Sujet du brevet de France métropolitaine 2018

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2018 | Académie : France métropolitaine

France métropolitaine • Juin 2018

Sujet complet • 100 points

exercice 1 • le globe de cristal 11 points

Le gros globe de cristal est un trophée attribué au vainqueur de la coupe du monde de ski. Ce trophée pèse 9 kg et mesure 46 cm de hauteur.

mat3_1806_07_01C_01

1. Le biathlète français Martin Fourcade a remporté le sixième gros globe de cristal de sa carrière en 2017 à Pyeongchang en Corée du Sud. Donner approximativement la latitude et la longitude de ce lieu repéré sur la carte ci-dessous.

mat3_1806_07_01C_02

mat3_1806_07_01C_03

2. On considère que ce globe est composé d’un cylindre en cristal de diamètre 6 cm, surmonté d’une boule de cristal. Voir schéma ci-contre.

Montrer qu’une valeur approchée du volume de la boule de ce trophée est de 6 371 cm3.

3. Marie affirme que le volume de la boule de cristal représente environ 90 % du volume total du trophée. A-t-elle raison ?

Rappels :

volume d’une boule de rayon R : V=43πR3 ;

volume d’un cylindre de rayon r et de hauteur h : V=πr2h.

exercice 2 • les particules fines 14 points

Parmi les nombreux polluants de l’air, les particules fines sont régulièrement surveillées. Les PM10 sont des particules fines dont le diamètre est inférieur à 0,01 mm. En janvier 2017, les villes de Lyon et Grenoble ont connu un épisode de pollution aux particules fines.

Voici des données concernant la période du 16 au 25 janvier 2017 :

document 1 Données statistiques sur les concentrations journalières en PM10 du 16 au 25 janvier 2017 à Lyon

Moyenne : 72,5 μg/m3.

Médiane : 83,5 μg/m3.

Concentration minimale : 22 μg/m3.

Concentration maximale : 107 μg/m3.

Source : www.air-rhonealpes.fr

document 2 Relevés des concentrations journalières en PM10 du 16 au 25 janvier 2017 à Grenoble

Date

Concentration PM10 en μg/m3

16 janvier

32

17 janvier

39

18 janvier

52

19 janvier

57

20 janvier

78

21 janvier

63

22 janvier

60

23 janvier

82

24 janvier

82

25 janvier

89

1. Laquelle de ces deux villes a eu la plus forte concentration moyenne en PM10 entre le 16 et le 25 janvier ?

2. Calculer l’étendue des séries des relevés en PM10 à Lyon et à Grenoble. Laquelle de ces deux villes a eu l’étendue la plus importante ? Interpréter ce dernier résultat.

3. L’affirmation suivante est-elle exacte ? Justifier votre réponse.

« Du 16 au 25 janvier, le seuil d’alerte de 80 μg/m3 par jour a été dépassé au moins 5 fois à Lyon. »

exercice 3 • le lecteur audio 12 points

Dans son lecteur audio, Théo a téléchargé 375 morceaux de musique. Parmi eux, il y a 125 morceaux de rap. Il appuie sur la touche « lecture aléatoire » qui lui permet d’écouter un morceau choisi au hasard parmi tous les morceaux disponibles.

1. Quelle est la probabilité qu’il écoute du rap ?

2. La probabilité qu’il écoute du rock est égale à 715. Combien Théo a-t-il de morceaux de rock dans son lecteur audio ?

3. Alice possède 40 % de morceaux de rock dans son lecteur audio. Si Théo et Alice appuient tous les deux sur la touche « lecture aléatoire » de leur lecteur audio, lequel a le plus de chances d’écouter un morceau de rock ?

exercice 4 • triangles 14 points

La figure ci-dessous n’est pas représentée en vraie grandeur.

Les points C, B et E sont alignés.

Le triangle ABC est rectangle en A.

Le triangle BDC est rectangle en B.

mat3_1806_07_01C_04

1. Montrer que la longueur BD est égale à 4 cm.

2. Montrer que les triangles CBD et BFE sont semblables.

3. Sophie affirme que l’angle BFE^ est un angle droit. A-t-elle raison ?

4. Max affirme que l’angle ACD^ est un angle droit. A-t-il raison ?

exercice 5 • calcul littéral 16 points

Voici un programme de calcul :

Choisir un nombre

Multiplier ce nombre par 4

Ajouter 8

Multiplier le résultat par 2

1. Vérifier que si on choisit le nombre − 1, ce programme donne 8 comme résultat final.

2. Le programme donne 30 comme résultat final, quel est le nombre choisi au départ ?

Dans la suite de l’exercice, on nomme x le nombre choisi au départ.

3. L’expression A = 2(4x + 8) donne le résultat du programme de calcul précédent pour un nombre x donné.

On pose B = (4 + x)2 – x2.

Prouver que les expressions A et B sont égales pour toutes les valeurs de x.

4. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle que les réponses doivent être justifiées.

Affirmation 1 : Ce programme donne un résultat positif pour les valeurs de x.

Affirmation 2 : Si le nombre x choisi est un nombre entier, le résultat obtenu est un multiple de 8.

exercice 6 • scratch 16 points

Les longueurs sont en pixels.

L’expression « s’orienter à 90 » signifie que l’on s’oriente vers la droite.

On donne le programme suivant :

mat3_1806_07_01C_05

mat3_1806_07_01C_05_b

mat3_1806_07_01C_05_c

mat3_1806_07_01C_06

1. On prend comme échelle 1 cm pour 50 pixels.

a) Représenter sur votre copie la figure obtenue si le programme est exécuté jusqu’à la ligne 7 comprise.

b) Quelles sont les coordonnées du stylo après l’exécution de la ligne 8 ?

2. On exécute le programme complet et on obtient la figure ci-contre qui possède un axe de symétrie vertical.

Recopier et compléter la ligne 9 du programme pour obtenir cette figure (ici à l’échelle 1/2).

3. a) Parmi les transformations suivantes, translation, homothétie, rotation, symétrie axiale, quelle est la transformation géométrique qui permet d’obtenir le petit carré à partir du grand carré ? Préciser le rapport de réduction.

b) Quel est le rapport des aires entre les deux carrés dessinés ?

exercice 7 • le hand spinner 17 points

mat3_1806_07_01C_07

Le hand spinner est une sorte de toupie plate qui tourne sur elle-même.

On donne au hand spinner une vitesse de rotation initiale au temps t = 0, puis, au cours du temps, sa vitesse de rotation diminue jusqu’à l’arrêt complet du hand spinner. Sa vitesse de rotation est alors égale à 0. Grâce à un appareil de mesure, on a relevé la vitesse de rotation exprimée en nombre de tours par seconde.

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté cette vitesse en fonction du temps exprimé en secondes :

mat3_1806_07_01C_08

D’après www.sciencesetavenir.fr

1. Le temps et la vitesse de rotation du hand spinner sont-ils proportionnels ? Justifier.

2. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :

a) Quelle est la vitesse de rotation initiale du hand spinner (en nombre de tours par seconde) ?

b) Quelle est la vitesse de rotation du hand spinner (en nombre de tours par seconde) au bout de 1 minute et 20 secondes ?

c) Au bout de combien de temps le hand spinner va-t-il s’arrêter ?

3. Pour calculer la vitesse de rotation du hand spinner en fonction du temps t, notée V(t), on utilise la fonction suivante :

V(t= − 0,214 × t + Vinitiale.

t est le temps (exprimé en s) qui s’est écoulé depuis le début de rotation du hand spinner.

Vinitiale est la vitesse de rotation à laquelle on a lancé le hand spinner au départ.

a) On lance le hand spinner à une vitesse initiale de 20 tours par seconde. Sa vitesse de rotation est donc donnée par la formule : V(t) = − 0,214 × t + 20. Calculer sa vitesse de rotation au bout de 30 s.

b) Au bout de combien de temps le hand spinner va-t-il s’arrêter ? Justifier par un calcul.

c) Est-il vrai que, d’une manière générale, si l’on fait tourner le hand spinner deux fois plus vite au départ, il tournera deux fois plus longtemps ? Justifier.

Les clés du sujet

Exercice 1

Points du programme

Volumes usuels • Repérage sur la sphère terrestre • Pourcentage.

Nos coups de pouce

3. Pour calculer un pourcentage, on divise l’effectif de la catégorie par l’effectif total.

Exercice 2

Points du programme

Moyenne arithmétique • Étendue • Médiane.

Nos coups de pouce

2. L’étendue est la différence entre la valeur la plus grande et la valeur la plus petite.

Exercice 3

Points du programme

Probabilités • Fractions.

Nos coups de pouce

3. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100.

Exercice 4

Points du programme

Théorème direct et réciproque de Pythagore • Triangles semblables • Trigonométrie.

Nos coups de pouce

4. Utilise une formule adéquate de trigonométrie pour calculer l’angle.

Exercice 5

Points du programme

Développements • Calculs numériques.

Nos coups de pouce

4. a) Il suffit de trouver un contre-exemple pour prouver qu’un résultat est faux.

Exercice 6

Points du programme

Algorithmique • Transformations usuelles du plan.

Nos coups de pouce

3. a) Quelle transformation réduit ou agrandit une figure ?

Exercice 7

Points du programme

Lecture de courbe • Équation du premier degré à une inconnue.

Nos coups de pouce

3. b) Pense à résoudre une équation bien choisie.

Corrigé

Corrigé

exercice 1

1. Les coordonnées de Pyeongchang sont 127° est (longitude) et 35° nord (latitude).

2. Vboule = 43×π×R3=43×π×11,536 371 cm3.

3. Vcylindre = π×r2×h=π×32×23650 cm3

Vtotal = 6 371 + 650 = 7 021 cm3.

Le rapport des volumes est : 6 3717 02190,7 %.

Donc le volume de la boule représente environ 90 % du volume total, Marie a raison.

exercice 2

1. À Lyon, la moyenne des concentrations est de 72,5 μg/m3.

À Grenoble :

32+39+52+57+78+63+60+82+82+8910=63,4μg/m3.

C’est Lyon qui a la plus forte concentration moyenne en PM10 entre le 16 et le 25 janvier.

2. Étendue des concentrations à Lyon : 107 - 22 = 85.

Étendue des concentrations à Grenoble : 89 - 32 = 57.

C’est à Lyon que l’étendue des concentrations est la plus grande.

L’amplitude des concentrations est la plus élevée à Lyon.

remarque

Pense à la définition d’une médiane.

3. À Lyon, la médiane des concentrations sur les 10 jours est de 83,5 μg/m3.

Cela signifie que la concentration a été supérieure ou égale à 83,5 μg/m3 au moins 5 jours sur les dix jours mesurés.

Donc le seuil d’alerte de 80 μg/m3 a été dépassé au moins 5 jours à Lyon.

exercice 3

1. p (« Théo écoute du rap ») = 125375=13.

2. Si x est le nombre de morceaux de rock sur le lecteur de Théo, alors x vérifie : 715=x375.

Avec un produit en croix, on trouve : x = 175.

rappel

Pour comparer deux fractions, il suffit de les mettre au même dénominateur.

3. p (« Théo écoute du rock ») = 715=70150.

p(« Alice écoute du rock ») = 40100=60150.

Donc c’est Théo qui a le plus de chance d’écouter un morceau de rock.

exercice 4

rappel

Le triangle BCD est rectangle en B, utilise le théorème de Pythagore.

1. Le triangle BCD est rectangle en B donc d’après le théorème de Pythagore, on a :

BC2 + BD2 = CD2

7,52 + BD2 = 8,52

56,25 + BD2 = 72,25

BD2 = 72,25 – 56,25 = 16

BD = 16= 4 cm.

2. Calculons les rapports de longueurs dans les deux triangles :

BCBF=7,56=1,25 ; BDFE=43,2=1,25 ; CDBE=8,56,8=1,25.

Les quotients sont égaux donc les triangles BCF et BFE sont semblables.

remarque

Les triangles BCF et BFE sont semblables, leurs angles sont donc égaux deux à deux, en particulier BFE^=CBD^=90°.

3. [BE] est le plus grand côté.

D’une part : BE2 = 6,82 = 46,24.

D’autre part : BF2 + FE2 = 62 + 3,22 = 46,24.

Donc : BE2 = BF2 + FE2.

Donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle BFE est rectangle en F.

4. Le triangle BCD est rectangle en B, on a donc :

cos(BCD^)= côté adjacenthypoténuse=BCBD=7,58,5.

Et BCD^=arccos(7,58,5)28°.

Or ACD^=ACB^+BCD^61°+28°89°, donc l’angle ACD^ n’est pas droit.

exercice 5

1. ((- 1) × 4 + 8) × 2 = 4 × 2 = 8.

On obtient bien 8 en prenant comme nombre de départ - 1.

2. On « remonte » le programme :

(30 ÷ 2 – 8 ) ÷ 4 = (15 – 8) ÷ 4 = 7 ÷ 4 = 1,75.

Il faut prendre 1,75 comme nombre de départ pour obtenir 30.

rappel

(4 + x)2 = (4 + x)(4 + x).

3. Développons chaque expression :

A = 2(4x+8)=8x+16

B=(4+x)2x2=16+8x+x2x2=8x+16

Donc A et B sont égaux.

4. a) L’affirmation 1 est fausse.

Il suffit de prendre le nombre - 3, on a :

((- 3) × 4 + 8) × 2 = (- 12 + 8) × 2 = - 4 ×= - 8.

Le résultat obtenu est négatif.

b) L’affirmation 2 est vraie.

Le programme s’écrit 8x + 16 ce qui se factorise en 8(x + 2).

Donc les résultats obtenus sont tous multiples de 8.

exercice 6

1. a)

mat3_1806_07_01C_09

remarque

Seule l’abscisse du chat est modifiée.

b) Les coordonnées du stylo sont (x = 50 ; y = 0).

2. À la ligne 9, il faut écrire : « mettre longueur à 200 ».

3. a) C’est une homothétie qui permet de passer du premier carré au second carré.

Le rapport de l’homothétie vaut 3005050300=200300=23.

b) Le rapport des deux aires est égal au carré du coefficient de réduction, c’est-à-dire (23)2=49.

exercice 7

1. Le temps et la vitesse de rotation ne sont pas proportionnels car la droite ne passe pas par l’origine.

2. a) La vitesse initiale de rotation du hand spinner est de 20 tours par seconde.

b) 1 min 20 s = 80 s.

La vitesse de rotation du hand spinner est de 3 tours par seconde.

attention !

Sur l’axe des abscisses, 1 carreau correspond à 4 s.

c) Le hand spinner s’arrête au bout de 94 s.

3. a) V(30)=0,214 × 30+20=13,58 tours par seconde.

La vitesse de rotation du hand spinner, au bout de 30 s, est de 13,58 tours par seconde.

b) Il s’agit de résoudre l’équation :

- 0,214x + 20 = 0

- 0,214x = - 20

x=200,21493,5

Le hand spinner s’arrête au bout d’environ 93,5 s.

c) Si la vitesse au départ est Vinitiale, d’après la question précédente, le hand spinner s’arrête au bout de x secondes avec :

- 0,214x + Vinitiale = 0.

Soit x=Vinitiale0,214.

Si on double la vitesse au départ, elle vaut 2×Vinitiale, et le hand spinner s’arrête au bout de : xdouble=2×Vinitiale0,214=2×x.

Le hand spinner mettra bien 2 fois plus de temps pour s’arrêter.