Sujet du brevet d’Amérique du Nord 2018

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2018 | Académie : Amérique du Nord

Amérique du Nord • Juin 2018

Sujet complet • 100 points

Sujet du brevet d’Amérique du Nord 2018

exercice 1 • abonnements internet 14 points

Le tableau ci-dessous a été réalisé à l’aire d’un tableur.

Il indique le nombre d’abonnements Internet à haut débit et à très haut débit entre 2014 et 2016, sur réseau fixe, en France.

A

B

C

D

1

2014

2015

2016

2

Nombre d’abonnements Internet à haut débit (en millions)

22,855

22,63

22,238

3

Nombre d’abonnements Internet à très haut débit (en millions)

3,113

4,237

5,446

4

Total (en millions)

25,968

26,867

27,684

Sources : Arcep et Statistica.

1. Combien d’abonnements Internet à très haut débit, en millions, ont été comptabilisés pour l’année 2016 ?

2. Vérifier qu’en 2016, il y avait 817 000 abonnements Internet à haut débit et à très haut débit de plus qu’en 2015.

3. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B4 avant de la recopier vers la droite, jusqu’à la cellule D4 ?

4. En 2015, seulement 5,6 % des abonnements Internet à très haut débit utilisaient la fibre optique. Quel nombre d’abonnements Internet à très haut débit cela représentait-il ?

exercice 2 • les triangles 14 points

La figure ci-dessous n’est pas en vraie grandeur. On donne les informations suivantes :

mat3_1806_02_00C_01

le triangle ADE a pour dimensions AD = 7 cm, AE = 4,2 cm et DE = 5,6 cm ;

F est le point de [AD] tel que AF = 2,5 cm ;

B est le point de [AD) et C est le point de [AE) tels que AB = AC = 9 cm ;

la droite (FG) est parallèle à la droite (DE).

1. Réaliser une figure en vraie grandeur.

2. Prouver que ADE est un triangle rectangle en E.

3. Calculer la longueur FG.

exercice 3 • les nombres 15 points

Deux urnes contiennent des boules numérotées indiscernables au toucher. Le schéma ci-dessous représente le contenu de chacune des urnes.

On forme un nombre entier à deux chiffres en tirant au hasard une boule dans chaque urne :

le chiffre des dizaines est le numéro de la boule issue de l’urne D ;

le chiffre des unités est le numéro de la boule issue de l’urne U.

mat3_1806_02_00C_02

Exemple : en tirant la boule 1 de l’urne D et ensuite la boule 5 de l’urne U, on forme le nombre 15.

1. A-t-on plus de chance de former un nombre pair que de former un nombre impair ?

2. a) Sans justifier, indiquer les nombres premiers qu’on peut former lors de cette expérience.

b) Montrer que la probabilité de former un nombre premier est égale à 16.

3. Définir un événement dont la probabilité de réalisation est égale à 13.

exercice 4 • scratch 14 points

Dans cet exercice, aucune justification n’est attendue.

Simon travaille sur un programme. Voici des copies de son écran :

Script principal

mat3_1806_02_00C_03_a

Bloc carré

mat3_1806_02_00C_03_b

Information

L’instruction mat3_1806_02_00C_03_c signifie qu’on se dirige vers la droite.

1. Il obtient le dessin ci-dessous.

mat3_1806_02_00C_04

a) D’après le script principal, quelle est la longueur du côté du plus petit carré dessiné ?

b) D’après le script principal, quelle est la longueur du côté du plus grand carré dessiné ?

2. Dans le script principal, où peut-on insérer l’instruction mat3_1806_02_00C_05 de façon à obtenir le dessin ci-dessous ?

mat3_1806_02_00C_06

3. On modifie maintenant le script principal pour obtenir celui qui est présenté ci-dessous :

mat3_1806_02_00C_07

Pour rappel : le bloc carré

mat3_1806_02_00C_03_b

Parmi les dessins ci-dessous, lequel obtient-on ?

mat3_1806_02_00C_08

exercice 5 • la frise 6 points

Gaspard travaille avec un logiciel de géométrie dynamique pour construire une frise.

Il a construit un triangle ABC isocèle en C (motif 1) puis il a obtenu le losange ACBD (motif 2). Voici les captures d’écran de son travail.

Motif 1

Motif 2

mat3_1806_02_00C_09a

mat3_1806_02_00C_09b

1. Préciser une transformation permettant de compléter le motif 1 pour obtenir le motif 2.

2. Une fois le motif 2 construit, Gaspard a appliqué à plusieurs reprises une translation.

Il obtient ainsi la frise ci-dessous.

Préciser de quelle translation il s’agit.

mat3_1806_02_00C_10

exercice 6 • la terrasse en béton 16 points

Madame Martin souhaite réaliser une terrasse en béton en face de sa baie vitrée. Elle réalise le dessin ci-dessous.

Pour faciliter l’écoulement des eaux de pluie, le sol de la terrasse doit être incliné.

La terrasse a la forme d’un prisme droit dont la base est le quadrilatère ABCD et la hauteur est le segment [CG].

P est le point du segment [AD] tel que BCDP est un rectangle.

mat3_1806_02_00C_11

1. L’angle ABC^ doit mesurer entre 1° et 1,5°.

Le projet de madame Martin vérifie-t-il cette condition ?

2. Madame Martin souhaite se faire livrer le béton nécessaire à la réalisation de sa terrasse.

Elle fait appel à une entreprise spécialisée.

À l’aide des informations contenues dans le tableau ci-dessous, déterminer le montant de la facture établie par l’entreprise.

On rappelle que toute trace de recherche, même incomplète, pourra être prise en compte dans l’évaluation.

Information 1

Distance entre l’entreprise et la maison de madame Martin : 23 km.

Information 2

Formule du volume d’un prisme droit

Volume d’un prisme droit = aire de la base du prisme × hauteur du prisme.

Information 3

Conditions tarifaires de l’entreprise spécialisée

Prix du m3 de béton : 95 €.

Capacité maximale du camion-toupie : 6 m3.

Frais de livraison : 5 € par km parcouru par le camion-toupie.

L’entreprise facture les distances aller et retour (entreprise-lieu de livraison) parcourues par le camion-toupie.

exercice 7 • questions indépendantes 15 points

Les trois questions suivantes sont indépendantes.

1. A = 2x(x - 1) - 4(x - 1).

Développer et réduire l’expression A.

2. Montrer que le nombre - 5 est une solution de l’équation (2x + 1) × (x - 2) = 63.

3. On considère la fonction f définie par f(x) = - 3x + 1,5.

a) Parmi les deux graphiques ci-dessous, quel est celui qui représente la fonction f ?

b) Justifiez votre choix.

mat3_1806_02_00C_12

exercice 8 • le téléchargement 6 points

On considère la fenêtre de téléchargement ci-dessous.

mat3_1806_02_00C_14

Si la vitesse de téléchargement reste constante, faudra-t-il plus d’une minute et vingt-cinq secondes pour que le téléchargement se termine ?

Les clés du sujet

Exercice 1

Points du programme

Lecture de tableau • Tableur • Pourcentage • Connaissance des grands nombres.

Nos coups de pouce

> 4. Prendre un pourcentage d’une quantité, c’est multiplier ce pourcentage par la quantité.

Exercice 2

Points du programme

Réciproque du théorème de Pythagore • Théorème de Thalès • Constructions.

Nos coups de pouce

> 2. Tu dois bien penser à séparer les calculs de carrés de longueurs dans la réciproque du théorème de Pythagore.

Exercice 3

Points du programme

Probabilités • Notion de nombre premier.

Nos coups de pouce

> 1. Réalise un arbre pour modéliser la situation.

Exercice 4

Points du programme

Algorithmique.

Nos coups de pouce

> 1. Chaque nouveau carré a une longueur augmentée de 20 par rapport à son précédent.

Exercice 5

Points du programme

Transformations géométriques.

Nos coups de pouce

> 1. Une symétrie axiale donne un effet « miroir ».

> 2. Une translation donne un effet « glissement ».

Exercice 6

Points du programme

Aires et volumes usuels • Trigonométrie • Proportionnalité.

Nos coups de pouce

> 1. Détermine d’abord AP par soustraction de longueurs.

> 2. La base de la terrasse est le quadrilatère ABCD.

Exercice 7

Points du programme

Distributivité simple • Substitution • Représentation graphique de fonctions affines.

Nos coups de pouce

> 3. Comment retrouve-t-on graphiquement le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine d’une fonction affine ?

Exercice 8

Points du programme

Grandeurs composées • Proportionnalité • Conversions de durées.

Nos coups de pouce

Calcule d’abord le nombre de Mo restant à télécharger.

Corrigé

Corrigé

exercice 1

1. Il y a eu 5 446 000 abonnements Internet très haut débit en 2016.

2. En 2016, il y a eu 27 684 000 – 26 867 000 = 817 000 abonnements haut et très haut débit de plus qu’en 2015.

attention !

Une formule de tableur commence par un « = ».

3. On a tapé la formule : =B2+B3.

4. Il y a eu 5,6100×4 237 000=237 272 abonnements très haut débit qui utilisaient la fibre optique en 2015.

exercice 2

1.

mat3_1806_02_00C_13

2. Dans le triangle ADE, [AD] est le plus grand côté.

D’une part : AD2 = 72 = 49.

D’autre part : AE2 + ED2 = 4,22 + 5,62 = 17,64 + 31,36 = 49.

Donc : AD2 = AE2 + ED2.

Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, ADE est rectangle en E.

3. Les droites (GE) et (FD) sont sécantes en A.

Les droites (FG) et (ED) sont parallèles.

Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

AFAD=AGAE=FGDE

Donc : 2,57=AG4,2=FG5,6.

Donc, avec le produit en croix, on a : FG= 2,5×5,67=2 cm.

exercice 3

1. Obtenir un nombre pair ou impair ne dépend que du chiffre des unités.

Dans l’urne U, il y a 2 chiffres pairs et 2 chiffres impairs.

Donc il y a autant de chance de former un nombre pair qu’un nombre impair.

rappel

Un nombre premier n’est divisible que par 1 et par lui-même.

2. a) Les nombres premiers que l’on peut former sont : 13 et 23.

b) Après avoir construit un arbre de probabilités, on constate que cette expérience possède 12 issues.

Seules les issues « 13 » et « 23 » permettent d’obtenir un nombre premier.

Donc : p(« obtenir un nombre premier ») = 212=16.

3. L’événement « obtenir un nombre dont le chiffre des dizaines est 1 » a une probabilité de 13 d’apparaître.

exercice 4

1. a) Le côté du plus petit carré mesure 40 pixels.

b) Le côté du plus grand carré mesure : 40 + 20 + 20 + 20 = 100 pixels.

remarque

On doit mettre l’instruction dans la boucle « répéter 4 fois », n’importe où après « carré ».

2. On peut mettre l’instruction juste après l’instruction « ajouter à côté 20 ».

3. On obtient le dessin 3.

exercice 5

1. Pour obtenir le motif 2, on trace le symétrique du motif 1 par rapport à l’axe (AB).

2. Il a appliqué la translation qui amène C sur B.

exercice 6

1. Les points A, P et D sont alignés donc :

AP = AD – DP = 0,27 – 0,15 = 0,12 m.

Dans le triangle APB rectangle en P, on a :

tan(B^)= côté opposé à l’angle B^côté adjacent à l’angle B^=APPB=0,125.

Donc B^=tan1(0,125)1,4°.

Le projet de Mme Martin vérifie bien la condition angulaire demandée.

2. Cherchons l’aire de la base ABCD :

Aire (ABCD) = aire (PDCB) + aire (APB)

= 5×0,15+× 0,122

= 1,05 m2.

Cherchons le volume de la terrasse :

Volume(terrasse) = aire (ABCD) × hauteur

= 1,05 × 8

= 8,4 m3.

Le prix payé pour le béton est : 95 × 8,4 = 798 €.

Cherchons le prix payé pour les déplacements du camion-toupie :

attention !

N’oublie pas de compter des allers-retours !

Il va falloir 2 déplacements donc 2 allers-retours.

Puisqu’un aller-retour correspond à 46 km, il sera facturé 5 × 46 × 2 = 460 €.

Conclusion : Mme Martin paiera 798+460=1 258 €.

exercice 7

1. A = 2x(x – 1) – 4(x – 1)

A = 2x2 – 2x – 4x + 4

A = 2x26x+4

attention !

Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif !

2. Remplaçons x par – 5 dans le membre de gauche et montrons que l’on obtient 63 :

(2 × (– 5) + 1) × (– 5 – 2) = (– 10 + 1) × (– 7)=9×(7)
= 63.

Donc 5 est une solution de l’équation proposée.

3. a) Le graphique B représente la fonction f.

b) On peut justifier la réponse par l’une des propriétés suivantes.

Le coefficient directeur de la droite représentant la fonction affine f est négatif donc la droite est décroissante.

La fonction f a pour ordonnée à l’origine + 1,5.

L’image de 2 par f est - 4,5 et non 1,5.

exercice 8

Il reste 115,2 – 9,7 = 105,5 Mo à télécharger.

À la vitesse de 1,3 Mo/s, il faudra : 105,51,381 s pour que le téléchargement se termine.

Or : 81 s = 1 min 21 s.

Donc il faudra moins de 1 min 25 s pour que le téléchargement se termine.