SPRINT FINAL

France métropolitaine • Juin 2025

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France métropolitaine • Juin 2025

Sujet du brevet de France métropolitaine 2025

2 heures

100 points

Exercice 1 • Comparaison d’urnes 20 points

On dispose d’une urne A contenant 6 boules numérotées : 7 ; 10 ; 12 ; 15 ; 24 ; 30 et d’une urne B contenant 9 boules numérotées : 2 ; 5 ; 6 ; 8 ; 17 ; 18 ; 21 ; 22 ; 25.

Les boules sont indiscernables au toucher.

▶ 1. On tire une boule dans l’urne A, quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ?

▶ 2. On tire une boule dans l’urne B, justifier que la probabilité d’obtenir un nombre premier est de $\frac{1}{3}$ .

▶ 3. Quelle urne contient le plus grand nombre de boules dont le numéro est un multiple de 6 ?

▶ 4. On tire une boule au hasard dans l’une des urnes. Démontrer que la probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 est la même quelle que soit l’urne choisie.

▶ 5. En repartant avec la composition initiale des urnes A et B on décide d’ajouter une boule numérotée 50 dans chacune d’entre elles. Dans ces conditions, la probabilité d’obtenir un résultat supérieur ou égal à 20 est-elle toujours égale quelle que soit l’urne choisie ?

Exercice 2 • Une course en zig-zag 23 points

Cette année, les professeurs d’EPS proposent aux élèves un aquathlon (course à pied et natation).

Partie A • La course à pied

Le parcours de la course à pied est représenté par le dessin ci-dessous (le dessin n’est pas à l’échelle).

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Le parcours est représenté par ACDEB avec le départ au point A et l’arrivée au point B. Les points A, C, B sont alignés. Les points A, D, E sont alignés. ADC est un triangle rectangle en A. AC = 480 m ; CB = 120 m ; AE = 250 m et DE = 50 m.

▶ 1. Justifier que AD = 200 m.

▶ 2. Calculer la longueur CD.

▶ 3. Pour que le parcours soit validé, il est nécessaire que les droites (CD) et (BE) soient parallèles et que la mesure de l’angle $\hat{ACD}$ soit supérieure à 20°.

a) Les droites (CD) et (BE) sont-elles parallèles ?

b) La mesure de l’angle $\hat{ACD}$ est-elle supérieure à 20° ?

c) Le parcours est-il validé ?

Partie B • La natation

Concernant l’épreuve de natation, il s’agit de nager une distance de 200 m.

Voici les temps de 9 élèves : 5 min 30 s ; 5 min 45 s ; 5 min 49 s ; 5 min 50 s ; 6 min ; 6 min 11 s ; 6 min 12 s ; 6 min 20 s ; 6 min 40 s.

▶ 1. Quel est le temps médian de cette série ?

▶ 2. Un poisson rouge nage à la vitesse de 5 km/h. Nage-t-il plus vite que l’élève le plus rapide ?

Exercice 3 • QCM 6 questions grandeurs et calculs 18 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées. Une seule réponse est exacte.

▶ 1. Le prix de 3 melons est 8,40 €. Combien coûtent 5 melons ?

a) 16,40 €

b) 42 €

c) 14 €

d) 10,40 €

▶ 2. Quelle transformation permet de passer de la figure 1 à la figure 2 ?

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a) Une symétrie centrale

b) Une rotation

c) Une translation

d) Une symétrie axiale

▶ 3. Un article coûte 350 €. Son prix augmente de 20 %. Quel est son nouveau prix ?

a) 420 €

b) 330 €

c) 370 €

d) 280 €

▶ 4. Quelle est l’aire du triangle rectangle ABC ?

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a) 27 cm²

b) 13,5 cm²

c) 18 cm²

d) 9 cm²

▶ 5. Quelle est la forme développée et réduite de l’expression (2x + 3)(x - 4) ?

a) $2 x^{2} - 5 x - 12$

b) $2 x^{2} - 11 x - 12$

c) $2 x^{2} - 12$

d) 3x - 1

▶ 6. Quel est le volume de cette pyramide à base rectangulaire ?

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a) 23 cm³

b) 112 cm³

c) 336 cm³

d) 168 cm³

Exercice 4 • Deux programmes magiques 20 points

Au club « Mathsetmagie », on s’amuse à créer des programmes de calcul plus ou moins magiques.

Partie A • Le programme de Zoé

Voici le programme de calcul de Zoé :

Programme de Zoé :

Choisir un nombre

Soustraire 4

Multiplier par 2

Ajouter 8.

▶ 1. Vérifier que si on choisit 10 comme nombre de départ, on obtient 20 avec ce programme.

▶ 2. Quel résultat obtient-on avec ce programme si on choisit −7 comme nombre de départ ?

▶ 3. Zoé prétend que son programme est « magique » car, quel que soit le nombre choisi, le résultat est toujours le double du nombre de départ. A-t-elle raison ?

Partie B • Le programme de Fred

Fred décide de faire son programme de calcul sur Scratch :

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▶ 1. Démontrer que si le nombre de départ est x, le résultat obtenu avec le programme de Fred est 20x + 50.

▶ 2. Quel nombre faut-il choisir au départ pour obtenir 75 avec le programme de Fred ?

▶ 3. Constatant que son programme n’a rien de magique, Fred souhaite le modifier afin que le résultat soit toujours 20 fois plus grand que le nombre de départ. Recopier et compléter sur la copie la sixième ligne du programme pour que ce soit le cas.

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Exercice 5 • Dépenses d’un garage 19 points

Un garage propose 2 options au client :

Option Achat : prix d’achat de la voiture 22 400 €. Assurance obligatoire 75 € par mois.

Option Location : 425 € par mois, assurance comprise.

L’objectif de cet exercice est de comparer ces deux options.

Partie A

▶ 1. Montrer qu’avec l’option Achat la dépense à la fin de la première année est de 23 300 €.

▶ 2. Après 36 mois, calculer l’économie réalisée par le client s’il choisit l’option Location ?

▶ 3. Afin de comparer les dépenses correspondant à ces options, le client a réalisé le tableau suivant à l’aide d’un tableur :

	A	B	C	D	E	F
1	Nombre de mois	12	24	36	48	60
2	Dépense en € option Achat	23 300	24 200	25 100	26 000	26 900
3	Dépense en € option Location

Quelle formule doit être saisie dans la cellule B3 qui, étendue jusqu’à la cellule F3, permet de compléter le tableau ?

Partie B

On souhaite maintenant modéliser les deux options précédentes par des fonctions.

On note x la durée écoulée en mois depuis la livraison de la voiture.

La fonction g, permettant de calculer la dépense correspondant à l’option Location, peut s’écrire sous la forme : g(x) = 425x.

▶ 1. Déterminer l’expression de f(x) permettant de calculer la dépense correspondant à l’option Achat.

▶ 2. Sur le graphique ci-dessous, on a tracé les courbes représentatives $C$ _f et $C$ _g des fonctions f et g. Par lecture graphique, déterminer à partir de combien de mois l’option Achat est la plus avantageuse.

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Les clés du sujet

Exercice 1

L’intérêt du sujet

Cet exercice qui traite de probabilités te permet de voir la différence d’effet qu’a un même changement sur des ensembles de tailles différentes.

Nos coups de pouce, question par question

▶ 1. Calculer une probabilité	Rappelle-toi qu’un nombre pair est un multiple de 2.
▶ 2. Identifier des nombres premiers	Souviens-toi qu’un nombre premier est un nombre supérieur ou égal à 2 qui n’est divisible que par 1 et par lui-même.
▶ 3. Reconnaître des multiples	Les multiples de 6 sont 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30…
▶ 4. et 5. Calculer et comparer des probabilités	Dans un cas d’équiprobabilité : p(« événement ») = $\frac{nombre de cas favorables}{nombre de cas possibles}$

Exercice 2

L’intérêt du sujet

Cet exercice te permet de travailler tous les théorèmes classiques de géométrie plane.

Nos coups de pouce, question par question

Partie A ▶ 1. Calculer une longueur	Note que les points sont alignés et soustrais deux longueurs.
▶ 2. Utiliser le théorème de Pythagore	Vérifie que les conditions sont remplies pour utiliser le théorème de Pythagore et calcule l’hypoténuse du triangle ADC.
▶ 3. a) Utiliser la réciproque du théorème de Thalès	Regarde si les quotients sont égaux.
b) Déterminer un angle à l’aide d’une formule de trigonométrie	Rappel des formules : $\cos (\hat{C}) = \frac{côté adjacent à \hat{C}}{hypoténuse}$ sin( $\hat{C}$ ) = $\frac{côté opposé à \hat{C}}{hypoténuse}$ tan( $\hat{C}$ ) = $\frac{côté opposé à \hat{C}}{côté adjacent à \hat{C}}$
Partie B ▶ 1. Déterminer une médiane	La médiane est la valeur centrale, une fois les données rangées dans l’ordre croissant.
▶ 2. Calculer une vitesse moyenne	Dresse un tableau de proportionnalité entre les distances et les temps.

Exercice 3

L’intérêt du sujet

Cet exercice est un QCM qui traite de proportionnalité, de transformation géométrique, de pourcentage, d’expression littérale et de volume.

Nos coups de pouce, question par question

▶ 1. Calculer une proportionnalité	Détermine le coefficient de proportionnalité ou utilise le produit en croix.
▶ 2. Reconnaître une transformation du plan	Cherche parmi les 5 transformations que tu connais : symétrie axiale, symétrie centrale, rotation, translation, homothétie.
▶ 3. Appliquer un pourcentage	Tu peux calculer le montant de l’augmentation, ou calculer le coefficient multiplicateur.
▶ 4. Calculer des aires de base	L’aire d’un triangle rectangle est $\frac{L \times l}{2}$ .
▶ 5. Développer une expression littérale	Utilise la formule de double distributivité.
▶ 6. Calculer le volume d’une pyramide	Utilise la formule $V = \frac{1}{3} \times aire base \times hauteur$ .

Exercice 4

L’intérêt du sujet

Ce QCM permet de travailler le calcul littéral et l’algorithmique.

Nos coups de pouce, question par question

Partie A ▶ 1. et 2. Faire tourner un programme	Remplace « choisir un nombre » par la valeur imposée puis suis les étapes du programme.
▶ 3. Trouver la forme générale d’un programme	Prends comme nombre de départ x et déroule les étapes du programme.
Partie B ▶ 1. Lire un algorithme	Lis les étapes de calcul des lignes 3 à 5.
▶ 2. Résoudre une équation	Prends comme nombre de départ x pour exprimer le résultat final sous la forme d’une expression littérale. Puis résous une équation.
▶ 3. Compléter un algorithme	Comment modifier l’expression trouvée à la question précédente pour qu’elle devienne « 20x » ?

Exercice 5

L’intérêt du sujet

Cet exercice permet de revoir les fonctions.

Nos coups de pouce, question par question

Partie A ▶ 1. et 2. Effectuer des calculs itératifs	Calcule le prix payé, pour chaque option, pour 12 mois, puis 36 mois.
▶ 3. Utiliser un tableur	Pense à utiliser le nom de la cellule pour désigner la valeur qu’elle contient.
Partie B ▶ 1. Écrire une fonction	Quel est le prix payé après un mois ? après x mois ?
▶ 2. Lecture graphique	Lis l’abscisse du point d’intersection des deux droites.

Exercice 1

remarque

Les résultats de ces expériences ont tous la même probabilité.

▶ 1. p(« nombre pair ») = p(« tirer le 10 ou le 12 ou le 24 ou le 30 ») = $\frac{4}{6} =$ $\frac{2}{3}$ .

▶ 2. p(« nombre premier ») = p(« tirer le 2 ou le 5 ou le 17 ») = $\frac{3}{9} =$ $\frac{1}{3}$ .

▶ 3. Dans l’urne A, les multiples de 6 sont le 12, le 24 et le 30. Il y a donc 3 multiples de 6.

Dans l’urne B, les multiples de 6 sont le 6 et le 18. Il y a donc 2 multiples de 6.

Donc c’est dans l’urne A qu’on a le plus de boules multiples de 6.

▶ 4. Dans l’urne A :

p(« nombre supérieur ou égal à 20 ») = p(« tirer le 24 ou le 30 ») = $\frac{2}{6} =$ $\frac{1}{3}$ .

Dans l’urne B :

p(« nombre supérieur ou égal à 20 ») = p(« tirer le 21 ou le 22 ou le 25 ») = $\frac{3}{9} =$ $\frac{1}{3}$ .

Donc la probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 est la même quelle que soit l’urne choisie.

▶ 5. Dans l’urne A :

p(« nombre supérieur ou égal à 20 ») = p(« tirer le 24 ou le 30 ou le 50 ») = $\frac{3}{7}$ .

attention !

Le nombre de boules change pour chaque urne.

Dans l’urne B :

p(« nombre supérieur ou égal à 20 ») = p(« tirer le 21 ou le 22 ou le 25 ou le 50 ») = $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ .

Or $\frac{3}{7} \neq \frac{2}{5}$ . Donc la probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 n’est plus la même quelle que soit l’urne choisie.

Exercice 2

Partie A

▶ 1. Les points A, D et E sont alignés donc AD = AE – ED.

Alors AD = 250 m − 50 m = 200 m.

▶ 2. ADC est rectangle en A donc, d’après le théorème de Pythagore, on a :

DC² = AD² + AC²

DC² = 200² + 480²

DC² = 40 000 + 230 400

DC² = 270 400

Donc DC = $\sqrt[]{270 400}$ = 520 m.

▶ 3. a) (CB) et (DE) sont sécantes en A.

D’une part $\frac{AD}{AE} = \frac{200}{250}$ et $\frac{AC}{AB} = \frac{480}{600}$ .

Or 200 × 600 = 120 000 et 250 × 480 = 120 000.

Donc $\frac{AD}{AE} = \frac{AC}{AB}$ .

D’autre part les points A, D, E et A, C, B sont alignés dans le même ordre.

Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (DC) et (EB) sont parallèles.

b) Le triangle ADC est rectangle en A.

$\cos (\hat{ACD}) = \frac{côté adjacent à \hat{ACD}}{hypoténuse} = \frac{AC}{CD} = \frac{480}{520}$ .

Alors $\hat{ACD} = \arccos (\frac{480}{520}) \approx 23 °$ . Donc la mesure de l’angle $\hat{ACD}$ est supérieure à 20°.

c) Les deux conditions sont remplies donc le parcours est validé.

Partie B

remarque

Ici les valeurs sont déjà rangées par ordre croissant.

▶ 1. Pour trouver la médiane, il suffit de ranger les valeurs dans l’ordre croissant, puis de repérer la valeur centrale. Sur les 9 valeurs, la médiane est ici la 5^e valeur : 6 minutes.

▶ 2. L’élève le plus rapide parcourt 200 m en 5 min 30 s. Cherchons quelle distance il parcourt en 1 heure, soit 60 minutes.

Distance (en m)	200	$\frac{200 \times 60}{5,5} \approx 2 182$
Temps (en min)	5,5	60

Cet élève a donc une vitesse moyenne de 2,182 km/h.

Donc le poisson nage plus vite que l’élève le plus rapide.

Exercice 3

▶ 1. Réponse c.

Première méthode : avec le coefficient de proportionnalité.

× 2,8	Nombre de melons	3	5
× 2,8	Prix	8,40	5 × 2,8 = 14

Deuxième méthode : avec le produit en croix.

Nombre de melons	3	5
Prix	8,40	$\frac{5 \times 8,40}{3} = 14$

▶ 2. Réponse d.

Les deux figures se superposent par pliage le long d’un axe : elles sont donc images l’une de l’autre par une symétrie axiale.

▶ 3. Réponse a.

Première méthode : calcul de la hausse puis du nouveau prix.

Hausse = 350 × $\frac{20}{100}$ = 70 € ; nouveau prix = 350 + 70 = 420 €.

Deuxième méthode : calcul direct du nouveau prix.

Une augmentation de 20 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1,2.

Nouveau prix = 350 × 1,2 = 420 €.

▶ 4. Réponse b.

ABC est un triangle rectangle donc :

Aire_ABC = $\frac{L \times l}{2}$ = $\frac{6 \times 4,5}{2}$ = 13,5 cm².

▶ 5. Réponse a.

(2x + 3)(x – 4) = 2x² − 8x + 3x − 12 = 2x² − 5x − 12.

▶ 6. Réponse b.

$V_{pyramide} = \frac{1}{3}$ × aire base × hauteur = $\frac{1}{3}$ × 4 × 7 × 12 = 112 cm³.

Exercice 4

à noter

La méthode par étapes est plus sûre : comme elle reproduit le fonctionnement du programme, tu risques moins de te tromper.

Partie A

▶ 1. Première méthode : par étapes.

10 – 4 = 6

6 × 2 = 12

12 + 8 = 20

Deuxième méthode : en une ligne.

(10 – 4) × 2 + 8 = 6 × 2 + 8 = 12 + 8 = 20

▶ 2. Première méthode : par étapes.

−7

−7 − 4 = −11

−11 × 2 = −22

−22 + 8 = −14

Deuxième méthode : en une ligne.

(−7 − 4) × 2 + 8 = −11 × 2 + 8 = −22 + 8 = −14

▶ 3. Première méthode : par étapes.

x − 4

(x − 4) × 2 = 2x − 8

2x − 8 + 8 = 2x

Deuxième méthode : en une ligne.

(x − 4) × 2 + 8 = 2x − 8 + 8 = 2x

Partie B

▶ 1. Par étapes :

Le nombre choisi est x

résultat devient 4x

résultat devient 4x + 10

résultat devient (4x + 10) × 5 = 20x + 50

▶ 2. Il s’agit ici de résoudre l’équation 20x + 50 = 75

20x + 50 = 75

20x = 75 − 50

20x = 25

x = $\frac{25}{20}$ = 1,25

Il faut donc choisir le nombre 1,25 pour obtenir 75 avec le programme de Fred.

▶ 3. Pour passer de l’expression « 20x + 50 » à l’expression « 20x », il suffit de soustraire 50.

Sur la sixième ligne, on a donc « mettre résultat à résultat – 50 ».

Exercice 5

Partie A

▶ 1. Avec l’option Achat, le prix payé à la fin de la première année est :

22 400 + 75 × 12 = 23 300 €.

▶ 2. Après 36 mois, le prix payé avec l’option Achat est :

22 400 + 75 × 36 = 25 100 €.

Après 36 mois, le prix payé avec l’option Location est :

425 × 36 = 15 300 €.

25 100 − 15 300 = 9 800

L’économie réalisée est donc de 9 800 €.

▶ 3. La formule à saisir en B3 est =425*B1.

Partie B

▶ 1. L’expression est f(x) = 22 400 + 75x.

▶ 2. Sur le graphique, les deux droites se coupent au point d’abscisse 64.

À partir de 65 mois, la courbe $C$ _f est en dessous de la courbe $C$ _g.

Donc, à partir de 65 mois, l’option Achat devient la plus avantageuse.

remarque

À 64 mois, les deux options sont équivalentes.

Sujet complet France métropolitaine 2025

Exercice 1 • Comparaison d’urnes 20 points

Exercice 2 • Une course en zig-zag 23 points

Partie A • La course à pied

Partie B • La natation

Exercice 3 • QCM 6 questions grandeurs et calculs 18 points

Exercice 4 • Deux programmes magiques 20 points

Partie A • Le programme de Zoé

Partie B • Le programme de Fred

Exercice 5 • Dépenses d’un garage 19 points

Partie A

Partie B

Les clés du sujet

Exercice 1

L’intérêt du sujet

Nos coups de pouce, question par question

Exercice 2

L’intérêt du sujet

Nos coups de pouce, question par question

Exercice 3

L’intérêt du sujet

Nos coups de pouce, question par question

Exercice 4

L’intérêt du sujet

Nos coups de pouce, question par question

Exercice 5

L’intérêt du sujet

Nos coups de pouce, question par question

Exercice 1

remarque

attention !

Exercice 2

Partie A

Partie B

remarque

Exercice 3

Exercice 4

à noter

Partie A

Partie B

Exercice 5

Partie A

Partie B

remarque

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