéas dans des échantillons représentatifs d’arbres âgés de 50 à 150 ans. Le tableau suivant, réalisé à l’aide d’un tableur, regroupe ces résultats et permet de calculer la vitesse de croissance moyenne d’un épicéa.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

1

Âge (en années)

50

70

80

85

90

95

100

105

110

120

130

150

2

Hauteur (en mètres)

11,2

15,6

18,05

19,3

20,55

21,8

23

24,2

25,4

27,6

29,65

33

3

Vitesse de croissance (en mètres par année)

0,22

0,245

0,25

1. a) Interpréter le nombre 0,245 dans la cellule D3.

b) Quelle formule doit-on entrer dans la cellule C3 afin de compléter la ligne 3 en recopiant la cellule C3 vers la droite ?

2. Déterminer la hauteur attendue d’un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à 1,30 m du sol vaut 27 cm.

3. La qualité du bois est meilleure au moment où la vitesse de croissance est maximale.

a) Déterminer un intervalle d’âges durant lequel la qualité du bois est la meilleure en expliquant la démarche.

b) Est-il cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ 70 cm ?

Exercice 4 (5 points) 65 min
Numéros de carte bancaire

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un numéro de carte bancaire est de la forme :

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 c

a1, a2, …, a15 et c sont des chiffres compris entre 0 et 9.

Les quinze premiers chiffres contiennent des informations sur le type de carte, la banque et le numéro de compte bancaire.

c est la clé de validation du numéro. Ce chiffre est calculé à partir des quinze autres.

L’algorithme suivant permet de valider la conformité d’un numéro de carte donné.

Initialisation

I prend la valeur 0

P prend la valeur 0

R prend la valeur 0

Traitement

Pour k allant de 0 à 7 :

R prend la valeur du reste de la division euclidienne de 2a2k+1 par 9

I prend la valeur I + R

Fin Pour

Pour k allant de 1 à 7 :

P prend la valeur P + a2k

Fin Pour

S prend la valeur I P c

Sortie

Si S est un multiple de 10 alors :

Afficher « Le numéro de la carte est correct. »

Sinon :

Afficher « Le numéro de la carte n’est pas correct. »

Fin Si

1. On considère le numéro de carte suivant : 5635 4002 9561 3411.

a) Compléter le tableau ci-dessous permettant d’obtenir la valeur finale de la variable I.

k

0

1

2

3

4

5

6

7

a2k+1

2a2k+1

R

I

b) Justifier que le numéro de la carte 5635 4002 9561 3411 est correct.

c) On modifie le numéro de cette carte en changeant les deux premiers chiffres. Le premier chiffre (initialement 5) est changé en 6. Quel doit être le deuxième chiffre a pour que le numéro de carte obtenu 6a35 4002 9561 3411 reste correct ?

2. On connaît les quinze premiers chiffres du numéro d’une carte bancaire. Montrer qu’il existe une clé c rendant ce numéro de carte correct et que cette clé est unique.

3. Un numéro de carte dont les chiffres sont tous égaux peut-il être correct ? Si oui, donner tous les numéros de carte possibles de ce type.

4. On effectue le test suivant : on intervertit deux chiffres consécutifs distincts dans un numéro de carte correct et on vérifie si le numéro obtenu reste correct.

On a trouvé une situation où ce n’est pas le cas, l’un des deux chiffres permutés valant 1.

Peut-on déterminer l’autre chiffre permuté ?

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

Partie A

3. Déterminez une représentation paramétrique de la droite (DF). Résolvez ensuite un système d’équations pour déterminer les coordonnées du point I.

Partie B

1. Étudiez successivement la nature des triangles EDB et EFB.

2. b) Calculez successivement MEMB et les distances ME et MB.

3. b) Justifiez que l’angle θ est maximal si et seulement si cos(θ) est minimal. Concluez.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

Partie A

2. a) Pensez à la notion d’espérance.

2. c) Identifiez correctement à l’aide de la variable aléatoire T la probabilité conditionnelle à calculer.

Partie B

1. a) Pensez à nouveau à la notion d’espérance.

2. Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire discrète qui, à un automobiliste choisi au hasard fréquentant le parking, associe le tarif en euros qu’il devrait payer. Concluez en traduisant la contrainte imposée par le gestionnaire à l’aide de l’espérance de cette variable aléatoire discrète.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

Étudiez les variations de fk pour déterminer son minimum sur . Vérifiez ensuite que les coordonnées du point Ak vérifient l’équation réduite d’une droite à identifier en vous aidant éventuellement du graphique fourni.

Exercice 4 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

Partie A

2. Résolvez, dans , les équations f(x)=20 et f(x)=120. Concluez en utilisant les variations de la fonction f.

Partie B

2. Déterminez dans un premier temps l’âge d’un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à 1,30 m du sol vaut 27 cm à l’aide de la partie A. Utilisez ensuite le tableau (relevé) pour conclure.

3. a) Complétez la ligne 3 du tableur et identifiez la ou les valeurs maximales.

Exercice 4 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

3. Distinguez le cas où le chiffre choisi est compris entre 0 et 4 du cas où le chiffre choisi est compris entre 5 et 9. Déroulez ensuite l’algorithme pour conclure.

4. Pensez ici à trouver un contre-exemple en choisissant des séries de chiffres les plus simples possibles.