Troisième Mathématiques Sujets complets

Amérique du Nord • Juin 2023

Sprint final

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Amérique du Nord • Juin 2023

Sujet du brevet d’Amérique du Nord 2023

2 heures

100 points

Exercice 1 • Cinq questions variées (20 points)

Les 5 questions sont indépendantes.

▶ 1. Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre 780.

Aucune justification n’est attendue.

▶ 2. On rappelle qu’un jeu de 32 cartes est composé de quatre familles (trèfle, carreau, cœur, pique).

Chaque famille est composée de huit cartes : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi et as.

L’expérience aléatoire consiste à tirer une carte au hasard dans ce jeu de 32 cartes.

a) Quelle est la probabilité d’obtenir le 8 de pique ?

Aucune justification n’est attendue.

b) Quelle est la probabilité d’obtenir un roi ou un cœur ?

Aucune justification n’est attendue.

▶ 3. Développer et réduire l’expression A.

A = (2x + 5)(3x − 4)

▶ 4. a) Quel est le volume, en cm³, du prisme droit ci-dessous ?

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b) Convertir ce résultat en litres.

Rappel : 1 L = 1 dm³.

▶ 5. Le polygone 2 est un agrandissement du polygone 1.

Le coefficient de cet agrandissement est 3.

L’aire du polygone 1 est égale à 11 cm².

Quelle est l’aire du polygone 2 ?

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Exercice 2 • Des triangles emboîtés (22 points)

On considère la figure ci-dessous.

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On donne les mesures suivantes :

AN = 13 cm

LN = 5 cm

AL = 12 cm

ON = 3 cm

O appartient au segment [LN]

H appartient au segment [NA]

Cette figure n’est pas à l’échelle.

▶ 1. Montrer que le triangle LNA est rectangle en L.

▶ 2. Montrer que la longueur OH est égale à 7,2 cm.

▶ 3. Calculer la mesure de l’angle $\hat{LNA}$ . Donner une valeur approchée à l’unité près.

▶ 4. Pourquoi les triangles LNA et ONH sont-ils semblables ?

▶ 5. a) Quelle est l’aire du quadrilatère LOHA ?

b) Quelle proportion de l’aire du triangle LNA représente l’aire du quadrilatère LOHA ?

Exercice 3 • Fréquentation d’un site touristique (20 points)

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A • Évolution du nombre de visiteurs sur un site touristique

▶ 1. Le diagramme ci-dessous représente le nombre de visiteurs par an de 2010 à 2021 sur ce site.

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a) Quel a été le nombre de visiteurs en 2010 ?

Aucune justification n’est attendue.

b) En quelle année le nombre de visiteurs a-t-il été le plus élevé ?

Aucune justification n’est attendue.

▶ 2. Le tableau ci-dessous indique le nombre de visiteurs sur le site touristique de cette ville en 2020 et en 2021 :

Tableau de 2 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Année; 2020; 2021; Ligne 2 : Nombre de visiteurs; 187 216; 219 042;

Le maire de cette ville avait pour objectif que le nombre de visiteurs progresse d’au moins 15 % entre 2020 et 2021.

L’objectif a-t-il été atteint ?

Partie B • Étude des prix des hôtels de cette ville

Sur une période donnée, on relève les prix facturés pour une nuit par les hôtels de cette ville.

Tableau de 2 lignes, 9 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Prix facturés pour une nuit (en euros); 60; 80; 85; 90; 110; 120; 350; 500; Ligne 2 : Effectif; 1 200; 1 350; 1 000; 1 100; 1 200; 1 300; 900; 300;

▶ 3. Déterminer l’étendue des prix facturés.

▶ 4. Quelle est la moyenne des prix facturés pour une nuit ? Arrondir à l’euro près.

▶ 5. L’association des hôteliers de cette ville cherche à attirer des touristes et annonce : « Dans les hôtels de notre ville, au moins la moitié des nuits est facturée à moins de 100 €. » Est-ce vrai ?

Exercice 4 • Dessine-moi une fleur (20 points)

À l’aide d’un logiciel de programmation, on veut réaliser le motif « Fleur » ci-dessous.

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▶ 1. a) Le parallélogramme KLMN ci-dessous représente un des pétales du motif « Fleur ».

Construire ce parallélogramme sur la copie en prenant 1 cm pour 5 pas.

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b) On définit le bloc « Pétale » ci-dessous afin de dessiner ce parallélogramme.

Bloc « Pétale »

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On commence la construction du parallélogramme au point K en s’orientant vers la droite.

Par quelles valeurs doit-on compléter les lignes 4, 5, 6, et 7 du bloc « Pétale » ci-dessous ?

Aucune justification n’est attendue. Écrire sur la copie le numéro de la ligne et la valeur correspondante.

▶ 2. Le bloc ci-dessous permet de construire un motif « Fleur » en partant de son centre.

Bloc « Fleur »

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a) Par quelle valeur doit-on compléter la ligne 2 du bloc « Fleur » ci-dessus ?

Aucune justification n’est attendue.

b) Expliquer le choix de la valeur « 72 » dans la ligne 4.

c) On modifie le bloc « Fleur » pour construire le motif suivant :

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Quelles sont alors les modifications à apporter aux lignes 2 et 4 du bloc « Fleur » ?

Aucune justification n’est attendue.

Exercice 5 • Course de vitesse (18 points)

Un hippodrome est un lieu où se déroulent des courses de chevaux.

On s’intéresse à la piste d’un hippodrome.

Cette piste est composée de :

deux lignes droites modélisées par des segments de 850 mètres ;

deux virages modélisés par deux demi-cercles de rayon 40 mètres.

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Schéma de la piste de cet hippodrome

▶ 1. Montrer que la longueur d’un tour de piste est d’environ 1 951 m.

▶ 2. Un cheval parcourt un tour de piste en 2 min 9 s.

a) Calculer la vitesse moyenne de ce cheval sur un tour de piste en mètres par seconde (m/s). Donner une valeur approchée à l’unité près.

b) Convertir cette vitesse en kilomètres par heure (km/h).

▶ 3. On admet que la surface de la piste a une aire d’environ 73 027 m².

On souhaite semer du gazon sur la totalité de la surface de la piste.

On doit choisir des sacs de gazon à semer parmi les trois marques ci-dessous :

Tableau de 4 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 4 lignes ;Ligne 1 : ; Surface couverte par sac; Prix d’un sac; Ligne 2 : Marque A; 500 m2; 141,95 €; Ligne 3 : Marque B; 400 m2; 87,90 €; Ligne 4 : Marque C; 300 m2; 66,50 €;

Quelle marque doit-on choisir pour que cela coûte le moins cher possible ?

Les clés du sujet

Exercice 1

L’intérêt du sujet

Cet exercice passe en revue de nombreuses leçons fondamentales du socle commun en collège.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 5 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 5 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers; Regarde si ton nombre est divisible par les nombres premiers successifs : 2 ; 3 ; 5 ; 7…; Ligne 2 : ▶ 2. Calculer une probabilité; Compte le nombre de cas favorables à chaque situation.; Ligne 3 : ▶ 3. Utiliser la distributivité; Utilise la formule de distributivité double.; Ligne 4 : ▶ 4. Calculer et convertir le volume d’un prisme; Utilise la formule Vprisme droit = aire base × hauteur.Convertis le volume en dm3 et utilise le rappel.; Ligne 5 : ▶ 5. Calculer une aire lors d’un agrandissement; Par combien les aires sont-elles multipliées lors d’un agrandissement ?;

Exercice 2

L’intérêt du sujet

Révise les théorèmes fondamentaux de géométrie de collège avec cet exercice.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 5 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 5 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore; Regarde si l’égalité de Pythagore est vérifiée.; Ligne 2 : ▶ 2. Appliquer le théorème de Thalès; Que peux-tu dire des droites (LA) et (OH) ?; Ligne 3 : ▶ 3. Calculer un angle; Utilise le cosinus, le sinus ou la tangente de l’angle ANL^.; Ligne 4 : ▶ 4. Reconnaître des triangles semblables; Trouve une propriété sur les angles.; Ligne 5 : ▶ 5. a) Calculer une aire; Calcule l’aire demandée par soustraction de deux aires facilement calculables.;

Exercice 3

L’intérêt du sujet

Cet exercice permet de réviser les principaux indicateurs d’étude de séries statistiques

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 3 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : ▶ 2. Déterminer un pourcentage; Regarde la hausse du nombre de visiteurs entre les deux années.; Ligne 2 : ▶ 3. Calculer une étendue; Soustrais la plus petite valeur à la plus grande.; Ligne 3 : ▶ 5. Calculer une médiane; Calcule les effectifs cumulés croissants pour trouver la médiane.;

Exercice 4

L’intérêt du sujet

Trace des figures complexes avec le logiciel Scratch.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 3 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. a) Reproduire une figure; Un parallélogramme a ses côtés opposés de même longueur et parallèles.; Ligne 2 : b) Compléter un programme Scratch; Attention aux valeurs des angles de rotation : ils dépendent de l’orientation au moment de tourner !; Ligne 3 : ▶ 2. Comprendre un tracé; Observe le nombre de pétales tracés et calcule l’angle de rotation entre chacun.;

Exercice 5

L’intérêt du sujet

Cet exercice permet, sur une situation géométrique, de réinvestir des notions de périmètres et de vitesses.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 4 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 4 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Calculer un périmètre; Remarque que les deux parties semi-circulaires forment ensemble un cercle de rayon 40 m.; Ligne 2 : ▶ 2. a) Calculer une vitesse; Convertis la durée citée en secondes.; Ligne 3 : b) Convertir une vitesse; Convertis les distances puis pense qu’il y a 3 600 s dans une heure.; Ligne 4 : ▶ 3. Comparer des situations; Dans chaque cas, calcule le nombre de sacs nécessaires, puis le prix à payer.;

Exercice 1

▶ 1.

Tableau de 6 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 6 lignes ;Ligne 1 : 780; 2; Ligne 2 : 390; 2; Ligne 3 : 195; 3; Ligne 4 : 65; 5; Ligne 5 : 13; 13; Ligne 6 : 1; ;

Donc 780 = 2² × 3 × 5 × 13.

▶ 2. a) p(« 8 de pique ») = $\frac{1}{32}$ car il n’y a qu’un 8 de pique parmi les 32 cartes du jeu.

b) p(« un roi ou un cœur ») = $\frac{11}{32}$ car il y a 8 cœurs et 3 rois qui ne sont pas des cœurs.

▶ 3. En utilisant la formule de distributivité double, on obtient :

A = (2x + 5)(3x – 4) = 6x² – 8x + 15x – 20 = 6x² + 7x – 20.

▶ 4. a) V_{prisme droit}=aire base × hauteur

= $\frac{60 \times 80}{2}$ × 120

= 288 000 cm³.

rappel

1 L = 1 dm³.

b) 288 000 cm³ = 288 dm³ = 288 L.

▶ 5. On note k le coefficient d’agrandissement.

On a alors : Aire_{polygone 2} = k² × Aire_{polygone 1}.

Aire_{polygone 2} = 3² × 11 = 99 cm².

Exercice 2

▶ 1. [AN] est le plus grand côté du triangle LNA.

D’une part AN² = 13² = 169.

D’autre part AL² + LN² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169.

Donc AN² = AL² + LN².

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, LNA est rectangle en L.

▶ 2. Les droites (LO) et (AH) sont sécantes en N.

Les droites (HO) et (AL) sont parallèles car si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles.

Donc d’après le théorème de Thalès, on a :

$\frac{NH}{NA} = \frac{NO}{NL} = \frac{HO}{AL}$ , soit $\frac{NH}{13} = \frac{3}{5} = \frac{HO}{12}$ .

Donc d’après le produit en croix, on a HO = $\frac{3 \times 12}{5} = 7,2 cm$ .

▶ 3. Le triangle LNA est rectangle en L.

$Cos (\hat{ANL}) = \frac{côté adjacent à \hat{N}}{hypoténuse} = \frac{NL}{NA} = \frac{5}{13}$

Donc $\hat{ANL} = \arccos (\frac{5}{13}) \approx 67 °$ .

▶ 4. Les triangles NHO et LNA sont semblables car ils ont deux angles égaux :

$\hat{ALN} = \hat{HON} = 90 °$ et $\hat{ANL} = \hat{HON}$ .

▶ 5. a) $\begin{matrix} {Aire}_{LOHA} = {Aire}_{ALN} - {Aire}_{HON} \\ = \frac{12 \times 5}{2} - \frac{7,2 \times 3}{2} \\ = 30 - 10,8 \end{matrix}$

= 19,2 cm².

autre méthode

Utilise la formule donnant l’aire d’un trapèze.

b) $\frac{Aire LOHA}{Aire LNA} = \frac{19,2}{30} = 64 %$

L’aire de LOHA représente 64 % de l’aire de LNA.

Exercice 3

Partie A

▶ 1. a) En 2010, il y a eu 300 000 visiteurs.

b) C’est en 2019 qu’il y a eu le plus de visiteurs.

▶ 2. Le pourcentage de hausse du nombre de visiteurs entre 2020 et 2021 est :

$\frac{nombre de visiteurs en plus entre 2020 et 2021}{nombre de visiteurs en 2020} \times 100$ .

Il vaut : $\frac{(219 042 - 187 216)}{187 216} \times 100 = 17$ .

Puisque 17 % > 15 %, l’objectif est atteint.

Partie B

▶ 3. Étendue = plus grande valeur – plus petite valeur

= 500 – 60 = 440.

▶ 4. On calcule la moyenne pondérée des prix :

$\frac{\begin{matrix} 60 \times 1200 + 80 \times 1350 + 85 \times 1000 + 90 \times 1100 + 110 \times 1200 \\ + 120 \times 1300 + 350 \times 900 + 500 \times 300 \end{matrix}}{1200 + 1350 + 1000 + 1100 + 1200 + 1300 + 900 + 300} \approx$ 134 €.

▶ 5. Il s’agit de calculer la médiane de cette série. Pour cela, calculons les effectifs cumulés croissants.

Tableau de 3 lignes, 9 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : Prix facturés pour une nuit (en euros); 60; 80; 85; 90; 110; 120; 350; 500; Ligne 2 : Effectif; 1 200; 1 350; 1 000; 1 100; 1 200; 1 300; 900; 300; Ligne 3 : Effectifs cumulés croissants; 1 200; 2 550; 3 550; 4 650; 5 850; 7 150; 8 050; 8 350;

$\frac{8 350}{2} = 4 175$

On cherche alors à quelle catégorie de prix appartient la 4 175^e valeur dans l’ordre croissant. Ici, c’est 90 €. Donc la moitié des nuits est facturée à moins de 90 €.

L’assertion est vraie.

Exercice 4

▶ 1. a) 35 pas = 7 cm et 20 pas = 4 cm.

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▶ 2. a) On doit compléter la ligne 2 par la valeur 5 car il y a 5 pétales tracés.

b) Un tour complet correspond à un angle de 360°. Donc chaque pétale tourne de $\frac{360 °}{5}$ = 72°.

c) À la ligne 2, il faut maintenant compléter par 12 car il y a 12 pétales.

À la ligne 4, il faut maintenant compléter par 30 car $\frac{360}{12}$ = 30.

Exercice 5

rappel

Périmètre d’un cercle = π × diamètre.

▶ 1. Un tour de piste est composé de deux segments de 850 m chacun et d’une partie circulaire de rayon 40 m donc de diamètre 80 m.

Longueur d’un tour de piste = $2 \times 850 + π \times 80 \approx$ 1 951 m.

▶ 2. a) Un cheval parcourt 1 tour de piste en 2 min 9 s, soit 129 s.

Vitesse moyenne du cheval (en m/s) = $\frac{distance (en m)}{temps (en s)} = \frac{1 951}{129} \approx$ 15 m/s.

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Le cheval a donc une vitesse de 54 km/h.

▶ 3. Avec la marque A :

$\frac{73 027}{500} \approx 146,1$ , il faut donc acheter 147 sacs ; cela coûterait 147 × 141,95 = 20 866,65 €.

Avec la marque B :

$\frac{73 027}{400} \approx 182,6$ , il faut donc acheter 183 sacs ; cela coûterait 183 × 87,90 = 16 085,70 €.

Avec la marque C :

$\frac{73 027}{300} \approx 243,4$ , il faut donc acheter 244 sacs ; cela coûterait 244 × 66,5 = 16 226 €.

Il vaut donc mieux choisir la marque B.

Sujet du brevet d'Amérique du Nord 2023

Exercice 1 • Cinq questions variées (20 points)

Exercice 2 • Des triangles emboîtés (22 points)

Exercice 3 • Fréquentation d’un site touristique (20 points)

Partie A • Évolution du nombre de visiteurs sur un site touristique

Partie B • Étude des prix des hôtels de cette ville

Exercice 4 • Dessine-moi une fleur (20 points)

Bloc « Pétale »

Bloc « Fleur »

Exercice 5 • Course de vitesse (18 points)

Schéma de la piste de cet hippodrome

Les clés du sujet

Exercice 1

L’intérêt du sujet

Nos coups de pouce, question par question

Exercice 2

L’intérêt du sujet

Nos coups de pouce, question par question

Exercice 3

L’intérêt du sujet

Nos coups de pouce, question par question

Exercice 4

L’intérêt du sujet

Nos coups de pouce, question par question

Exercice 5

L’intérêt du sujet

Nos coups de pouce, question par question

Exercice 1

rappel

Exercice 2

autre méthode

Exercice 3

Partie A

Partie B

Exercice 4

Exercice 5

rappel

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