Exercice 1

▶ 1. La moyenne des prix est égale à : $\frac{12+15+10+7+13}{5}=\mathrm{11,40} €$, donc l’affirmation A est vraie. Pour calculer la médiane d’une série de valeurs, il faut d’abord les ordonner : 7 < 10 < 12 < 13 < 15. L’effectif total est 5, donc la médiane est la 3^e valeur : elle vaut 12. L’affirmation B est fausse.

▶ 2. Cette élève court 20 m en 6 s. Donc, en 1 s, elle court en moyenne $\frac{20}{6}\text{ m}$. Alors, en 1 h, elle court en moyenne la distance $\frac{20}{6}\text{ m}\times 3600=12\text{000}\text{m}=\text{12}\text{km}$.

Sa vitesse moyenne est de 12 km/h. L’affirmation C est fausse.

▶ 3. Les nombres premiers compris entre 1 et 15 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13.

Il y a donc 6 nombres premiers parmi les 15 premiers entiers supérieurs à 0, donc la probabilité de tirer un nombre premier vaut $\frac{6}{15}$. L’affirmation D est fausse.

▶ 4. Le rapport d’homothétie est égal à −3 donc cela signifie que les longueurs de ABC sont multipliées par 3 pour obtenir celles de A′B′C′. Si les longueurs de ABC sont multipliées par 3, alors l’aire de ABC est multipliée par 3² = 9. L’affirmation E est fausse.

Exercice 2

▶ 1. Partie gauche du diagramme : 2 → 2 + 2 = 4 → 4 × 4 = 16.

Partie droite du diagramme : 2 → 2 × 5 = 10 → 10 − 3 = 7.

Résultat = 16 × 7 = 112.

Si on choisit 2 comme nombre de départ, on obtient 112 à l’arrivée.

▶ 2. Partie gauche du diagramme : −3 → −3 + 2 = −1 → −1 × 4 = −4.

Partie droite du diagramme : −3 → −3 × 5 = −15 → −15 − 3 = −18.

Résultat = −4 × (−18) = 72.

Si on choisit −3 comme nombre de départ, on obtient 72 à l’arrivée.

▶ 3. Si on choisit x comme nombre de départ, on obtient l’expression D comme résultat.

Mais si on développe$\text{ 4}\times (x+2)$, on obtient 4x + 8. L’expression C représente donc aussi le résultat.

▶ 4. Vouloir obtenir 0 comme résultat à l’arrivée de ce programme revient à résoudre C = 0 (ou D = 0), c’est-à-dire résoudre l’équation produit $(4x+8)(5x-3)=0$.

On utilise la propriété : un produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On en déduit que :

Conclusion : le résultat obtenu à l’arrivée vaut 0 si le nombre de départ vaut −2 ou 0,6.

▶ 5. $B=(4x+2)(5x-3)=4x\times 5x+4x\times (-3)+2\times 5x+2\times (-3)$

$B=20x^2$ $-12x+10x$ − 6

$B=20x^2-2x-6$.

Exercice 3

▶ 1. Avec le tarif « Classique », chaque entrée coûte 11 €. Donc 3 entrées coûtent 3 fois plus cher, c’est-à-dire 3 × 11 = 33 €.

▶ 2. Avec le tarif « Essentiel », la personne va d’abord payer l’abonnement annuel 50 €, puis à chaque entrée, elle payera 5 €. Donc, si elle achète 8 places dans l’année, le prix payé sera de 50 + 8 × 5 = 90 €.

▶ 3. • Le tarif « Liberté » ne dépend pas du nombre de places achetées, il correspond donc à une fonction constante : c’est la fonction g.

Avec le tarif « Classique », pour x entrées achetées, la personne paye 11 × x €. Le tarif « Classique » correspond donc à la fonction h.

Avec le tarif « Essentiel », pour x entrées achetées, la personne paye un abonnement de 50 €, puis 5 × x €. Le tarif « Essentiel » correspond donc à la fonction f.

▶ 4. Le « prix à payer » est proportionnel au « nombre d’entrées » lorsque les points de coordonnées (nombre d’entrée ; prix à payer) sont alignés avec l’origine du repère. C’est le cas avec la droite (d₁), c’est-à-dire avec le tarif « Classique ».

▶ 5. a) On trace sur le graphique la droite horizontale d’ordonnée 150 (en bleu). Elle coupe la droite (d₂) en un point d’abscisse 20.

Avec 150 €, on peut acheter au maximum 20 places avec le tarif « Essentiel ».

b) Le tarif « Liberté » devient le plus intéressant quand (d₃) (en vert) est « en dessous » des droites (d₂) et (d₁) à partir d’un nombre d’entrées. (d₃) est en dessous de (d₁) à partir de 22 entrées et (d₃) est en dessous de (d₂) à partir de 38 entrées.

Donc le tarif « Liberté » devient le plus intéressant à partir de 38 entrées.

c) Il suffit de lire sur le graphique les antécédents de 200 (en rouge) par ces trois fonctions :

sur la droite (d₁), le tarif « Classique », l’antécédent de 200 vaut environ 18 ;

sur la droite (d₂), le tarif « Essentiel », l’antécédent de 200 vaut 30 ;

sur la droite (d₃), le tarif « Liberté », il n’y a pas d’antécédent de 200 (les deux droites ne se coupent pas).

Donc, si on décide de ne pas dépasser un budget de 200 €, il vaut mieux choisir le tarif « Essentiel ».

Exercice 4

▶ 1. EFGH est un rectangle donc EF = HG = 6 m et EH = GF = 3 m. Comme le point F appartient à [EJ], on en déduit que :

FJ = EJ − EF = 10 − 6 = 4 m.

▶ 2. Il faut calculer le périmètre du quadrilatère EJGH :

Périmètre(EJGH) = EJ + JG + GH + HE = 10 + JG + 6 + 3 = 19 + JG.

Calcul de JG :

GFJ est un triangle rectangle en F, on peut utiliser le théorème de Pythagore : JG² = JF² + FG² = 4² + 3² = 25.

Comme JG est une longueur, JG est positive. On obtient

JG = $\sqrt[]{25}=5$m.

Calcul du périmètre :

Périmètre(EJGH) = 19 + JG = 19 + 5 = 24 m.

Ils doivent acheter au moins 24 mètres de planches.

▶ 3. a) La terrasse est un prisme dont l’aire de la base est égale à la somme des aires de EFGH et de GFJ.

Aire(EFGH) = Longueur × largeur = 3 × 6 = 18 m².

Aire(GFJ) = $\frac{\text{base}\times \text{hauteur}}{2}=\frac{\text{4}\times \text{3}}{2}=6$ m².

Donc Aire(base du prisme) = 18 + 6 = 24 m².

L’épaisseur de la terrasse est de 15 cm, c’est-à-dire 0,15 m.

Volume(terrasse) = 24 × 0,15 = 3,6 m³, et 3,6 < 4.

Le volume de la terrasse est bien inférieur à 4 m³.

b) Pour faire 1 m³ de béton, il faut 250 kg de ciment. Donc, pour faire 4 m³, il faudra 4 fois plus de ciment, c’est-à-dire 4 × 250 = 1 000 kg.

c) Pour faire du béton, il faut mélanger 2 masses m de ciment avec 7 masses m de graviers et 5 masses m de sable.

Pour faire 4 m³ de béton, M. et Mme Martin ont besoin de 1 000 kg de ciment.

Donc m = 1 000 ÷ 2 = 500 kg.

On en déduit que :

la masse de graviers vaut 7 × 500 kg = 3 500 kg ;

la masse de sable est de 5 × 500 kg = 2 500 kg.

▶ 4.

D’après la question 3. a), la surface à peindre de la terrasse mesure 24 m². Comme deux couches de peinture sont nécessaires, Mme et M. Martin vont peindre au total 48 m².

D’après le document 3, 1 L de peinture permet de peindre 5 m², on calcule donc $\frac{48}{5}=\mathrm{9,6}$.

Il faut donc 9,6 L de peinture précisément.

Comme les pots ont une contenance de 5 L ou 10 L, il faut acheter 10 L de peinture.

Deux possibilités s’offrent à Mme et M. Martin : 1 pot B de 10 L à 129,90 € ou 2 pots A de 5 L à 79,90 € l’unité.

D’après le document 2, le deuxième pot est à moitié prix.

Prix de 2 pots A avec l’offre du mois : $\mathrm{79,90} €+\frac{\mathrm{79,90} €}{2}=\mathrm{119,85} €$, et 119,85 < 129,90.

Mme et M. Martin doivent acheter 2 pots A de 5 L pour effectuer ces travaux avec un coût minimum. Cela leur coûtera 119,85 €.

Exercice 5

Partie A

▶ 1. Dans le triangle ABC, on sait que $\widehat{\text{CAB}}=\widehat{\text{CBA}}=60°$. Calculons le dernier angle de ce triangle.

On utilise la propriété : « La somme des angles d’un triangle mesure 180°. » Donc :

$\widehat{\text{ACB}}=180°–\widehat{\text{CAB}}-\widehat{\text{CBA}}=180°-60°-60°=60°$.

Les trois angles du triangle ABC sont tous égaux à 60° : c’est donc un triangle équilatéral.

▶ 2. Le triangle DEC a 3 côtés égaux, donc il est équilatéral. On en déduit que $\widehat{\text{DEC}}=60°$.

E, C et A sont alignés, donc (AE) est la sécante commune à (DE) et (AB).

Les angles $\widehat{\text{DEC}}$ et $\widehat{\text{CAB}}$ sont alternes internes et tous les deux égaux à 60°.

On en déduit que (DE) est parallèle à (AB).

Partie B

▶ 1. Les coordonnées du point de départ du lutin sont écrites en ligne 2 : (−180 ; −150).

▶ 2. La ligne 4 définit la valeur initiale de la variable « côté », c’est-à-dire la valeur de la longueur AB. Comme 1 pas correspond à 1 mm, alors il faut saisir la valeur 240 en ligne 4.

▶ 3. Le lutin démarre en D8 (le point A sur le schéma).

À la fin de la ligne 5, le lutin a dessiné le triangle ABC de côté 240 pas. Il est donc à nouveau en D8 et est prêt à se diriger horizontalement vers la droite.

La ligne 6 ordonne au lutin de tourner de 60° dans le sens anti-horaire : il est prêt à se déplacer sur la demi-droite [AC).

La ligne 7 lui ordonne de se déplacer de 240 pas : il se retrouve au point C.

Le lutin se trouve en G3 lorsqu’il vient d’exécuter la ligne 7 du programme.

▶ 4. Le but des lignes 8 et 9 est de tracer le triangle CED, dont les côtés mesurent 80 pas.

En ligne 7, la variable « côté » est égale à 240 pas.

En plaçant dans le programme en ligne 8, la valeur de la variable « côté » passe à 240 ÷ 3 = 80 pas, ce qui permet de tracer le petit triangle.