Exercice 1

▶ 1. Dans cette urne, les boules sont indiscernables au toucher. Cela signifie que, dans cette expérience aléatoire, chaque boule a la même probabilité d’être tirée qu’une autre. Sur les 40 boules de l’urne, 20 sont vertes, donc $P\left(\text{« tirer boule verte »}\right)=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$.

▶ 2.

On en déduit que la décomposition en facteurs premiers de 1 050 est $2\times 3\times 5\times 5\times 7$.

▶ 3. Augmenter le prix d’un article de 14 % revient à le multiplier par $1+\frac{14}{100}=\mathrm{1,14}$.

25 × 1,14 = 28,5

Le nouveau prix de cet article est de 28,50 €.

▶ 4. Le polygone 2 est un agrandissement du polygone 1 de rapport 2,5.

Donc l’aire du polygone 2 est égale au produit de l’aire du polygone 1 par 2,5².

$\mathrm{7,5}\times {\mathrm{2,5}}^2=\mathrm{46,875}$.

L’aire du polygone 2 vaut 46,875 cm².

▶ 5. a) Effectif total = 2 + 4 + 2 + 5 + 2 + 4 + 6 + 5 = 30

Il y a 30 élèves dans cette classe.

$\begin{array}{c}\text{Taille moyenne}\\ =\frac{\text{152}\times 2+157\times 4+160\times 2+\dots +170\times 4+174\times 6+180\times 5}{30}\\ =\mathrm{167,2}\end{array}$

La taille moyenne d’un élève de cette classe est de 167,2 cm.

b) Si les valeurs d’une série sont rangées dans l’ordre croissant, la médiane est un nombre qui partage cette série en deux sous-séries de même effectif.

30 ÷ 2 = 15

Chaque sous-série aura 15 valeurs.

La médiane est donc située entre la 15^e et la 16^e valeur.

Calculons la ligne des effectifs cumulés croissants (ECC).

On en déduit que :

la valeur maximale des 15 premières valeurs est 165 cm ;

la valeur minimale des 15 dernières valeurs est 170 cm.

La taille médiane est donc une taille comprise entre 165 et 170 cm, on peut choisir la moyenne de ces deux valeurs, soit 167,5 cm.

Exercice 2

▶ 1. Le triangle ABC est rectangle en B, donc on peut utiliser le théorème de Pythagore :

AC² = AB² + BC²

50² = AB² + 30²

2 500 = AB² + 900

Donc AB² = 2 500 − 900 = 1 600

AB = $\sqrt[]{1600}$ = 40 m.

▶ 2. Les droites (DE) et (BC) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (EB) donc les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

▶ 3. Dans les triangles ADE et ACB, on a :

D, A et C sont alignés ;

E, A et B sont alignés ;

(DE) parallèle à (BC) (voir question 2).

On peut utiliser le théorème de Thalès, on a :

$\frac{\text{AB}}{\text{AE}}=\frac{\text{AC}}{\text{AD}}=\frac{\text{BC}}{\text{DE}}$

$\frac{40}{\text{AE}}=\frac{50}{70}=\frac{30}{\text{DE}}$

D’après les produits en croix, on a $\text{DE}=\frac{70\times 30}{50}=42\text{m}$.

▶ 4. Le triangle MED est rectangle en E, tel que DE = 42 m et $\widehat{\text{EMD}}=60\text{°}$.

Le côté [DE] est opposé à l’angle $\widehat{\text{EMD}}$ et [EM] est le côté adjacent à $\widehat{\text{EMD}}$.

On peut donc utiliser la formule de la tangente pour calculer EM :

$\tan \left(\widehat{\text{EMD}}\right)=\frac{\text{DE}}{\text{EM}}$

$\tan \left(60\text{°}\right)=\frac{42}{\text{EM}}$

$\text{EM}=\frac{42}{\tan \left(60\text{°}\right)}\approx \mathrm{24,248}\text{ m}$

On en déduit que l’arrondi au dixième de la longueur EM est bien égal à 24,2 m.

▶ 5. L’aire du triangle ADM est égale à $\frac{\text{AM} \times \text{DE}}{2}=\frac{\text{AM} \times \text{ 42}}{2}=21\times \text{AM}$.

Pour calculer la valeur de AM, il faut calculer celle de AE.

D’après la question 3, on a $\frac{40}{\text{AE}}=\frac{50}{70}$, donc $\text{AE}=\frac{\text{70 }\times \text{ 40}}{50}=56\text{ m}$.

Calcul de AM : comme le point M appartient à [AE], alors AM = AE − EM ≈ 56 − 24,2 = 31,8 m.

On en déduit que l’aire du triangle ADM est environ égale à 21 × 31,8 = 667,8 m².

Exercice 3

▶ 1. Lorsque le nombre choisi est 4, on a :

4 → 4 × 3 = 12 → 12 + 15 = 27 → 27 ÷ 3 = 9 → 9 − 4 = 5

Lorsque le nombre choisi est 4, on obtient bien 5 avec le programme A.

▶ 2. Lorsque le nombre choisi est −2, on a :

−2 → −2 × 3 = −6 → −6 + 15 = 9 → 9 ÷ 3 = 3 → 3 − (−2) = 5

Lorsque le nombre choisi est −2, on obtient bien 5 avec le programme A.

▶ 3. Pour prouver ce résultat, on représente le nombre de départ par la variable x et on applique le programme A à ce nombre :

x → x × 3 = 3x → 3x + 15 → (3x + 15) ÷ 3 → (3x + 15) ÷ 3 − x

L’expression du programme A en fonction de x est (3x + 15) ÷ 3 − x

Pour répondre à cette question, il faut développer et réduire cette expression :

(3x + 15) ÷ 3 − x = 3x ÷ 3 + 15 ÷ 3 − x = x + 5 − x = 5

Le programme A est toujours égal à 5, donc l’affirmation est vraie.

▶ 4. Lorsque le nombre choisi est 10, avec le programme B on obtient :

On obtient 41 avec le programme B.

▶ 5. Pour trouver ces deux nombres, il est conseillé de mettre le problème en équation. Notons x la valeur du nombre de départ tel que Programme A = Programme B.

Détermination de l’expression du programme B en fonction de x :

Programme B = (x − 1)(x − 6) + 5

Mise en équation du problème :

On cherche x tel que :

Programme A = Programme B

5 = (x − 1)(x − 6) + 5

0 = (x − 1)(x − 6)

C’est une équation produit. Pour la résoudre, on utilise la propriété :

« Si un produit de facteurs est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul ».

(x − 1)(x − 6) = 0

x − 1 = 0 ou x − 6 = 0

x = 1 ou x = 6

Ces deux programmes donnent le même résultat lorsque le nombre de départ est égal à 1 ou à 6.

Exercice 4

▶ 1. La représentation graphique de la distance parcourue par Malo en fonction du temps écoulé n’est pas une droite passant par l’origine, donc ces deux grandeurs ne sont pas proportionnelles.

▶ 2. La distance parcourue par Malo au bout de 20 minutes est d’environ 4,5 km (tracé rouge sur le graphique ci-dessous).

▶ 3. Pour faire les 9 premiers kilomètres, Malo a mis environ 50 minutes (tracé bleu sur le graphique précédent).

▶ 4. Par lecture graphique, Malo a mis 80 minutes pour parcourir 13,5 kilomètres.

On calcule la vitesse moyenne en km/h grâce à la formule : $v_{\text{moy}}=\frac{\text{distance parcourue}}{\text{durée du parcours}}$.

Il faut que le temps de parcours soit en heures : 80 min = $\frac{80}{60}$ h.

Donc $v_{\text{moy}}=\frac{\text{13,5 km}}{\frac{80}{60}\text{ h}}\text{=10,125 km/h}$.

L’arrondi au dixième de la vitesse moyenne de Malo sur ce trajet est 10,1 km/h.

▶ 5. a) La vitesse moyenne de Louise est supérieure à celle d’Hillal sur le même trajet, donc Louise va terminer ce parcours avant Hillal.

Louise est donc la première à passer la ligne d’arrivée.

b)

Calcul du temps mis par Louise pour courir 13,5 km.

Durée t = $\frac{60\times \mathrm{13,5}}{12}=\mathrm{67,5}$

Louise a mis 67,5 min pour parcourir les 13,5 km.

Calcul de la distance parcourue par Hillal lorsque Louise a franchi la ligne d’arrivée :

Distance d = $\frac{10\times \mathrm{67,5}}{60}=\mathrm{11,25}$

Lorsque Louise a franchi la ligne d’arrivée, Hillal avait parcouru 11,25 km.

Calcul de la distance qui sépare les deux athlètes :

13,5 − 11,25 = 2,25

Il y avait 2,25 km entre les deux athlètes lorsque Louise a franchi la ligne d’arrivée.

Exercice 5

Partie A • Les motifs

▶ 1. Dans les deux premiers scripts, les instructions contenues dans chaque boucle « répéter » permettent de construire un côté du polygone, puis de tourner d’un certain angle.

Dans le script 1, ces instructions sont répétées 3 fois, donc le polygone a 3 côtés : c’est le dessin 2.

Dans le script 2, ces instructions sont répétées 6 fois, donc le polygone a 6 côtés : c’est le dessin 1.

▶ 2. Dans le script 3, la première instruction écrite dans la boucle « répéter » permet de construire [DE].

Avant de dessiner le segment [EF], le lutin doit dévier de sa trajectoire initiale d’un angle de 180° − 60° = 120° : il s’agit de l’instruction B.

Pour dessiner le segment [EF], le lutin doit avancer de 30 pas : instruction C.

Enfin, le lutin doit dévier de sa trajectoire de 60° afin de pouvoir recommencer les mêmes instructions de cette boucle : c’est l’instruction A.

Conclusion : la partie du script effacée est instruction B, instruction C et instruction A.

Partie B • Le script principal

▶ 1. Les coordonnées du point de départ sont écrites sur la deuxième brique du script.

Les coordonnées sont donc (−200 ; 0).

▶ 2. Voici ce que le script principal de la partie 2 permet de représenter sur l’écran.

Si la variable « Motif » vaut 3, alors le lutin va représenter 6 fois les instructions suivantes : dessiner le Motif 3, puis, en partant du point de départ du Motif 3 et en s’orientant à 90°, avancer de 60 pas. Le lutin va donc dessiner sur une même droite six Motif 3 séparés de 30 pas, puis afficher le message « Voici le dessin ! ».

Si la variable « Motif » ne vaut pas 3, le message « Perdu ! » apparaît sur l’écran.

Les seules captures d’écran possibles sont les 2 et 3.

▶ 3. La valeur de la variable « Motif » est déterminée de manière aléatoire.

Cette expérience aléatoire a 3 issues : 1 ou 2 ou 3.

Le message « Voici le dessin ! » est affiché si la variable « Motif » vaut 3.

La probabilité du message « Voici le dessin ! » est donc de $\frac{1}{3}$.

▶ 4. a) Le message « Voici le dessin ! » est apparu 40 fois sur les 100 lancers, donc la fréquence de l’affichage « Voici le dessin ! » est de $\frac{40}{100}=\mathrm{0,4}$.

b) La probabilité du message « Voici le dessin ! » est de $\frac{1}{3}\approx \mathrm{0,33}$ (question B 3.) et la fréquence de ce message vaut 0,4 (question B 4. b)).

Dans une expérience aléatoire, pour que la fréquence d’apparition d’un événement corresponde à la probabilité théorique de ce même événement, il faut répéter un très grand nombre de fois cette expérience sous les mêmes conditions.

On a lancé le programme 100 fois, ce n’est pas suffisant, ce qui explique l’écart entre cette fréquence et cette probabilité.