Amérique du Nord • Juin 2022
Sprint final
71
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Amérique du Nord • Juin 2022
Sujet du brevet d’Amérique du Nord 2022
Exercice 1 • Géométrie plane 22 points
La figure ci-dessous n’est pas à l’échelle.
Les points M, A et S sont alignés.
Les points M, T et H sont alignés.
MH = 5 cm.
MS = 13 cm.
MT = 7 cm.
▶ 1. Démontrer que la longueur HS est égale à 12 cm.
▶ 2. Calculer la longueur AT.
▶ 3. Calculer la mesure de l’angle . On arrondira le résultat au degré près.
▶ 4. Parmi les transformations suivantes, quelle est celle qui permet d’obtenir le triangle MAT à partir du triangle MHS ?
Dans cette question, aucune justification n’est attendue.
▶ 5. Sachant que la longueur MT est 1,4 fois plus grande que la longueur HM, un élève affirme : « L’aire du triangle MAT est 1,4 fois plus grande que l’aire du triangle MHS. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
On rappelle que la réponse doit être justifiée.
Exercice 2 • QCM nombres et calculs 15 points
Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses est exacte.
Exercice 3 • Sport et santé 20 points
Pour être en bonne santé, il est recommandé d’avoir régulièrement une pratique physique. Une recommandation serait de faire au moins une heure de pratique physique par jour en moyenne. Sur 1,6 million d’adolescents de 11 à 17 ans interrogés, 81 % d’entre eux ne respectent pas cette recommandation.
D’après un communiqué de presse sur la santé.
▶ 1. Sur les 1,6 million d’adolescents de 11 à 17 ans interrogés, combien ne respectent pas cette recommandation ?
Après la lecture de ce communiqué, un adolescent se donne un objectif.
Objectif : « Faire au moins une heure de pratique physique par jour en moyenne. »
Pendant 14 jours consécutifs, il note dans le calendrier suivant la durée quotidienne qu’il consacre à sa pratique physique :
▶ 2. a) Quelle est l’étendue des 14 durées quotidiennes notées dans le calendrier ?
b) Donner une médiane de ces 14 durées quotidiennes.
▶ 3. a) Montrer que, sur les 14 premiers jours, cet adolescent n’a pas atteint son objectif.
b) Pendant les 7 jours suivants, cet adolescent décide alors de consacrer plus de temps au sport pour atteindre son objectif sur l’ensemble des 21 jours.
Sur ces 7 derniers jours, quelle est la durée totale de pratique physique qu’il doit au minimum prévoir pour atteindre son objectif ?
Exercice 4 • Les motifs d’un jeu de hasard 21 points
Dans cet exercice, aucune justification n’est attendue.
On a créé un jeu de hasard à l’aide d’un logiciel de programmation. Lorsqu’on appuie sur le drapeau, le lutin dessine trois motifs côte à côte. Chaque motif est dessiné aléatoirement : soit c’est une croix, soit c’est un rectangle. Le joueur gagne si l’affichage obtenu comporte trois motifs identiques.
Au lancement du programme, le lutin est orienté horizontalement vers la droite : 
▶ 1. En prenant pour échelle 1 cm pour 20 pas, représenter le motif obtenu par le bloc « rectangle ».
▶ 2. Voici un exemple d’affichage obtenu en exécutant le programme principal :
Quelle est la distance d entre les deux rectangles sur l’affichage, exprimée en pas ?
▶ 3. Quelle est la probabilité que le premier motif dessiné par le lutin soit une croix ?
▶ 4. Dessiner à main levée les 8 affichages différents que l’on pourrait obtenir avec le programme principal.
▶ 5. On admettra que les 8 affichages ont la même probabilité d’apparaître.
Quelle est la probabilité que le joueur gagne ?
▶ 6. On souhaite désormais que, pour chaque motif, il y ait deux fois plus de chances d’obtenir un rectangle qu’une croix. Pour cela, il faut modifier l’instruction dans la ligne 5.
Sur la copie, recopier l’instruction suivante en complétant les cases :
Exercice 5 • avec des nombres entiers 22 points
On considère le programme de calcul suivant, appliqué à des nombres entiers :
Partie A
▶ 1. Vérifier que si le nombre de départ est 15, alors le nombre obtenu à l’arrivée est 240.
▶ 2. Voici un tableau de valeurs réalisé à l’aide d’un tableur :
Il donne les résultats obtenus par le programme de calcul en fonction de quelques valeurs du nombre choisi au départ. Quelle formule a pu être saisie dans la cellule B2 avant d’être étirée vers le bas ?
Aucune justification n’est attendue.
▶ 3. On note x le nombre de départ. Écrire, en fonction de x, une expression du résultat obtenu avec ce programme de calcul.
Partie B
On considère l’affirmation suivante : « Pour obtenir le résultat du programme de calcul, il suffit de multiplier le nombre de départ par le nombre entier qui suit. »
▶ 1. Vérifier que cette affirmation est vraie lorsque le nombre entier choisi au départ est 9.
▶ 2. Démontrer que cette affirmation est vraie quel que soit le nombre entier choisi au départ.
▶ 3. Démontrer que le nombre obtenu à l’arrivée par le programme est un nombre pair quel que soit le nombre entier choisi au départ.
Les clés du sujet
Exercice 1
L’intérêt du sujet
Cet exercice, très complet, te permet de revoir tous les théorèmes importants de géométrie plane.
Nos coups de pouce, question par question
Exercice 2
L’intérêt du sujet
Ce type d’exercice te permet de visualiser rapidement les notions élémentaires de calcul numérique à bien maîtriser.
Nos coups de pouce, question par question
Exercice 3
L’intérêt du sujet
À travers cet exercice traitant des bénéfices de l’activité physique sur la santé, tu vas travailler les statistiques.
Nos coups de pouce, question par question
Exercice 4
L’intérêt du sujet
Ce sujet d’algorithmique te permet à la fois de réviser l’utilisation des blocs dans Scratch et de travailler des notions de probabilité.
Nos coups de pouce, question par question
Exercice 5
L’intérêt du sujet
Cet exercice sur les programmes de calcul te permet de vérifier que tu maîtrises le calcul littéral et l’utilisation d’un tableur.
Nos coups de pouce, question par question
Exercice 1
▶ 1. Le triangle HSM est rectangle en H donc, d’après le théorème de Pythagore :
HS2 + HM2 = MS2
rappel
C’est l’hypoténuse qui est le côté isolé dans la formule de Pythagore.
HS2 + 52 = 132
HS2 + 25 = 169
HS2 = 169 – 25 = 144
HS = cm.
▶ 2. Les droites (HT) et (AS) sont sécantes en M. De plus, les droites (HS) et (AT) sont parallèles car deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.
Donc, d’après le théorème de Thalès :
, soit .
Par le produit en croix, on obtient :
AT = cm.
▶ 3. Le triangle HMS est rectangle en H donc :
.
Alors, au degré près, .
▶ 4. C’est une homothétie qui permet d’obtenir le triangle MAT à partir du triangle MHS.
▶ 5. C’est faux. En effet, dans un agrandissement/réduction de rapport k, les aires sont multipliées par k2. Donc, dans ce cas, l’aire est multipliée par 1,42 = 1,96.
Exercice 2
▶ 1. La bonne réponse est la réponse B.
Il y a 5 cas favorables (les nombres de 1 à 5) sur les 20 issues possibles.
Donc p(« nombre ≤ 5 ») = .
rappel
Toute fraction doit être écrite sous forme irréductible.
▶ 2. La bonne réponse est la réponse D.
Les 560 mL correspondent à 8 volumes de liquide (1 volume de sirop + 7 volumes d’eau).
Donc 1 volume de liquide correspond à 560 ÷ 8 = 70 mL.
Le volume d’eau est de 70 × 7 = 490 mL.
▶ 3. La bonne réponse est la réponse C.
Toute fonction linéaire f s’écrit sous la forme f(x) = ax.
Si l’on remplace x par et par 1, on trouve , soit .
▶ 4. La bonne réponse est la réponse B.
195 = 3 × 65 = 3 × 5 × 13.
▶ 5. La bonne réponse est la réponse B.
Le volume 𝒱 du prisme est :
𝒱 = aire de la base × hauteur = = 60 cm3.
attention !
La base de ce prisme est un triangle rectangle.
Exercice 3
▶ 1. 1,6 ×
Il y a donc 1 296 000 adolescents qui ne respectent pas cette recommandation.
▶ 2. a) 1 h 40 min – 0 min = 1 h 40
Donc l’étendue de cette série vaut 1 h 40.
rappel
L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
b) Une médiane est une valeur partageant l’effectif en deux sous-effectifs égaux.
Rangeons les valeurs dans l’ordre croissant :
0 min ; 15 min ; 15 min ; 30 min ; 30 min ; 40 min ; 50 min ; 1 h ; 1 h ; 1 h ; 1 h ; 1 h 30 ; 1 h 30 ; 1 h 40
La médiane est entre la 7e et la 8e valeur, donc entre 50 min et 60 min.
Une valeur possible est, par exemple, 55 min.
▶ 3. a) Mettons d’abord tous les temps dans la même unité, par exemple en minutes. On calcule alors la moyenne des temps :
(0 + 15 + 15 + 30 + 30 + 40 + 50 + 60 + 60 + 60 + 60 + 90 + 90 + 100) ÷ 14 = 700 ÷ 14 = 50
L’adolescent a passé en moyenne 50 min à pratiquer une activité physique. C’est moins d’une heure, donc il n’a pas atteint son objectif.
b) Soit x la durée minimale d’activité physique à prévoir pour ces 7 jours. La moyenne sur les 21 jours vaut .
La moyenne doit être au minimum de 60 min, ce qui se traduit par :
700 + x ≥ 1 260
x ≥ 1 260 - 700
x ≥ 560
Donc l’adolescent doit faire au minimum 560 minutes d’activité physique sur ces 7 jours pour atteindre son objectif.
Exercice 4
▶ 1.
+
▶ 2. À la ligne 10, on voit qu’à partir du sommet gauche on avance de 100 pas. Puisque la largeur du rectangle vaut 60 pas, on a :
d = 100 – 60 = 40 pas.
▶ 3. La ligne 5 du bloc principal indique qu’un nombre aléatoire entier est tiré entre 1 et 2. Il n’y a donc que 2 nombres possibles qui correspondent à 2 motifs possibles : croix ou rectangle.
Donc : p(« croix ») = .
▶ 4.
▶ 5. Il y a 2 affichages qui font gagner le joueur : 3 croix ou 3 rectangles.
Donc p(« gagner ») = .
rappel
Une probabilité est un nombre exprimé sous forme d’une fraction irréductible.
▶ 6. On doit dessiner la croix quand 1 nombre aléatoire parmi 3 est choisi :
Exercice 5
Partie A
▶ 1. On choisit 15.
152 = 225
225 + 15 = 240
Avec 15 comme nombre de départ, on trouve 240.
▶ 2. Dans B2, on a saisi : = A2*A2 + A2 ou = A2^2 + A2.
▶ 3. Soit x le nombre de départ.
Le carré de x est x2 auquel on ajoute x, on obtient x2 + x.
Donc l’expression obtenue est x2 + x.
Partie B
▶ 1.
Donc cette affirmation est vraie lorsque le nombre de départ est 9.
▶ 2. On note x le nombre de départ.
Avec le programme initial, d’après la question 3. de la partie A, on obtient x2 + x.
Avec l’affirmation proposée, on a x(x + 1).
remarque
Le nombre entier suivant x s’obtient en lui ajoutant 1.
Or x(x + 1) = x2 + x. Donc l’affirmation est vraie quel que soit le nombre entier choisi au départ.
▶ 6. • Supposons que x soit un nombre pair.
Alors x s’écrit sous la forme x = 2k (k entier quelconque).
remarque
Pour démontrer qu’un nombre est pair, il suffit de montrer que c’est un multiple de 2.
Et x2 + x = (2k)2 + 2k = 4k2 + 2k = 2(2k2 + k).
Donc x2 + x est pair.
Supposons que x soit un nombre impair.
Alors x s’écrit sous la forme x = 2k + 1 (k entier quelconque).
Alors :
attention !
N’oublie pas que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Donc x2 + x est encore pair.
Conclusion : x2 + x est toujours pair quel que soit le nombre entier choisi au départ.