Sujet complet du Liban 2018

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2018 | Académie : Moyen-Orient


Liban • Mai 2018

Sujet complet • 20 points • 4 h

Sujet complet du Liban 2018

Les thèmes clés 

Exercice 1 – Loi exponentielle • Loi normale • Probabilité conditionnelle

Exercice 2 – Nombres complexes

Exercice 3 – Géométrie plane • Géométrie dans l’espace

Exercice 4 – Fonction logarithme népérien • Calcul intégral

Exercice 5 – Probabilités conditionnelles • Suites

Exercice 5 (spécialité) – Matrices • Arithmétique

 

Exercice 1 (3 points) 35 min
Temps d’attente et temps d’échange

Commun à tous les candidats

Les quinze jours précédant la rentrée universitaire, le standard téléphonique d’une mutuelle étudiante enregistre un nombre record d’appels.

Les appelants sont d’abord mis en attente et entendent une musique d’ambiance et un message préenregistré.

Lors de cette première phase, le temps d’attente, exprimé en secondes, est modélisé par la variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre λ=0,02 s1.

Les appelants sont ensuite mis en relation avec un chargé de clientèle qui répond à leurs questions. Le temps d’échange, exprimé en secondes, lors de cette deuxième phase est modélisé par la variable aléatoire Y, exprimée en secondes, qui suit la loi normale d’espérance μ = 96 s et d’écart type σ = 26 s.

1. Quelle est la durée totale moyenne d’un appel au standard téléphonique (temps d’attente et temps d’échange avec le chargé de clientèle) ?

2. Un étudiant est choisi au hasard parmi les appelants du standard téléphonique.

a) Calculer la probabilité que l’étudiant soit mis en attente plus de 2 minutes.

b) Calculer la probabilité pour que le temps d’échange avec le conseiller soit inférieur à 90 secondes.

3. Une étudiante, choisie au hasard parmi les appelants, attend depuis plus d’une minute d’être mise en relation avec le service clientèle. Lasse, elle raccroche et recompose le numéro. Elle espère attendre moins de trente secondes cette fois-ci.

Le fait de raccrocher puis de rappeler augmente-t-il ses chances de limiter à 30 secondes l’attente supplémentaire ou bien aurait-elle mieux fait de rester en ligne ?

Exercice 2 (3 points) 40 min
Le vrai ou faux

Commun à tous les candidats

1. Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes 1 + i et 1 - i.

2. Pour tout entier naturel n, on pose Sn=(1+i)n+(1i)n.

a) Déterminer la forme trigonométrique de Sn.

b) Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l’absence de réponse n’est pas pénalisée.

Affirmation A : Pour tout entier naturel n, le nombre complexe Sn est un nombre réel.

Affirmation B : Il existe une infinité d’entiers naturels n tels que Sn = 0.

Exercice 3 (4 points) 45 min
Position et vitesse de sous-marins

Commun à tous les candidats

matT_1805_09_00C_01

L’objectif de cet exercice est d’étudier les trajectoires de deux sous-marins en phase de plongée.

On considère que ces sous-marins se déplacent en ligne droite, chacun à vitesse constante.

À chaque instant, exprimé en minutes, le premier sous-marin est repéré par le point S1(t) et le second sous-marin est repéré par le point S2(t) dans un repère orthonormé (O ; i, j, k) dont l’unité est le mètre.

Le plan défini par (O ; i, j) représente la surface de la mer. La cote z est nulle au niveau de la mer, négative sous l’eau.

1. On admet que, pour tout réel t  0, le point S1(t) a pour coordonnées :

{x(t)=14060ty(t)=10590tz(t)=17030t

a) Donner les coordonnées du sous-marin au début de l’observation.

b) Quelle est la vitesse du sous-marin ?

2. On se place dans le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin.

Déterminer l’angle α que forme la trajectoire du sous-marin avec le plan horizontal.

On donnera l’arrondi de α à 0,1 degré près.

matT_1805_09_00C_02

3. Au début de l’observation, le second sous-marin est situé au point S2(0) de coordonnées (68 ; 135 ; - 68) et atteint au bout de trois minutes le point S2(3) de coordonnées (– 202 ; – 405 ; - 248) avec une vitesse constante.

À quel instant t, exprimé en minutes, les deux sous-marins sont-ils à la même profondeur ?

Exercice 4 (5 points) 1 h
Aire sous une courbe

Commun à tous les candidats

On considère, pour tout entier n > 0, les fonctions fn définies sur l’intervalle [1 ; 5] par : fn(x)=ln(x)xn.

Pour tout entier n > 0, on note Cn la courbe représentative de la fonction fn dans un repère orthogonal.

Sur le graphique ci-dessous sont représentées les courbes Cn pour n appartenant à {1 ; 2 ; 3 ; 4}.

matT_1805_09_00C_03

1. Montrer que, pour tout entier n > 0 et tout réel x de l’intervalle [1 ; 5] :

fn(x)=1n ln(x)xn+1.

2. Pour tout entier n > 0, on admet que la fonction fn admet un maximum sur l’intervalle [1 ; 5].

On note An le point de la courbe Cn ayant pour ordonnée ce maximum.

Montrer que tous les points An appartiennent à une même courbe Γ d’équation :

y=1eln(x).

3. a) Montrer que, pour tout entier n > 1 et tout réel x de l’intervalle [1 ; 5] :

0ln(x)xnln(5)xn.

b) Montrer que pour tout entier n > 1 :

151xndx=1n1(115n1).

c) Pour tout entier n > 0, on s’intéresse à l’aire, exprimée en unités d’aire, sous la courbe Cn, c’est-à-dire l’aire du domaine du plan délimité par les droites d’équations x = 1, x = 5, y = 0 et la courbe Cn.

Déterminer la valeur limite de cette aire quand n tend vers +.

Exercice 5 (5 points) 1 h
Jeu de hasard sur ordinateur

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :

si le joueur gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est 14 ;

si le joueur perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est 12 ;

la probabilité de gagner la première partie est 14.

Pour tout entier naturel n non nul, on note Gn l’événement « la n-ième partie est gagnée » et on note pn la probabilité de cet événement. On a donc p1=14.

1. Montrer que p2=716.

2. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, pn+1=14pn+12.

3. On obtient ainsi les premières valeurs de pn :

n

1

2

3

4

5

6

7

pn

0,25

0,4375

0,3906

0,4023

0,3994

0,4001

0,3999

Quelle conjecture peut-on émettre ?

4. On définit, pour tout entier naturel n non nul, la suite (un) par un un=pn25.

a) Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

b) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, pn=25320(14)n1.

c) La suite (pn) converge-t-elle ? Interpréter ce résultat.

Exercice 5 (5 points) 1 h
Suite de Fibonacci

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On définit la suite de réels (an) par :

{a0=0a1=1an+1= an+an1 pour n1.

On appelle cette suite la suite de Fibonacci.

1. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’à la fin de son exécution la variable A contienne le terme an.

S04_algo_001

On obtient ainsi les premières valeurs de la suite an :

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

an

0

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

2. Soit la matrice A=(1110).

Calculer A2, A3 et A4. Vérifier que A5=(8553).

3. On peut démontrer, et nous admettrons, que pour tout entier naturel n non nul :

An=(an+1ananan1).

a) Soit p et q deux entiers naturels non nuls. Calculer le produit Ap×Aq et en déduire que :

ap+q = ap × aq+1 + ap-1 × aq.

b) En déduire que si un entier r divise les entiers ap et aq, alors r divise également ap+q.

c) Soit p un entier naturel non nul.

Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence sur n, que pour tout entier naturel n non nul, ap divise anp.

4. a) Soit n un entier supérieur ou égal à 5. Montrer que si n est un entier naturel qui n’est pas premier, alors an n’est pas un nombre premier.

b) On peut calculer a19 = 4 181 = 37 × 113.

Que penser de la réciproque de la propriété obtenue dans la question 4. a) ?

Les clés du sujet

Exercice 1 (Commun à tous les candidats)

> 1. Déterminez le temps moyen d’attente et précisez le temps moyen d’échange. Concluez.

> 2. a) N’omettez pas de convertir les minutes en secondes avant de calculer la probabilité.

> 3. Exprimez, à l’aide de la variable aléatoire X, la probabilité que l’étudiante attende moins de 30 secondes pour être en relation avec le service clientèle sachant qu’elle attend depuis plus d’une minute. Calculez cette probabilité, commentez le résultat et enfin concluez.

Exercice 2 (Commun à tous les candidats)

> 2. a) Justifiez que, pour tout entier naturel n, Sn=(2)n××cos(π4n).

Exercice 3 (Commun à tous les candidats)

> 1. b) Déterminez la position du sous-marin au bout d’une minute. Calculez la distance parcourue et concluez en prenant en compte le fait que sa vitesse est constante.

> 2. c) Introduisez le point de coordonnées (80 ; 15 ; – 170) et pensez à la trigonométrie (formule de base) pour conclure.

> 3. Déterminez les coordonnées du point S2(t) où le nombre réel positif t désigne le temps exprimé en minutes. Ensuite, déterminez l’instant t pour lequel les points S1(t) et S2(t) ont la même cote.

Exercice 4 (Commun à tous les candidats)

> 2. Déterminez l’abscisse de An en étudiant le signe de fn. Déduisez en l’ordonnée de An à l’aide de fn. Montrez enfin que les coordonnées de An vérifient l’équation de Γ.

> 3. c) Encadrez l’aire proposée à l’aide du résultat de la question 3. a). Utilisez alors le théorème des gendarmes.

Exercice 5 (Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

> 1. Pensez à construire un arbre pondéré avec les événements G1 et G2 et leurs événements contraires pour vous aider à déterminer p2 avec la formule des probabilités totales.

> 2. Pensez à construire un arbre pondéré avec les événements Gn et Gn+1 et leurs événements contraires pour vous aider à déterminer la relation proposée avec la formule des probabilités totales.

Exercice 5 (Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

> 3. a) Remarquez que Ap×Aq=Ap+q. Comparez, après calculs, les termes placés à la deuxième ligne et première colonne dans Ap×Aq et Ap+q pour conclure.