Troisième Mathématiques Sujets complets

Amérique du Nord • Juin 2018

mat3_1806_02_00C

Amérique du Nord • Juin 2018

Sujet complet • 100 points

Sujet du brevet d'Amérique du Nord 2018

exercice 1 • abonnements internet 14 points

Le tableau ci-dessous a été réalisé à l'aire d'un tableur.

Il indique le nombre d'abonnements Internet à haut débit et à très haut débit entre 2014 et 2016, sur réseau fixe, en France.

	A	B	C	D
1		2014	2015	2016
2	Nombre d'abonnements Internet à haut débit (en millions)	22,855	22,63	22,238
3	Nombre d'abonnements Internet à très haut débit (en millions)	3,113	4,237	5,446
4	Total (en millions)	25,968	26,867	27,684

Sources : Arcep et Statistica.

▶ 1. Combien d'abonnements Internet à très haut débit, en millions, ont été comptabilisés pour l'année 2016 ?

▶ 2. Vérifier qu'en 2016, il y avait 817 000 abonnements Internet à haut débit et à très haut débit de plus qu'en 2015.

▶ 3. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B4 avant de la recopier vers la droite, jusqu'à la cellule D4 ?

▶ 4. En 2015, seulement 5,6 % des abonnements Internet à très haut débit utilisaient la fibre optique. Quel nombre d'abonnements Internet à très haut débit cela représentait-il ?

exercice 2 • les triangles 14 points

La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur. On donne les informations suivantes :

mat3_1806_02_00C_01

le triangle ADE a pour dimensions AD = 7 cm, AE = 4,2 cm et DE = 5,6 cm ;

F est le point de [AD] tel que AF = 2,5 cm ;

B est le point de [AD) et C est le point de [AE) tels que AB = AC = 9 cm ;

la droite (FG) est parallèle à la droite (DE).

▶ 1. Réaliser une figure en vraie grandeur.

▶ 2. Prouver que ADE est un triangle rectangle en E.

▶ 3. Calculer la longueur FG.

exercice 3 • les nombres 15 points

Deux urnes contiennent des boules numérotées indiscernables au toucher. Le schéma ci-dessous représente le contenu de chacune des urnes.

On forme un nombre entier à deux chiffres en tirant au hasard une boule dans chaque urne :

le chiffre des dizaines est le numéro de la boule issue de l'urne D ;

le chiffre des unités est le numéro de la boule issue de l'urne U.

mat3_1806_02_00C_02

Exemple : en tirant la boule 1 de l'urne D et ensuite la boule 5 de l'urne U, on forme le nombre 15.

▶ 1. A-t-on plus de chance de former un nombre pair que de former un nombre impair ?

▶ 2. a) Sans justifier, indiquer les nombres premiers qu'on peut former lors de cette expérience.

b) Montrer que la probabilité de former un nombre premier est égale à $\frac{1}{6}$ .

▶ 3. Définir un événement dont la probabilité de réalisation est égale à $\frac{1}{3}$ .

exercice 4 • scratch 14 points

Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue.

Simon travaille sur un programme. Voici des copies de son écran :

Script principal

mat3_1806_02_00C_03_a

Bloc carré

mat3_1806_02_00C_03_b

Information

L'instruction mat3_1806_02_00C_03_c signifie qu'on se dirige vers la droite.

▶ 1. Il obtient le dessin ci-dessous.

mat3_1806_02_00C_04

a) D'après le script principal, quelle est la longueur du côté du plus petit carré dessiné ?

b) D'après le script principal, quelle est la longueur du côté du plus grand carré dessiné ?

▶ 2. Dans le script principal, où peut-on insérer l'instruction mat3_1806_02_00C_05 de façon à obtenir le dessin ci-dessous ?

mat3_1806_02_00C_06

▶ 3. On modifie maintenant le script principal pour obtenir celui qui est présenté ci-dessous :

mat3_1806_02_00C_07

Pour rappel : le bloc carré

mat3_1806_02_00C_03_b

Parmi les dessins ci-dessous, lequel obtient-on ?

mat3_1806_02_00C_08

exercice 5 • la frise 6 points

Gaspard travaille avec un logiciel de géométrie dynamique pour construire une frise.

Il a construit un triangle ABC isocèle en C (motif 1) puis il a obtenu le losange ACBD (motif 2). Voici les captures d'écran de son travail.

Motif 1	Motif 2

▶ 1. Préciser une transformation permettant de compléter le motif 1 pour obtenir le motif 2.

▶ 2. Une fois le motif 2 construit, Gaspard a appliqué à plusieurs reprises une translation.

Il obtient ainsi la frise ci-dessous.

Préciser de quelle translation il s'agit.

mat3_1806_02_00C_10

exercice 6 • la terrasse en béton 16 points

Madame Martin souhaite réaliser une terrasse en béton en face de sa baie vitrée. Elle réalise le dessin ci-dessous.

Pour faciliter l'écoulement des eaux de pluie, le sol de la terrasse doit être incliné.

La terrasse a la forme d'un prisme droit dont la base est le quadrilatère ABCD et la hauteur est le segment [CG].

P est le point du segment [AD] tel que BCDP est un rectangle.

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▶ 1. L'angle $\hat{ABC}$ doit mesurer entre 1° et 1,5°.

Le projet de madame Martin vérifie-t-il cette condition ?

▶ 2. Madame Martin souhaite se faire livrer le béton nécessaire à la réalisation de sa terrasse.

Elle fait appel à une entreprise spécialisée.

À l'aide des informations contenues dans le tableau ci-dessous, déterminer le montant de la facture établie par l'entreprise.

On rappelle que toute trace de recherche, même incomplète, pourra être prise en compte dans l'évaluation.

Information 1

Distance entre l'entreprise et la maison de madame Martin : 23 km.

Information 2

Formule du volume d'un prisme droit

Volume d'un prisme droit = aire de la base du prisme × hauteur du prisme.

Information 3

Conditions tarifaires de l'entreprise spécialisée

Prix du m3 de béton : 95 €.

Capacité maximale du camion-toupie : 6 m3.

Frais de livraison : 5 € par km parcouru par le camion-toupie.

L'entreprise facture les distances aller et retour (entreprise-lieu de livraison) parcourues par le camion-toupie.

exercice 7 • questions indépendantes 15 points

Les trois questions suivantes sont indépendantes.

▶ 1. A = 2x(x - 1) - 4(x - 1).

Développer et réduire l'expression A.

▶ 2. Montrer que le nombre - 5 est une solution de l'équation (2x + 1) × (x - 2) = 63.

▶ 3. On considère la fonction f définie par f(x) = - 3x + 1,5.

a) Parmi les deux graphiques ci-dessous, quel est celui qui représente la fonction f ?

b) Justifiez votre choix.

mat3_1806_02_00C_12

exercice 8 • le téléchargement 6 points

On considère la fenêtre de téléchargement ci-dessous.

mat3_1806_02_00C_14

Nos coups de pouce

> 1. Une symétrie axiale donne un effet « miroir ».

> 2. Une translation donne un effet « glissement ».

Exercice 6

Points du programme

Aires et volumes usuels • Trigonométrie • Proportionnalité.

Nos coups de pouce

> 1. Détermine d'abord AP par soustraction de longueurs.

> 2. La base de la terrasse est le quadrilatère ABCD.

Exercice 7

Points du programme

Distributivité simple • Substitution • Représentation graphique de fonctions affines.

Nos coups de pouce

> 3. Comment retrouve-t-on graphiquement le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine d'une fonction affine ?

Exercice 8

Points du programme

Grandeurs composées • Proportionnalité • Conversions de durées.

Nos coups de pouce

Calcule d'abord le nombre de Mo restant à télécharger.

Corrigé

exercice 1

▶ 1. Il y a eu $5 446 000$ abonnements Internet très haut débit en 2016.

▶ 2. En 2016, il y a eu 27 684 000 – 26 867 000 = $817000$ abonnements haut et très haut débit de plus qu'en 2015.

attention !

Une formule de tableur commence par un « = ».

▶ 3. On a tapé la formule : $= B2 + B3$ .

▶ 4. Il y a eu $\frac{5,6}{100} \times 4 237 000 = 237 272$ abonnements très haut débit qui utilisaient la fibre optique en 2015.

exercice 2

▶ 1.

mat3_1806_02_00C_13

▶ 2. Dans le triangle ADE, [AD] est le plus grand côté.

D'une part : AD2 = 72 = 49.

D'autre part : AE2 + ED2 = 4,22 + 5,62 = 17,64 + 31,36 = 49.

Donc : AD2 = AE2 + ED2.

Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, ADE est rectangle en E.

▶ 3. Les droites (GE) et (FD) sont sécantes en A.

Les droites (FG) et (ED) sont parallèles.

Donc d'après le théorème de Thalès, on a :

$\frac{AF}{AD} = \frac{AG}{AE} = \frac{FG}{DE}$

Donc : $\frac{2,5}{7} = \frac{AG}{4,2} = \frac{FG}{5,6}$ .

Donc, avec le produit en croix, on a : $FG = \frac{2,5 \times 5,6}{7} = 2 cm .$

exercice 3

▶ 1. Obtenir un nombre pair ou impair ne dépend que du chiffre des unités.

Dans l'urne U, il y a 2 chiffres pairs et 2 chiffres impairs.

Donc il y a autant de chance de former un nombre pair qu'un nombre impair.

rappel

Un nombre premier n'est divisible que par 1 et par lui-même.

▶ 2. a) Les nombres premiers que l'on peut former sont : $13 et 23$ .

b) Après avoir construit un arbre de probabilités, on constate que cette expérience possède 12 issues.

Seules les issues « 13 » et « 23 » permettent d'obtenir un nombre premier.

Donc : p(« obtenir un nombre premier ») = $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ .

▶ 3. L'événement « obtenir un nombre dont le chiffre des dizaines est 1 » a une probabilité de $\frac{1}{3}$ d'apparaître.

exercice 4

▶ 1. a) Le côté du plus petit carré mesure $40 pixels$ .

b) Le côté du plus grand carré mesure : 40 + 20 + 20 + 20 = $100 pixels$ .

remarque

On doit mettre l'instruction dans la boucle « répéter 4 fois », n'importe où après « carré ».

▶ 2. On peut mettre l'instruction juste après l'instruction « ajouter à côté 20 ».

▶ 3. On obtient $le dessin 3$ .

exercice 5

▶ 1. Pour obtenir le motif 2, on trace le symétrique du motif 1 par rapport à l'axe (AB).

▶ 2. Il a appliqué la translation qui amène C sur B.

exercice 6

▶ 1. Les points A, P et D sont alignés donc :

AP = AD – DP = 0,27 – 0,15 = 0,12 m.

Dans le triangle APB rectangle en P, on a :

$\tan (\hat{B}) = \frac{côté opposé à l'angle \hat{B}}{côté adjacent à l'angle \hat{B}} = \frac{AP}{PB} = \frac{0,12}{5}$ .

Donc $\hat{B} = \tan^{- 1} (\frac{0,12}{5}) \approx 1,4 °$ .

Le projet de Mme Martin vérifie bien la condition angulaire demandée.

▶ 2. Cherchons l'aire de la base ABCD :

Aire (ABCD) = aire (PDCB) + aire (APB)

= $5 \times 0,15 + \frac{5 \times 0,12}{2}$

= 1,05 m2.

Cherchons le volume de la terrasse :

Volume(terrasse) = aire (ABCD) × hauteur

= 1,05 × 8

= 8,4 m3.

Le prix payé pour le béton est : 95 × 8,4 = 798 €.

Cherchons le prix payé pour les déplacements du camion-toupie :

attention !

N'oublie pas de compter des allers-retours !

Il va falloir 2 déplacements donc 2 allers-retours.

Puisqu'un aller-retour correspond à 46 km, il sera facturé 5 × 46 × 2 = 460 €.

Conclusion : Mme Martin paiera $798 + 460 = 1 258$ €.

exercice 7

▶ 1. A = 2x(x – 1) – 4(x – 1)

A = 2x2 – 2x – 4x + 4

A = $2 x^{2} - 6 x + 4$

attention !

Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif !

▶ 2. Remplaçons x par – 5 dans le membre de gauche et montrons que l'on obtient 63 :

(2 × (– 5) + 1) × (– 5 – 2) = (– 10 + 1) × (– 7) $= - 9 \times (- 7)$
= 63.

Donc $- 5$ est une solution de l'équation proposée.

▶ 3. a) Le graphique B représente la fonction f.

b) On peut justifier la réponse par l'une des propriétés suivantes.

Le coefficient directeur de la droite représentant la fonction affine f est négatif donc la droite est décroissante.

La fonction f a pour ordonnée à l'origine + 1,5.

L'image de 2 par f est - 4,5 et non 1,5.

exercice 8

Il reste 115,2 – 9,7 = 105,5 Mo à télécharger.

À la vitesse de 1,3 Mo/s, il faudra : $\frac{105,5}{1,3} \approx 81 s$ pour que le téléchargement se termine.

Or : 81 s = 1 min 21 s.

Donc il faudra moins de 1 min 25 s pour que le téléchargement se termine.

Sujet du brevet d'Amérique du Nord 2018

exercice 1 • abonnements internet 14 points

exercice 2 • les triangles 14 points

exercice 3 • les nombres 15 points

exercice 4 • scratch 14 points

exercice 5 • la frise 6 points

exercice 6 • la terrasse en béton 16 points

exercice 7 • questions indépendantes 15 points

exercice 8 • le téléchargement 6 points

Exercice 1

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 2

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 3

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 4

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 5

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 6

Points du programme

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Exercice 7

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 8

Points du programme

Nos coups de pouce

exercice 1

exercice 2

exercice 3

exercice 4

exercice 5

exercice 6

exercice 7

exercice 8

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