SPRINT FINAL
Amérique du Nord • Juin 2021
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Amérique du Nord • Juin 2021
Sujet du brevet d'Amérique du Nord 2021
Exercice 1 • Vrai ou faux ? 26 points
Pour chacune des six affirmations suivantes, indiquer sur votre copie si elle est vraie ou fausse. On rappelle que chaque réponse doit être justifiée.
▶ 1. On considère la fonction f définie par f(x) = 3x − 7.
Affirmation no 1 : L'image par f du nombre −1 est 2.
▶ 2. On considère l'expression E = (x − 5)(x + 1).
Affirmation no 2 : L'expression E a pour forme développée et réduite x2 − 4x − 5.
▶ 3. n est un entier positif.
Affirmation no 3 : Lorsque n est égal à 5, le nombre 2n + 1 est un nombre premier.
▶ 4. On a lancé 15 fois un dé à six faces numérotées de 1 à 6 et on a noté les fréquences d'apparition dans le tableau ci-dessous :
Affirmation no 4 : La fréquence d'apparition du 6 est 0.
▶ 5. On considère un triangle RAS rectangle en S.
Le côté [AS] mesure 80 cm et l'angle mesure 26°.
Affirmation no 5 : Le segment [RS] mesure environ 164 cm.
▶ 6. Un rectangle ABCD a pour longueur 160 cm et pour largeur 95 cm.
Affirmation no 6 : Les diagonales de ce rectangle mesurent exactement 186 cm.
Exercice 2 • Le triathlon 21 points
Un athlète a réalisé un triathlon d'une longueur totale de 12,9 km. Les trois épreuves se déroulent dans l'ordre suivant :
Entre deux épreuves, l'athlète doit effectuer sur place un changement d'équipement.
Le graphique ci-dessous représente la distance parcourue (exprimée en kilomètres) par l'athlète, en fonction du temps de parcours (exprimé en minutes) de l'athlète pendant son triathlon.
Le point M a pour abscisse 42 et pour ordonnée 10,4.
À l'aide du tableau ci-dessus ou par lecture du graphique ci-dessus avec la précision qu'il permet, répondre aux questions suivantes en justifiant la démarche.
▶ 1. Au bout de combien de temps l'athlète s'est-elle arrêtée pour effectuer son premier changement d'équipement ?
▶ 2. Quelle est la longueur, exprimée en kilomètres, du parcours de l'épreuve de cyclisme ?
▶ 3. En combien de temps l'athlète a-t-elle effectué l'épreuve de course à pied ?
▶ 4. Parmi les trois épreuves, pendant laquelle l'athlète a-t-elle été la moins rapide ?
▶ 5. On considère que les changements d'équipement entre les épreuves font partie du triathlon.
La vitesse moyenne de l'athlète sur l'ensemble du triathlon est-elle supérieure à 14 km/h ?
Exercice 3 • Des transformations géométriques 16 points
Dans cet exercice, aucune justification n'est demandée.
On a construit un carré ABCD.
On a construit le point O sur la droite (DB), à l'extérieur du segment [DB] et tel que OB = AB.
Le point H est le symétrique de D par rapport à O.
On a obtenu la figure ci-dessous en utilisant plusieurs fois la même rotation de centre O et d'angle 45°.
La figure obtenue est symétrique par rapport à l'axe (DB) et par rapport au point O.
▶ 1. Donner deux carrés différents, images l'un de l'autre par la symétrie axiale d'axe (DB).
▶ 2. Le carré ③ est-il l'image du carré ⑧ par la symétrie de centre O ?
▶ 3. On considère la rotation de centre O qui transforme le carré ① en le carré ②. Quelle est l'image du carré ⑧ par cette rotation ?
▶ 4. On considère la rotation de centre O qui transforme le carré ② en le carré ⑤. Préciser l'image du segment [EF] par cette rotation.
Exercice 4 • Le damier 16 points
Dans cet exercice, aucune justification n'est demandée.
On dispose d'un tableau carré ci-dessous partagé en neuf cases blanches de mêmes dimensions qui constituent un motif.
Quatre instructions A, B, C, et E permettent de changer l'aspect de certaines cases, lorsqu'on applique ces instructions. Ainsi :
Remarque : si une case du motif est déjà noire et une instruction demande à la noircir, alors cette case ne change pas de couleur et reste noire à la suite de cette instruction.
Exemples : à partir d'un motif dont toutes les cases sont blanches :
Pour chacune des questions suivantes, on dispose au départ d'un motif dont toutes les cases sont blanches.
▶ 1. Représenter le motif obtenu avec la suite d'instruction A B.
▶ 2. Parmi les quatre propositions suivantes, deux propositions permettent d'obtenir le motif ci-dessous. Lesquelles ?
Proposition no 1 : A B C
Proposition no 2 : C E
Proposition no 3 : B C E C
Proposition no 4 : C A E A
▶ 3. Donner la suite d'instructions qui permet d'obtenir le motif ci-dessous.
Exercice 5 • Rénovation d'une salle de bain 21 points
On souhaite rénover une salle de bain qui a la forme d'un parallélépipède rectangle. Il faut coller du papier peint sur les quatre murs. On n'en colle pas sur la porte, ni sur la fenêtre.
Voici un schéma de la salle de bain, les dimensions sont exprimées en mètres :
On dispose des informations suivantes :
▶ 1. Montrer que la surface à recouvrir de papier peint est de 26,4 m2.
▶ 2. Calculer le prix, en euros, d'un mètre carré de papier peint. Arrondir au centime d'euro.
▶ 3. Si on suit les conseils du vendeur, combien coûtera la rénovation de la salle de bain ?
▶ 4. Le jour de l'achat, une remise de 8 % est accordée.
Quel est le prix à payer après remise ? Arrondir au centime d'euro.
Les clés du sujet
Exercice 1
L'intérêt du sujet
En six questions, on couvre une grande partie du programme ! Excellent exercice pour les révisions !
Nos coups de pouce, question par question
Exercice 2
L'intérêt du sujet
Trois sports en un ! Et on devient un athlète complet. Tu pourras ensuite te tester sur le pentathlon (5 épreuves) et le décathlon (10 épreuves).
Nos coups de pouce, question par question
Exercice 3
L'intérêt du sujet
On peut réaliser un très joli carrelage avec des motifs carrés et des motifs en forme d'étoile.
Nos coups de pouce, question par question
Exercice 4
L'intérêt du sujet
La programmation informatique se répand de plus en plus rapidement dans de nombreux métiers. Dans cet exercice, tu vas travailler sur un codage simple.
Nos coups de pouce, question par question
▶ 1. ▶ 2. et ▶ 3. Noircis les cases au fur et à mesure des instructions.
Exercice 5
L'intérêt du sujet
Une rénovation de salle de bains à des prix très étudiés : élaboration d'un devis détaillé.
Nos coups de pouce, question par question
Exercice 1
▶ 1. L'image de – 1 par la fonction f est f(– 1) = 3(– 1) – 7 = – 10.
L'affirmation no 1 est fausse.
▶ 2. Utilisons la propriété de double distributivité :
E = (x – 5) × (x + 1) soit E = x2 – 5x + x – 5 alors E = x2 – 4x – 5.
L'affirmation no 2 est vraie.
▶ 3. Si n = 5, alors 2n + 1 = 25 + 1 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 + 1 = 33.
Le nombre 33 n'est pas un nombre premier puisqu'il est divisible, entre autres, par 3.
L'affirmation no 3 est fausse.
▶ 4. La somme de toutes les fréquences d'apparition vaut 1.
Si on note f la fréquence d'apparition du nombre 6, on a : = 1.
Donc f = 0. La fréquence d'apparition du nombre 6 est nulle.
L'affirmation no 4 est vraie.
▶ 5. Soit un triangle RAS.
Calculons tan = ou encore RS = .
RS =
L'affirmation no 5 est vraie.
▶ 6. Soit un rectangle ABCD.
Appliquons le théorème de Pythagore au triangle ABC rectangle en B.
AC2 = AB2 + CB2 soit AC2 = 1602 + 952 = 34 625.
Alors
Conclusion : la diagonale [DB] ne mesure pas exactement 186 cm.
L'affirmation no 6 est fausse.
Exercice 2
▶ 1. On lit sur le graphique que l'athlète s'est arrêtée pour la première fois au bout de 14 minutes afin d'effectuer son premier changement d'équipement.
▶ 2. L'épreuve de natation est sur 400 m, soit 0,4 km.
Le parcours de l'épreuve de cyclisme mesure x km.
Le parcours de l'épreuve de course à pied mesure 2,5 km.
Puisque la longueur totale est de 12,9 km, nous avons l'équation : 0,4 + x + 2,5 = 12,9.
Alors x = 10.
Le parcours de l'épreuve de cyclisme mesure 10 km.
▶ 3. Nous pouvons lire sur le graphique que l'épreuve de course à pied a commencé 44 minutes après le départ de l'athlète dans ce marathon et s'est achevée 56 minutes après le départ.
L'athlète a donc effectué l'épreuve de course à pied en 12 minutes.
▶ 4. Les 3 vitesses de l'athlète durant les 3 épreuves sont les coefficients directeurs (ou encore les pentes) des 3 droites correspondantes.
La pente la plus faible est celle de l'épreuve no 1.
Conclusion : l'épreuve la moins rapide est la natation.
▶ 5. L'athlète a parcouru 12,9 km en 56 minutes (lecture graphique) ou encore heure.
Appliquons la relation v = où d est la distance parcourue, t le temps mis pour la parcourir et v la vitesse moyenne réalisée.
v = = 12,9 × soit v = 13,8 km/h.
Conclusion : la vitesse moyenne sur le triathlon est de 13,8 km. Elle n'est pas supérieure à 14 km/h.
Exercice 3
▶ 1. Le carré ② et le carré ⑧ sont images l'un de l'autre par la symétrie axiale d'axe (DB).
En effet, ces deux carrés peuvent se superposer par pliage le long de la droite (DB).
▶ 2. Le carré ③ n'est pas l'image du carré ⑧ par la symétrie centrale de centre O. En effet les centres de ces deux carrés ne sont pas alignés avec le point O.
▶ 3. L'image du carré ⑧ par cette rotation est le carré ①.
conseil
Pour cet exercice, utilise des outils adéquats et construis une figure soignée.
▶ 4. Les images des points E et F par la rotation indiquée sont les points H et I.
L'image du segment [EF] est le segment [HI].
Exercice 4
▶ 1. Motif correspondant aux instructions AB :
▶ 2. Ce sont les propositions 2 et 4 qui permettent d'obtenir le dessin.
▶ 3. La suite d'instructions ABE permet d'obtenir le dessin demandé.
Exercice 5
▶ 1. On calcule la surface des murs à recouvrir de papier peint en quatre étapes.
Aire des deux murs carrés :
A1 = 2 × (2,5 × 2,5), soit A1 = 12,5 m2.
Aire du mur rectangulaire sans compter l'aire de la porte :
A2 = (2,5 × 3,5) – (2,1 × 0,8), soit A2 = 7,07 m2.
Aire du mur rectangulaire sans compter l'aire de la fenêtre :
A3 = (2,5 × 3,5) – (1,6 × 1,2), soit A3 = 6,83 m2.
Surface A à recouvrir de papier peint :
A = 12,5 + 7,07 + 6,83 ou encore .
▶ 2. Calcul du prix de 1 m2 de papier peint.
1 rouleau de papier peint coûte 16,95 € et avec 1 rouleau on recouvre 5,3 m2.
Donc 1 m2 de papier peint coûte soit environ 3,20 €, valeur arrondie au centime d'euro.
▶ 3. Calcul du coût de la rénovation
Papier peint :
Il faut , soit 4,98 rouleaux. Mais le nombre de rouleaux vendus est un entier, et le vendeur conseille l'achat d'un rouleau supplémentaire. Cela implique l'achat de 6 rouleaux à 16,95 € l'unité, soit 101,70 €.
Colle :
Il convient d'ajouter 2 pots de colle à 5,70 € l'unité, soit 11,40 €.
Coût total : C = 101,70 + 11,40 = .
attention !
Dans cet exercice, fais attention aux unités et aux arrondis demandés.
▶ 4. Une remise de 8 % sur 113,10 € correspond à une remise de × 113,10 soit 9,05 €.
Conclusion : le prix à payer pour la rénovation est de 113,1 – 9,05 soit .