Troisième Mathématiques Sujets complets

Amérique du Nord • Juin 2019

mat3_1906_02_00C

Amérique du Nord • Juin 2019

Sujet complet • 100 points

Sujet du brevet d'Amérique du Nord 2019

exercice 1 • figure géométrique 14 points

On considère la figure ci-dessous, réalisée à main levée et qui n'est pas à l'échelle.

mat3_1906_02_00C_01

On donne les informations suivantes :

les droites (ER) et (FT) sont sécantes en A ;

AE = 8 cm, AF = 10 cm, EF = 6 cm ;

AR = 12 cm, AT = 14 cm.

▶ 1. Démontrer que le triangle AEF est rectangle en E.

▶ 2. En déduire une mesure de l'angle $\hat{EAF}$ au degré près.

▶ 3. Les droites (EF) et (RT) sont-elles parallèles ?

exercice 2 • les affirmations 17 points

Voici quatre affirmations. Pour chacune d'entre elles, dire si elle est vraie ou fausse. On rappelle que la réponse doit être justifiée.

▶ 1. Affirmation 1 : $\frac{3}{5} + \frac{1}{2} = \frac{3 + 1}{5 + 2}$ .

▶ 2. On considère la fonction f : x ↦ 5 - 3x.

Affirmation 2 : l'image de − 1 par f est − 2.

▶ 3. On considère deux expériences aléatoires :

expérience no 1 : choisir au hasard un nombre entier compris entre 1 et 11 (1 et 11 inclus) ;

expérience no 2 : lancer un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6 et annoncer le nombre qui apparaît sur la face du dessus.

Affirmation 3 : il est plus probable de choisir un nombre premier dans l'expérience no 1 que d'obtenir un nombre pair dans l'expérience no 2.

▶ 4. Affirmation 4 : pour tout nombre x : (2x + 1)2 − 4 = (2x + 3)(2x − 1).

exercice 3 • le gaspillage alimentaire 12 points

Le diagramme ci-dessous représente, pour six pays, la quantité de nourriture gaspillée (en kg) par habitant en 2010.

Quantité de nourriture gaspillée en kg par habitant en 2010

mat3_1906_02_00C_02

▶ 1. Donner approximativement la quantité de nourriture gaspillée par un habitant du pays D en 2010.

▶ 2. Peut-on affirmer que le gaspillage de nourriture d'un habitant du pays F représente environ un cinquième du gaspillage de nourriture d'un habitant du pays A ?

▶ 3. On veut rendre compte de la quantité de nourriture gaspillée pour d'autres pays. On réalise alors le tableau ci-dessous à l'aide d'un tableur.

Rappel : 1 tonne = 1 000 kg.

	A	B	C	D
1		Quantité de nourriture gaspillée par habitant en 2010 (en kg)	Nombre d'habitants en 2010 (en millions)	Quantité totale de nourriture gaspillée (en tonnes)
2	Pays X	345	10,9	3 760 500
3	Pays Y	212	9,4
4	Pays Z	135	46,6

a) Quelle est la quantité totale de nourriture gaspillée par les habitants du pays X en 2010 ?

b) Voici trois propositions de formule, recopier sur votre copie celle qu'on a saisie dans la cellule D2 avant de l'étirer jusqu'en D4.

Proposition 1	Proposition 2	Proposition 3
=B2C21000000	=B2*C2	=B2C21000

exercice 4 • scratch 10 points

On a programmé un jeu. Le but du jeu est de sortir du labyrinthe. Au début du jeu, le lutin se place au point de départ. Lorsque le lutin touche un mur, représenté par un trait noir épais, il revient au point de départ.

mat3_1906_02_00C_03

L'arrière-plan est constitué d'un repère d'origine O avec des points espacés de 30 unités verticalement et horizontalement.

Dans cet exercice, on considérera que seuls les murs du labyrinthe sont noirs. Voici le programme :

mat3_1906_02_00C_04

Le bloc mat3_1906_02_00C_05a correspond à un sous-programme qui fait dire « Gagné ! » au lutin lorsqu'il est situé au point de sortie ; le jeu s'arrête alors.

▶ 1. Recopier et compléter l'instruction mat3_1906_02_00C_05b du programme pour ramener le lutin au point de départ si la couleur noire est touchée.

▶ 2. Quelle est la distance minimale parcourue par le lutin entre le point de départ et le point de sortie ?

▶ 3. On lance le programme en cliquant sur le drapeau. Le lutin est au point de départ. On appuie brièvement sur la touche ↑ (« flèche haut ») puis sur la touche → (« flèche droite »). Quelles sont toutes les actions effectuées par le lutin ?

exercice 5 • les transformations du plan 10 points

Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue.

On considère l'hexagone ABCDEF de centre O représenté ci-dessous.

mat3_1906_02_00C_06

▶ 1. Parmi les propositions suivantes, recopier celle qui correspond à l'image du quadrilatère CDEO par la symétrie de centre O.

Proposition 1	Proposition 2	Proposition 3
FABO	ABCO	FODE

▶ 2. Quelle est l'image du segment [AO] par la symétrie d'axe (CF) ?

▶ 3. On considère la rotation de centre O qui transforme le triangle OAB en le triangle OCD.

Quelle est l'image du triangle BOC par cette rotation ?

La figure ci-dessous représente un pavage dont le motif de base a la même forme que l'hexagone ci-dessus. On a numéroté certains de ces hexagones.

mat3_1906_02_00C_07

▶ 4. Quelle est l'image de l'hexagone 14 par la translation qui transforme l'hexagone 2 en l'hexagone 12 ?

exercice 6 • le médicament 12 points

Les deux parties A et B sont indépendantes.

Partie A : absorption du principe actif d'un médicament

Lorsqu'on absorbe un médicament, que ce soit par voie orale ou non, la quantité de principe actif de ce médicament dans le sang évolue en fonction du temps. Cette quantité se mesure en milligrammes par litre de sang.

Le graphique ci-dessous représente la quantité de principe actif d'un médicament dans le sang, en fonction du temps écoulé, depuis la prise de ce médicament.

mat3_1906_02_00C_08

▶ 1. Quelle est la quantité de principe actif dans le sang, trente minutes après la prise de ce médicament ?

▶ 2. Combien de temps après la prise de ce médicament, la quantité de principe actif est-elle la plus élevée ?

Partie B : comparaison de masses d'alcool dans deux boissons

On fournit les données ci-dessous :

Formule permettant de calculer la masse d'alcool en g dans une boisson alcoolisée :

m = V × d × 7,9

V : volume de la boisson alcoolisée en cL

d : degré d'alcool de la boisson (exemple, un degré d'alcool de 2 % signifie que d est égal à 0,02)

Deux exemples de boissons alcoolisées :

Boisson ①

Degré d'alcool : 5 %

Contenance : 33 cL

Boisson ②

Degré d'alcool : 12 %

Contenance : 125 mL

▶ Question : la boisson ① contient-elle une masse d'alcool supérieure à celle de la boisson ② ?

exercice 7 • les boulets 15 points

Pour ranger les boulets de canon, les soldats du xvie siècle utilisaient souvent un type d'empilement pyramidal à base carrée, comme le montrent les dessins suivants :

mat3_1906_02_00C_09a

Empilement à 2 niveaux

mat3_1906_02_00C_09b

Empilement à 3 niveaux

mat3_1906_02_00C_09c

Empilement à 4 niveaux

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Empilement à 5 niveaux

▶ 1. Combien de boulets contient l'empilement à 2 niveaux ?

▶ 2. Expliquer pourquoi l'empilement à 3 niveaux contient 14 boulets.

▶ 3. On range 55 boulets de canon selon cette méthode. Combien de niveaux comporte alors l'empilement obtenu ?

▶ 4. Ces boulets sont en fonte ; la masse volumique de cette fonte est de 7 300 kg/m3. On modélise un boulet de canon par une boule de rayon 6 cm. Montrer que l'empilement à 3 niveaux de ces boulets pèse 92 kg, au kg près.

Rappels :

volume d'une boule = $\frac{4}{3} \times π$ × rayon × rayon × rayon ;

une masse volumique de 7 300 kg/m3 signifie que 1 m3 pèse 7 300 kg.

exercice 8 • les notes 10 points

Dans une classe de Terminale, huit élèves passent un concours d'entrée dans une école d'enseignement supérieur.

Pour être admis, il faut obtenir une note supérieure ou égale à 10.

Une note est attribuée avec une précision d'un demi-point (par exemple : 10 ; 10,5 ; 11 ; …). On dispose des informations suivantes :

003_mat3_1906_02_00C_tab1

Calcul littéral • Lecture de courbe.

Nos coups de pouce

Partie B

Pense à prendre l'écriture décimale des pourcentages et à convertir les mL en cL.

Exercice 7

Points du programme

Calcul de carrés de nombres • Masse volumique • Volume d'une boule et conversions de volumes • Proportionnalité.

Nos coups de pouce

▶ 4. Calcule le volume des 14 boulets puis, par proportionnalité, leur masse.

Exercice 8

Points du programme

Calculs et bonne compréhension d'indicateurs statistiques.

Nos coups de pouce

▶ 2. Vérifie si les indicateurs sont bons avec les valeurs choisies.

Corrigé

exercice 1

▶ 1. [AF] est le plus grand côté du triangle AEF.

D'une part : AF2 = 102 = 100.

D'autre part : AE2 + FE2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100.

Donc : AF2 = AE2 + FE2.

Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on a AEF rectangle en E.

rappel

Moyen mnémotechnique : SOHCAHTOA.

▶ 2. AEF est rectangle en E.

$Cos (\hat{A}) = \frac{côté adjacent à \hat{A}}{hypoténuse} = \frac{AE}{AF} = \frac{8}{10}$

Donc $\hat{A} = \arccos (\frac{8}{10}) \approx 37 °$ .

▶ 3. Les droites (ER) et (FT) sont sécantes en A.

D'une part : $\frac{AE}{AR} = \frac{8}{12}$ ; d'autre part : $\frac{AF}{AT} = \frac{10}{14}$ .

On a 8 × 14 ≠ 12 × 10

Donc d'après le produit en croix on a $\frac{AE}{AR} \neq \frac{AF}{AT}$ .

Donc les droites (EF) et (RT) ne sont pas parallèles.

exercice 2

attention !

Pour additionner deux fractions, il faut les mettre au même dénominateur.

▶ 1. $\frac{3}{5} + \frac{1}{2} = \frac{6}{10} + \frac{5}{10} = \frac{11}{10} = \frac{77}{70}$

Cependant : $\frac{3 + 1}{5 + 2} = \frac{4}{7} = \frac{40}{70}$ .

Donc l'affirmation est fausse.

▶ 2. f(– 1) = 5 – 3 × (– 1) = 5 + 3 = 8 ≠ – 2

Donc l'affirmation est fausse.

rappel

Un nombre premier est un nombre qui n'est divisible que par 1 et lui-même.

▶ 3. • Les nombres premiers compris entre 1 et 11 sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 et 11.

Donc la probabilité de tirer un nombre premier avec l'expérience no 1 est de $\frac{5}{11}$ .

Les nombres pairs compris entre 1 et 6 sont : 2 ; 4 et 6.

Donc la probabilité de tirer un nombre pair avec l'expérience no 2 est de $\frac{3}{6}$ .

Or $\frac{5}{11} = \frac{30}{66}$ et $\frac{3}{6} = \frac{33}{66}$ .

Donc l'affirmation est fausse.

▶ 4. On développe chaque membre de l'expression :

(2x + 1)2 – 4 = 4x2 + 4x + 1 – 4 = 4x2 + 4x – 3

(2x + 3)(2x – 1) = 4x2 – 2x + 6x – 3 = 4x2 + 4x – 3

Les deux expressions sont égales donc l'affirmation est vraie.

exercice 3

▶ 1. Par lecture, on voit que la quantité de nourriture gaspillée par un habitant du pays D est d'environ $140 kg$ .

▶ 2. La quantité de nourriture gaspillée par un habitant du pays F est d'environ 110 kg.

La quantité de nourriture gaspillée par un habitant du pays A est d'environ 545 kg.

545 : 110 ≈ 5

Donc on peut affirmer que le gaspillage de nourriture d'un habitant du pays F représente environ un cinquième du gaspillage de nourriture d'un habitant du pays A.

▶ 3. a) La quantité totale de nourriture gaspillée par les habitants du pays X en 2010 est de $3 760 500 tonnes$ .

b) La formule à saisir est : $= B2*C2*1000$

exercice 4

▶ 1. Le lutin revient au point de départ :

mat3_1906_02_00C_10

▶ 2. La distance minimale parcourue par le lutin entre le point de départ et le point de sortie est de 27 × 30 = $810 unités$ .

En effet, il y a 27 espaces de 30 unités chacun à parcourir pour aller du départ à l'arrivée.

▶ 3. Le lutin monte d'un cran puis se décale vers la droite d'une unité. Il touche alors le mur et revient au point de départ.

exercice 5

▶ 1. C'est FABO qui correspond à l'image du quadrilatère CDEO par la symétrie de centre O.

On choisit donc la proposition 1.

▶ 2. L'image du segment [AO] par la symétrie d'axe (CF) est le segment [OE].

▶ 3. L'image du triangle BOC par cette rotation est le triangle ODE.

rappel

Une translation est un « glissement » de figure.

▶ 4. L'image de l'hexagone 14 par la translation qui transforme l'hexagone 2 en l'hexagone 12 est l'hexagone 19.

exercice 6

Partie A

rappel

30 minutes correspondent à ½ h.

▶ 1. La quantité de principe actif dans le sang, trente minutes après la prise de ce médicament, est de $10 mg/L$ .

▶ 2. La quantité de principe actif est la plus élevée au bout de $2 h$ .

Partie B

La masse d'alcool présente dans la boisson alcoolisée ① est de :

m1 = V1 × d1 × 7,9 = 33 × 0,05 × 7,9 = $13,035 g$

La masse d'alcool présente dans la boisson alcoolisée ② est de :

m2 = V2 × d2 × 7,9 = 12,5 × 0,12 × 7,9 = $11,85 g$

Donc la boisson ① contient une masse d'alcool supérieure à celle de la boisson ②.

exercice 7

▶ 1. L'empilement à 2 niveaux contient $5 boulets$ .

▶ 2. L'empilement à 3 niveaux contient 14 boulets car on rajoute aux boulets de l'empilement à 2 niveaux une base de 3 × 3 = 9 boulets.

▶ 3. Si l'on range 55 boulets de canon selon cette méthode, l'empilement obtenu contiendra $5 niveaux$ .

En effet, on aura empilé 5 + 32 + 42 + 52 = 55 boulets.

▶ 4. Dans l'empilement à 3 niveaux, il y a 14 boulets.

Le volume d'un seul boulet est : Vboulet = $\frac{4}{3} \times π \times r^{3} = \frac{4}{3} \times π \times 6^{3} \approx 904,8 {cm}^{3}$ .

Le volume des 14 boulets est donc d'environ : 14 × 904,8 ≈ 12 667 cm3 soit 0,012667 m3.

La masse volumique de la fonte indique que 1 m3 pèse 7 300 kg.

Par proportionnalité les boulets pèsent donc : 0,012667 × 7 300 ≈ $92 kg$

exercice 8

▶ 1. Il est impossible que cette valeur soit 16 car alors l'étendue de la série serait au moins de 16 – 6 = 10.

▶ 2. Si les deux notes sont 12,5 et 13,5, on a alors :

Médiane : $\underset{4 valeurs}{\underset{︸}{6 ; 7,5 ; 10 ; 12,5}}; \underset{4 valeurs}{\underset{︸}{13 ; 13,5 ; 14,5 ; 15}}$

La médiane serait alors de $\frac{12,5 + 13}{2} = 12,75$ ce qui n'est pas possible.

Donc ce choix des deux notes est impossible.

Sujet du brevet d'Amérique du Nord 2019

exercice 1 • figure géométrique 14 points

exercice 2 • les affirmations 17 points

exercice 3 • le gaspillage alimentaire 12 points

exercice 4 • scratch 10 points

exercice 5 • les transformations du plan 10 points

exercice 6 • le médicament 12 points

Partie A : absorption du principe actif d'un médicament

Partie B : comparaison de masses d'alcool dans deux boissons

exercice 7 • les boulets 15 points

exercice 8 • les notes 10 points

Exercice 1

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 2

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 3

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 4

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 5

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 6

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 7

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 8

Points du programme

Nos coups de pouce

exercice 1

exercice 2

exercice 3

exercice 4

exercice 5

exercice 6

Partie A

Partie B

exercice 7

exercice 8

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