France métropolitaine • Juin 2018

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France métropolitaine • Juin 2018

Sujet complet • 100 points

exercice 1 • le globe de cristal 11 points

Le gros globe de cristal est un trophée attribué au vainqueur de la coupe du monde de ski. Ce trophée pèse 9 kg et mesure 46 cm de hauteur.

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▶ 1. Le biathlète français Martin Fourcade a remporté le sixième gros globe de cristal de sa carrière en 2017 à Pyeongchang en Corée du Sud. Donner approximativement la latitude et la longitude de ce lieu repéré sur la carte ci-dessous.

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▶ 2. On considère que ce globe est composé d'un cylindre en cristal de diamètre 6 cm, surmonté d'une boule de cristal. Voir schéma ci-contre.

Montrer qu'une valeur approchée du volume de la boule de ce trophée est de 6 371 cm3.

▶ 3. Marie affirme que le volume de la boule de cristal représente environ 90 % du volume total du trophée. A-t-elle raison ?

Rappels :

volume d'une boule de rayon R : $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ ;

volume d'un cylindre de rayon r et de hauteur h : $V = π r^{2} h$ .

exercice 2 • les particules fines 14 points

Parmi les nombreux polluants de l'air, les particules fines sont régulièrement surveillées. Les PM10 sont des particules fines dont le diamètre est inférieur à 0,01 mm. En janvier 2017, les villes de Lyon et Grenoble ont connu un épisode de pollution aux particules fines.

Voici des données concernant la période du 16 au 25 janvier 2017 :

document 1 Données statistiques sur les concentrations journalières en PM10 du 16 au 25 janvier 2017 à Lyon

Moyenne : 72,5 μg/m3.

Médiane : 83,5 μg/m3.

Concentration minimale : 22 μg/m3.

Concentration maximale : 107 μg/m3.

Source : www.air-rhonealpes.fr

document 2 Relevés des concentrations journalières en PM10 du 16 au 25 janvier 2017 à Grenoble

Date	Concentration PM10 en μg/m3
16 janvier	32
17 janvier	39
18 janvier	52
19 janvier	57
20 janvier	78
21 janvier	63
22 janvier	60
23 janvier	82
24 janvier	82
25 janvier	89

▶ 1. Laquelle de ces deux villes a eu la plus forte concentration moyenne en PM10 entre le 16 et le 25 janvier ?

▶ 2. Calculer l'étendue des séries des relevés en PM10 à Lyon et à Grenoble. Laquelle de ces deux villes a eu l'étendue la plus importante ? Interpréter ce dernier résultat.

▶ 3. L'affirmation suivante est-elle exacte ? Justifier votre réponse.

« Du 16 au 25 janvier, le seuil d'alerte de 80 μg/m3 par jour a été dépassé au moins 5 fois à Lyon. »

exercice 3 • le lecteur audio 12 points

Dans son lecteur audio, Théo a téléchargé 375 morceaux de musique. Parmi eux, il y a 125 morceaux de rap. Il appuie sur la touche « lecture aléatoire » qui lui permet d'écouter un morceau choisi au hasard parmi tous les morceaux disponibles.

▶ 1. Quelle est la probabilité qu'il écoute du rap ?

▶ 2. La probabilité qu'il écoute du rock est égale à $\frac{7}{15}$ . Combien Théo a-t-il de morceaux de rock dans son lecteur audio ?

▶ 3. Alice possède 40 % de morceaux de rock dans son lecteur audio. Si Théo et Alice appuient tous les deux sur la touche « lecture aléatoire » de leur lecteur audio, lequel a le plus de chances d'écouter un morceau de rock ?

exercice 4 • triangles 14 points

La figure ci-dessous n'est pas représentée en vraie grandeur.

Les points C, B et E sont alignés.

Le triangle ABC est rectangle en A.

Le triangle BDC est rectangle en B.

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▶ 1. Montrer que la longueur BD est égale à 4 cm.

▶ 2. Montrer que les triangles CBD et BFE sont semblables.

▶ 3. Sophie affirme que l'angle $\hat{BFE}$ est un angle droit. A-t-elle raison ?

▶ 4. Max affirme que l'angle $\hat{ACD}$ est un angle droit. A-t-il raison ?

exercice 5 • calcul littéral 16 points

Voici un programme de calcul :

Choisir un nombre

Multiplier ce nombre par 4

Ajouter 8

Multiplier le résultat par 2

▶ 1. Vérifier que si on choisit le nombre − 1, ce programme donne 8 comme résultat final.

▶ 2. Le programme donne 30 comme résultat final, quel est le nombre choisi au départ ?

Dans la suite de l'exercice, on nomme x le nombre choisi au départ.

▶ 3. L'expression A = 2(4x + 8) donne le résultat du programme de calcul précédent pour un nombre x donné.

On pose B = (4 + x)2 – x2.

Prouver que les expressions A et B sont égales pour toutes les valeurs de x.

▶ 4. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle que les réponses doivent être justifiées.

Affirmation 1 : Ce programme donne un résultat positif pour les valeurs de x.

Affirmation 2 : Si le nombre x choisi est un nombre entier, le résultat obtenu est un multiple de 8.

exercice 6 • scratch 16 points

Les longueurs sont en pixels.

L'expression « s'orienter à 90 » signifie que l'on s'oriente vers la droite.

On donne le programme suivant :

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▶ 1. On prend comme échelle 1 cm pour 50 pixels.

a) Représenter sur votre copie la figure obtenue si le programme est exécuté jusqu'à la ligne 7 comprise.

b) Quelles sont les coordonnées du stylo après l'exécution de la ligne 8 ?

▶ 2. On exécute le programme complet et on obtient la figure ci-contre qui possède un axe de symétrie vertical.

Recopier et compléter la ligne 9 du programme pour obtenir cette figure (ici à l'échelle 1/2).

▶ 3. a) Parmi les transformations suivantes, translation, homothétie, rotation, symétrie axiale, quelle est la transformation géométrique qui permet d'obtenir le petit carré à partir du grand carré ? Préciser le rapport de réduction.

b) Quel est le rapport des aires entre les deux carrés dessinés ?

exercice 7 • le hand spinner 17 points

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Le hand spinner est une sorte de toupie plate qui tourne sur elle-même.

On donne au hand spinner une vitesse de rotation initiale au temps t = 0, puis, au cours du temps, sa vitesse de rotation diminue jusqu'à l'arrêt complet du hand spinner. Sa vitesse de rotation est alors égale à 0. Grâce à un appareil de mesure, on a relevé la vitesse de rotation exprimée en nombre de tours par seconde.

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté cette vitesse en fonction du temps exprimé en secondes :

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D'après www.sciencesetavenir.fr

▶ 1. Le temps et la vitesse de rotation du hand spinner sont-ils proportionnels ? Justifier.

▶ 2. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :

a) Quelle est la vitesse de rotation initiale du hand spinner (en nombre de tours par seconde) ?

b) Quelle est la vitesse de rotation du hand spinner (en nombre de tours par seconde) au bout de 1 minute et 20 secondes ?

c) Au bout de combien de temps le hand spinner va-t-il s'arrêter ?

▶ 3. Pour calculer la vitesse de rotation du hand spinner en fonction du temps t, notée V(t), on utilise la fonction suivante :

V(t) = − 0,214 × t + Vinitiale.

t est le temps (exprimé en s) qui s'est écoulé depuis le début de rotation du hand spinner.

Vinitiale est la vitesse de rotation à laquelle on a lancé le hand spinner au départ.

a) On lance le hand spinner à une vitesse initiale de 20 tours par seconde. Sa vitesse de rotation est donc donnée par la formule : V(t) = − 0,214 × t + 20. Calculer sa vitesse de rotation au bout de 30 s.

Lecture de courbe • Équation du premier degré à une inconnue.

Nos coups de pouce

▶ 3. b) Pense à résoudre une équation bien choisie.

Corrigé

exercice 1

▶ 1. Les coordonnées de Pyeongchang sont 127° est (longitude) et 35° nord (latitude).

▶ 2. Vboule = $\frac{4}{3} \times π \times R^{3} = \frac{4}{3} \times π \times {11,5}^{3} \approx 6 371 {cm}^{3}$ .

▶ 3. Vcylindre = $π \times r^{2} \times h = π \times 3^{2} \times 23 \approx 650 {cm}^{3}$

Vtotal = 6 371 + 650 = $7 021 {cm}^{3}$ .

Le rapport des volumes est : $\frac{6 371}{7 021} \approx 90,7 %$ .

Donc le volume de la boule représente environ 90 % du volume total, Marie a raison.

exercice 2

▶ 1. À Lyon, la moyenne des concentrations est de 72,5 μg/m3.

À Grenoble :

$\frac{32 + 39 + 52 + 57 + 78 + 63 + 60 + 82 + 82 + 89}{10} = 63,4$ μg/m3.

C'est Lyon qui a la plus forte concentration moyenne en PM10 entre le 16 et le 25 janvier.

▶ 2. Étendue des concentrations à Lyon : 107 - 22 = 85.

Étendue des concentrations à Grenoble : 89 - 32 = 57.

C'est à Lyon que l'étendue des concentrations est la plus grande.

L'amplitude des concentrations est la plus élevée à Lyon.

remarque

Pense à la définition d'une médiane.

▶ 3. À Lyon, la médiane des concentrations sur les 10 jours est de 83,5 μg/m3.

Cela signifie que la concentration a été supérieure ou égale à 83,5 μg/m3 au moins 5 jours sur les dix jours mesurés.

Donc le seuil d'alerte de 80 μg/m3 a été dépassé au moins 5 jours à Lyon.

exercice 3

▶ 1. p (« Théo écoute du rap ») = $\frac{125}{375} = \frac{1}{3}$ .

▶ 2. Si x est le nombre de morceaux de rock sur le lecteur de Théo, alors x vérifie : $\frac{7}{15} = \frac{x}{375}$ .

Avec un produit en croix, on trouve : $x = 175$ .

rappel

Pour comparer deux fractions, il suffit de les mettre au même dénominateur.

▶ 3. p (« Théo écoute du rock ») = $\frac{7}{15} = \frac{70}{150}$ .

p(« Alice écoute du rock ») = $\frac{40}{100} = \frac{60}{150}$ .

Donc c'est Théo qui a le plus de chance d'écouter un morceau de rock.

exercice 4

rappel

Le triangle BCD est rectangle en B, utilise le théorème de Pythagore.

▶ 1. Le triangle BCD est rectangle en B donc d'après le théorème de Pythagore, on a :

BC2 + BD2 = CD2

7,52 + BD2 = 8,52

56,25 + BD2 = 72,25

BD2 = 72,25 – 56,25 = 16

BD = $\sqrt[]{16} = 4 cm$ .

▶ 2. Calculons les rapports de longueurs dans les deux triangles :

$\frac{BC}{BF} = \frac{7,5}{6} = 1,25; \frac{BD}{FE} = \frac{4}{3,2} = 1,25; \frac{CD}{BE} = \frac{8,5}{6,8} = 1,25$ .

Les quotients sont égaux donc les triangles BCF et BFE sont semblables.

remarque

Les triangles BCF et BFE sont semblables, leurs angles sont donc égaux deux à deux, en particulier $\hat{BFE} = \hat{CBD} = 90 °$ .

▶ 3. [BE] est le plus grand côté.

D'une part : BE2 = 6,82 = 46,24.

D'autre part : BF2 + FE2 = 62 + 3,22 = 46,24.

Donc : BE2 = BF2 + FE2.

Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle BFE est rectangle en F.

▶ 4. Le triangle BCD est rectangle en B, on a donc :

$\cos (\hat{BCD}) = \frac{côté adjacent}{hypoténuse} = \frac{BC}{BD} = \frac{7,5}{8,5}$ .

Et $\hat{BCD} = \arccos (\frac{7,5}{8,5}) \approx 28 °$ .

Or $\hat{ACD} = \hat{ACB} + \hat{BCD} \approx 61 ° + 28 ° \approx 89 °$ , donc l'angle $\hat{ACD}$ n'est pas droit.

exercice 5

▶ 1. ((- 1) × 4 + 8) × 2 = 4 × 2 = 8.

On obtient bien 8 en prenant comme nombre de départ - 1.

▶ 2. On « remonte » le programme :

(30 ÷ 2 – 8 ) ÷ 4 = (15 – 8) ÷ 4 = 7 ÷ 4 = 1,75.

Il faut prendre 1,75 comme nombre de départ pour obtenir 30.

rappel

(4 + x)2 = (4 + x)(4 + x).

▶ 3. Développons chaque expression :

$A = 2 (4 x + 8) = 8 x + 16$

$B = {(4 + x)}^{2} - x^{2} = 16 + 8 x + x^{2} - x^{2} = 8 x + 16$

Donc A et B sont égaux.

▶ 4. a) L'affirmation 1 est fausse.

Il suffit de prendre le nombre - 3, on a :

((- 3) × 4 + 8) × 2 = (- 12 + 8) × 2 = - 4 × 2 = - 8.

Le résultat obtenu est négatif.

b) L'affirmation 2 est vraie.

Le programme s'écrit 8x + 16 ce qui se factorise en 8(x + 2).

Donc les résultats obtenus sont tous multiples de 8.

exercice 6

▶ 1. a)

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remarque

Seule l'abscisse du chat est modifiée.

b) Les coordonnées du stylo sont (x = 50 ; y = 0).

▶ 2. À la ligne 9, il faut écrire : « mettre longueur à 200 ».

▶ 3. a) C'est une homothétie qui permet de passer du premier carré au second carré.

Le rapport de l'homothétie vaut $\frac{300 - 50 - 50}{300} = \frac{200}{300} = \frac{2}{3}$ .

b) Le rapport des deux aires est égal au carré du coefficient de réduction, c'est-à-dire ${(\frac{2}{3})}^{2} = \frac{4}{9}$ .

exercice 7

▶ 1. Le temps et la vitesse de rotation ne sont pas proportionnels car la droite ne passe pas par l'origine.

▶ 2. a) La vitesse initiale de rotation du hand spinner est de $20 tours par seconde$ .

b) 1 min 20 s = 80 s.

La vitesse de rotation du hand spinner est de $3 tours par seconde$ .

attention !

Sur l'axe des abscisses, 1 carreau correspond à 4 s.

c) Le hand spinner s'arrête au bout de $94 s$ .

▶ 3. a) $V (30) = - 0,214 \times 30 + 20 = 13,58$ tours par seconde.

La vitesse de rotation du hand spinner, au bout de 30 s, est de $13,58 tours par seconde$ .

b) Il s'agit de résoudre l'équation :

- 0,214x + 20 = 0

- 0,214x = - 20

$x = \frac{- 20}{- 0,214} \approx 93,5$

Le hand spinner s'arrête au bout d'environ $93,5 s$ .

c) Si la vitesse au départ est Vinitiale, d'après la question précédente, le hand spinner s'arrête au bout de x secondes avec :

- 0,214x + Vinitiale = 0.

Soit $x = \frac{V_{initiale}}{0,214}$ .

Si on double la vitesse au départ, elle vaut $2 \times V_{initiale}$ , et le hand spinner s'arrête au bout de : $x_{double} = \frac{2 \times V_{initiale}}{0,214} = 2 \times x$ .

Le hand spinner mettra bien 2 fois plus de temps pour s'arrêter.

Sujet du brevet de France métropolitaine 2018

exercice 1 • le globe de cristal 11 points

exercice 2 • les particules fines 14 points

exercice 3 • le lecteur audio 12 points

exercice 4 • triangles 14 points

exercice 5 • calcul littéral 16 points

exercice 6 • scratch 16 points

exercice 7 • le hand spinner 17 points

Exercice 1

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 2

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 3

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 4

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 5

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 6

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 7

Points du programme

Nos coups de pouce

exercice 1

exercice 2

exercice 3

exercice 4

exercice 5

exercice 6

exercice 7

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