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Sujet complet du Liban 2018

Liban • Mai 2018

Sujet complet • 20 points • 3 h

Sujet complet du Liban 2018

Les thèmes clés

Exercice 1 – Probabilité conditionnelle • Loi binomiale.

Exercice 2 – Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

Exercice 2 (spécialité) – Graphe probabiliste • Boucle « Pour ».

Exercice 3 – Convexité • Valeur moyenne d'une fonction.

Exercice 4 – Fonction logarithme népérien • Variations d'une fonction.

 

Exercice 1 (6 points)50 min
Efficacité d'un portique de sécurité dans un aéroport

Commun à tous les candidats

Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.

On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.

On note :

S l'événement « le voyageur fait sonner le portique » 

M l'événement « le voyageur porte un objet métallique ».

On considère qu'un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique.

1. On admet que :

lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à 0,98 

lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à 0,98.

a) À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de P(M), PM(S) et PM¯(S¯). (0,75 point)

b) Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-après illustrant cette situation. (0,75 point)

matT_1805_09_01C_01

c) Montrer que P (S= 0,02192. (0,75 point)

d) En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à 103).

Commenter le résultat obtenu. (0,75 point)

2. 80 personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que, pour chaque personne, la probabilité que le portique sonne est égale à 0,02192.

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 80 personnes de ce groupe.

a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. (0,75 point)

b) Calculer l'espérance de X et interpréter le résultat. (0,75 point)

c) Sans le justifier, donner la valeur arrondie à 103 de :

la probabilité qu'au moins une personne du groupe fasse sonner le portique  (0,5 point)

la probabilité qu'au maximum 5 personnes fassent sonner le portique. (0,5 point)

d) Sans le justifier, donner la valeur du plus petit entier n tel que

P(Xn)0,9. (0,5 point)

Exercice 2 (5 points)45 min
Somme contenue dans une tirelire  étude à l'aide d'une suite

Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L

Maya possède 20 € dans sa tirelire au 1er juin 2018.

À partir de cette date, chaque mois, elle dépense un quart du contenu de sa tirelire, puis y place 20 € supplémentaires.

Pour tout entier naturel n, on note un la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du n-ième mois. On a u0 = 20.

1. a) Montrer que la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du 1er mois est de 35 €. (0,25 point)

b) Calculer u2. (0,25 point)

2. On admet que pour tout entier naturel n, un+1 = 0,75 un + 20.

On considère l'algorithme suivant :

003_matT_1805_09_01C_algo_001

a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui retrace les différentes étapes de l'exécution de l'algorithme. On ajoutera autant de colonnes que nécessaire à la place de celle laissée en pointillés. Arrondir les résultats au centième. (1 point)

Valeur de U

20

Valeur de N

0

Condition U 70

vrai

vrai

faux

b) Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme ?

Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. (0,75 point)

3. Pour tout entier n, on pose vn = un - 80.

a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,75. (0,75 point)

b) Préciser son premier terme v0. (0,25 point)

c) En déduire que, pour tout entier n, un=8060×0,75n. (0,5 point)

d) Déterminer, au centime près, le montant que Maya possèdera dans sa tirelire au 1er juin 2019. (0,5 point)

e) Déterminer la limite de la suite (vn). (0,25 point)

f) En déduire la limite de la suite (un) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. (0,5 point)

Exercice 2 (5 points)45 min
Répartition des clients entre deux opérateurs

Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans un pays, deux opérateurs se partagent le marché des télécommunications mobiles. Une étude révèle que chaque année :

parmi les clients de l'opérateur EfficaceRéseau, 70 % se réabonnent à ce même opérateur et 30 % souscrivent un contrat avec l'opérateur GenialPhone 

parmi les clients de l'opérateur GenialPhone, 55 % se réabonnent à ce même opérateur et 45 % souscrivent un contrat avec l'opérateur EfficaceRéseau.

On note E l'état « la personne possède un contrat chez l'opérateur EfficaceRéseau » et G l'état « la personne possède un contrat chez l'opérateur GenialPhone ».

À partir de 2018, on choisit au hasard un client de l'un des deux opérateurs.

On note également :

en la probabilité que le client possède un contrat avec l'opérateur EfficaceRéseau au 1er janvier (2018 + n

gn la probabilité que le client possède un contrat avec l'opérateur GenialPhone au 1er janvier (2018 + n

Pn =(en gn) désigne la matrice ligne traduisant l'état probabiliste du système au 1er janvier (2018 + n).

Au 1er janvier 2018, on suppose que 10 % des clients possèdent un contrat chez EfficaceRéseau, ainsi P0 =  (0,1 0,9).

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets E et G. (0,75 point)

2. a) Déterminer la matrice de transition M associée au graphe en rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique. (0,5 point)

b) Vérifier qu'au 1er janvier 2020, environ 57 % des clients ont un contrat avec l'opérateur EfficaceRéseau. (0,5 point)

3. a) On rappelle que pour tout entier naturel n, Pn+1 = Pn × M.

Exprimer en+1 en fonction de en et gn. (0,5 point)

b) En déduire que pour tout entier naturel n, en+1 = 0,25 en + 0,45. (0,5 point)

4. a) Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous de façon à ce qu'il affiche l'état probabiliste au 1er janvier (2018 + n) :

003_matT_1805_09_01C_algo_002

(0,75 point)

b) Déterminer l'affichage de cet algorithme pour N = 3. Arrondir au centième. (0,5 point)

c) Déterminer l'état stable du système et interpréter votre réponse dans le contexte de l'exercice. (1 point)

Exercice 3 (4 points)35 min
QCM sur les fonctions et les probabilités : 4 questions

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule bonne réponse.

Pour les questions 1., 2. et 3., on a représenté ci-après la courbe représentative d'une fonction f ainsi que deux de ses tangentes aux points d'abscisses respectives 2 et 4.

matT_1805_09_01C_02

1. f(4) est égal à :

a) 2

b) - 1

c) 0,5

d) 0

2. f est convexe sur :

a) ]-  2]

b) ]-  0,5]

c) [0  4]

d) [2  5]

3. Une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de f sur l'intervalle [0  5] est :

a) - 0,1

b) 2,5

c) 2,9

d) 14,5

4. Dans le repère ci-après, on a tracé la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité d'une variable aléatoire X qui suit une loi normale et telle que :

P(X649)0,1587

On note respectivement μ et σ l'espérance et l'écart-type de cette loi normale.

matT_1805_09_01C_03

a) P(X651)0,6587

c) σ = 650

b) P(649X651)0,683

d) μ = 649

Exercice 4 (5 points)45 min
Étude d'une fonction  application à un coût de fabrication

Commun à tous les candidats

1. Soit f la fonction définie sur l'intervalle [1  25] par :

f(x)=x+2lnxx.

a) On admet que f est dérivable sur [1  25].

Démontrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle [1  25] :

f(x)=3+lnxx2. (0,75 point)

b) Résoudre dans [1   25] l'inéquation :

3+ln(x)>0. (0,5 point)

c) Dresser le tableau des variations de la fonction f sur [1  25]. (0,5 point)

d) Démontrer que dans l'intervalle [1  25], l'équation f(x= 1,5 admet une seule solution. On notera α cette solution. (0,75 point)

e) Déterminer un encadrement d'amplitude 0,01 de α à l'aide de la calculatrice. (0,5 point)

2. Une entreprise fabrique chaque jour entre 100 et 2 500 pièces électroniques pour des vidéoprojecteurs. Toutes les pièces fabriquées sont identiques.

On admet que lorsque x centaines de pièces sont fabriquées, avec 1  x  25, le coût moyen de fabrication d'une pièce est de f(x) euros.

En utilisant les résultats obtenus à la question 1. :

a) Déterminer, à l'unité près, le nombre de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit minimal.

Déterminer alors ce coût moyen, au centime d'euro près. (0,75 point)

b) Déterminer le nombre minimal de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit inférieur ou égal à 1,50 euro. (0,75 point)

c) Est-il possible que le coût moyen d'une pièce soit de 50 centimes ? Justifier. (0,5 point)

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

> 1. d) La probabilité demandée est une probabilité conditionnelle.

Exercice 2 (Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L)

> 3. a) La suite (vn) est géométrique de raison 0,75 si et seulement si, pour tout entier naturel n, vn+1 = 0,75 vn.

d) Du 1er juin 2018 au 1er juin 2019, il s'écoule 12 mois, donc la somme, en euros, qui se trouve dans la tirelire de Maya au 1er juin 2019 est u12.

Exercice 2 (Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité)

> 1. Sur un graphe probabiliste, la somme des probabilités portées par les arêtes issues d'un même sommet est égale à 1.

> 4. c) L'état stable du système est représenté par la matrice ligne P (x y), avec x + y = 1 et P × M = P.

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

> 1. Déterminez par lecture graphique le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 4.

> 3. La valeur moyenne de f sur l'intervalle [ b] est 1baabf(x)dx

> 4. Utilisez la symétrie de la courbe.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

> 1. a) Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée du quotient de deux fonctions.

d) Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires après avoir vérifié que les conditions d'application sont remplies.

> 2. c) Utilisez les variations de la fonction f étudiées à la question 1. c).

Corrigé

Exercice 1

Commun à tous les candidats

> 1. a) Traduire les données d'un énoncé

info

On choisit un voyageur au hasard, donc tous les voyageurs ont la même probabilité d'être choisis, on est dans une situation d'équiprobabilité.

Un voyageur sur 500 porte un objet métallique, donc :

P(M)=1500.

Lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à 0,98, donc :

PM(S)=0,98.

Lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à 0,98, donc :

PM&macr (S&macr )=0,98.

b) Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

matT_1805_09_01C_04

c) Calculer une probabilité

M et M&macr forment une partition de l'univers, donc :

P(S)=P(SM)+P(S M&macr ).

D'après l'arbre précédent :

P(S)=1500×0,98+499500×0,02P(S)=0,98+9,98500P(S)=0,02192.

d) Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique sachant qu'il a fait sonner le portique est :

PS(M)=P(SM)P(S)=0,001960,02192

car 0,98500=0,00196. En arrondissant à 103 :

PS(M)=0,089.

Environ 8,9 % des voyageurs qui font sonner le portique portent réellement un objet métallique.

> 2. a) Déterminer la loi d'une variable aléatoire

L'expérience est la répétition de 80 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes  le succès est « la personne fait sonner le portique », sa probabilité est égale à 0,02192.

La variable aléatoire X est égale au nombre de succès sur ces 80 épreuves, donc X suit la loi binomiale de paramètres n=80 et p=0,02192, notée B(80  0,02192).

b) Calculer et interpréter l'espérance d'une variable aléatoire

info

L'espérance d'une variable X qui suit la loi binomiale de paramètres n et p est E(X)=np.

L'espérance de X est :

E(X)=80×0,021921,75.

En moyenne, sur 80 personnes qui passent le portique, un peu moins de 2 personnes le font sonner.

c) Calculer deux probabilités associées à une loi normale

La probabilité qu'au moins une personne du groupe fasse sonner le portique est :

P(X1)=1P(X=0).

D'après la calculatrice :

P(X1)0,83.

La probabilité qu'au maximum 5 personnes fassent sonner le portique est P(X 5).

D'après la calculatrice :

P(X5)0,992.

d) Déterminer un entier associé à une loi binomiale

D'après la calculatrice :

P(X2)0,7440,9 et P(X3)0,9010,9.

Donc le plus petit entier n tel que P(Xn)0,9 est n=3.

Exercice 2

Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L

> 1. a) Calculer un terme d'une suite

La somme, en euros, contenue dans la tirelire de Maya à la fin du premier mois est, en euro :

20204+20 = 35.

À la fin du premier mois, Maya a 35 € dans sa tirelire.

b) Calculer un autre terme de la même suite

u2=u1u14+20=35354+20

u2=46,25.

> 2. a) Dresser un tableau d'étapes retraçant l'exécution d'un algorithme

Valeur de U

20

35

46,25

54,69

61,02

65,76

69,32

71,99

Valeur de N

0

1

2

3

4

5

6

7

Condition U 70

vrai

vrai

vrai

vrai

vrai

vrai

vrai

faux

b) Déterminer et interpréter la valeur affichée à la fin d'un algorithme

À la fin de l'exécution de l'algorithme, la valeur de N affichée est 7.

Cela signifie qu'après 7 mois, c'est-à-dire au 1er janvier 2019, Maya aura plus de 70 euros dans sa tirelire.

> 3. a) Montrer qu'une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n :

vn+1 = un+1 - 80

vn+1 = 0,75 un + 20 - 80

vn+1=0,75 (vn+80)60

vn+1 = 0,75 vn + 0,75 × 80 - 60

vn+1 = 0,75 vn.

Donc la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,75.

b) Déterminer le premier terme d'une suite

Le premier terme de la suite (vn) est v0 = u0 - 80.

v0=60.

c) Donner l'expression du terme général de deux suites

D'après les questions précédentes, pour tout entier naturel :

vn=60×0,75n.

un = 80 + vn, donc :

un=8060×0,75n.

d) Déterminer un terme d'une suite

Du 1er juin 2018 au 1er juin 2019, il s'écoule 12 mois, donc le montant que Maya possèdera dans sa tirelire au 1er juin 2019 est :

u12=8060×0,7512 78,10.

Au centime près, le montant que Maya possèdera dans sa tirelire au 1er juin 2019 est 78,10 €.

e) Déterminer la limite d'une suite

(vn) est une suite géométrique de raison 0,75 et 0 0,75 1, donc :

limn+vn=0.

f) Déterminer la limite d'une autre suite

Par opérations : limn+un=80.

À long terme, la somme contenue dans la tirelire de Maya va se stabiliser autour de 80 €.

Exercice 2

Candidats de série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

> 1. Représenter une situation par un graphe probabiliste

Le graphe suivant représente la situation :

matT_1805_09_01C_05

> 2. a) Déterminer la matrice de transition d'un graphe

La matrice de transition de ce graphe est :

M=(0,70,30,450,55).

b) Déterminer un état probabiliste

L'état probabiliste au 1er janvier 2020 est donné par la matrice P2.

P2=P0×M2

P2=(0,10,9)(0,70,30,450,55)2

P2 =(0,56875 0,43125).

e2 = 0,56875, donc, au 1er janvier 2020, environ 57 % des clients auront un contrat avec l'opérateur EfficaceRéseau.

> 3. a) Déterminer une relation entre les termes de deux suites

Pour tout entier naturel, Pn+1 = Pn × M, donc :

(en+1gn+1)=(engn)(0,70,30,450,55).

Donc :

en+1=0,7 en+0,45 gn.

b) Déterminer une relation entre deux termes consécutifs d'une suite

Pour tout entier naturel n, en + gn = 1, donc gn = 1 - en, d'où :

en+1 = 0,7 en + 0,45 (1 - en)

en+1 = 0,7 en + 0,45 - 0,45 en

en+1=0,25 en+0,45.

> 4. a) Compléter un algorithme

Pour que l'algorithme donné affiche l'état probabiliste au 1er janvier de l'année 2018 + n, on peut le compléter de la manière suivante :

003_matT_1805_09_01C_algo_003

b) Déterminer et interpréter l'affichage d'un algorithme

Le fonctionnement de l'algorithme pour N = 3 peut être résumé par le tableau suivant :

Valeur de N

 

1

2

3

Valeur de E

0,1

0,48

0,57

0,59

Valeur de G

0,9

0,52

0,43

0,41

L'algorithme affiche donc :

E=0,59 et G=0,41.

c) Déterminer et interpréter l'état stable d'un graphe probabiliste

L'état stable P=(xy) vérifie :

P × M = P et x + y = 1.

P×M=P{0,7x+0,45y=x0,3x+0,55y=y0,3x0,45y=0.

On résout le système {0,3x0,45y=0x+y=1.

On obtient (x  y)=(0,6  0,4).

L'état stable du système est donc :

P=(0,60,4).

À long terme, la répartition des clients se stabilisera autour de 60 % de contrats avec EfficaceRéseau, 40 % avec GenialPhone.

Exercice 3

Commun à tous les candidats

> 1. Déterminer un nombre dérivé

info

f(4) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 4. Il peut être déterminé directement par lecture graphique.

Le point de la courbe d'abscisse 4 a pour coordonnées (4  2), la tangente à la courbe en ce point passe par l'origine.

Cette tangente a donc une équation réduite de la forme y = ax. Puisque le point de coordonnées (4  2) appartient à cette droite :

a = 0,5

c'est-à-dire f(4)=0,5.

La bonne réponse est c).

> 2. Étudier la convexité d'une fonction

info

Une fonction f est convexe sur un intervalle I si et seulement si sa courbe représentative est au-dessus de sa tangente en chacun de ses points dont l'abscisse appartient à I.

Par lecture graphique, en étudiant la position de la courbe par rapport à ses tangentes, on observe que :

f n'est pas convexe sur ]-  2], ni sur ]-   0,5], ni sur [0  4] car la courbe est en dessous de sa tangente au point d'abscisse 0 et au point d'abscisse 1 (par exemple) 

f est convexe sur [2  5] car sur cet intervalle, la courbe est au-dessus de sa tangente.

La bonne réponse est d).

> 3. Déterminer une valeur approchée de la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle

La valeur moyenne de f sur l'intervalle [0  5] est 1505f(x)dx.

Comme f est positive sur [0  5], 05f(x)dx est l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par Cf, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 5.

matT_1805_09_01C_06

Cette aire peut être approchée par celle du polygone hachuré sur le graphique ci-dessus, égale à 14,5 unités d'aire.

La valeur moyenne de f sur l'intervalle [0  5] est donc égale à environ 14,55, soit environ 2,9.

La bonne réponse est c).

> 4. Exploiter la courbe représentative de la fonction de densité d'une loi normale

La courbe a pour axe de symétrie la droite d'équation x = 650, donc la variable aléatoire X a pour espérance μ = 650, ce qui élimine la réponse d).

P(X651)=1P(X651)

Par symétrie :

P(X651)=1P(X649)

d'où :

P(X651)10,1587

P(X651)0,8413.

On élimine la réponse a).

De plus, par symétrie :

P(649X651)=12×P(X649)

P(649X651)0,683.

La bonne réponse est b).

info

μ = 650, donc d'après le cours 649 = μ - σ et 651 = μ + σ, donc σ = 1.

Exercice 4

Commun à tous les candidats

> 1. a) Calculer la dérivée d'une fonction

Pour tout x appartenant à [1  25] :

f(x)=(11x)x(x+2lnx)x2

f(x)=x1x2+lnxx2

f(x)=3+lnxx2.

b) Résoudre une inéquation

3+ln(x)>0 équivaut successivement à :

lnx>3

x>e3.

L'ensemble des solutions dans [1  25] de l'inéquation 3+ln(x)> est ]e3  25].

c) Étudier les variations d'une fonction sur un intervalle

x2>0 pour tout x dans [1  25], donc f(x) a le signe de 3+lnx.

D'où le tableau des variations de la fonction f sur [1  25] :

matT_1805_09_01C_tab_01

f(e3)0,9502  f(25)0,9512

d) Démontrer qu'une équation a une solution unique dans un intervalle

Sur l'intervalle [e3  25], f prend des valeurs comprises entre f(e3) et f(25), donc l'équation f(x)=1,5 n'a pas de solution dans cet intervalle.

Sur [ e3], f est continue et strictement décroissante, et f(e3)1,5f(1), donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=1,5 a une unique solution α dans [ e3], donc dans [1  25].

e) Déterminer un encadrement de la solution d'une équation

D'après la calculatrice :

f(2,31)1,503>1,5 et f(2,32)1,4991,5

d'où :

f(2,32)f(α)f(2,31).

2,31α2,32.

> 2. a) Déterminer en quelle valeur une fonction atteint son minimum

D'après la question 1., f atteint son minimum en x=e3, et e320,09.

Pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit minimal, il faut fabriquer environ 20,09 centaines de pièces, c'est-à-dire environ 2 009 pièces.

Le coût moyen de fabrication d'une pièce est alors f(e3), soit environ 0,95 €.

b) Déterminer les nombres ayant une image inférieure ou égale à un nombre donné

D'après ce qui précède, f(x)1,50 équivaut à x α, avec :

2,31 α 2,32.

Il faut donc fabriquer au moins 232 pièces pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit inférieur ou égal à 1,50 euro.

c) Déterminer si une fonction prend ou non une valeur donnée

D'après la question a), le coût moyen minimal de fabrication d'une pièce est environ 0,95 €.

Il est donc impossible que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit de 50 centimes.

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