Troisième Mathématiques Sujets complets

France métropolitaine • Juillet 2019

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France métropolitaine • Juillet 2019

Sujet complet • 100 points

Sujet du brevet de France métropolitaine 2019

exercice 1 • Le trésor (10 points)

Le capitaine d'un navire possède un trésor constitué de 69 diamants, 1 150 perles et 4 140 pièces d'or.

▶ 1. Décomposer 69 ; 1 150 et 4 140 en produits de facteurs premiers.

▶ 2. Le capitaine partage équitablement le trésor entre les marins.

Combien y a-t-il de marins sachant que toutes les pièces, perles et diamants ont été distribués ?

exercice 2 • Le décor de la pièce de théâtre (19 points)

Dans cet exercice, on donnera, si nécessaire, une valeur approchée des résultats au centième près.

Pour construire le décor d'une pièce de théâtre (figure 1), Joanna dispose d'une plaque rectangulaire ABCD de 4 m sur 2 m dans laquelle elle doit découper les trois triangles du décor avant de les superposer. Elle propose un découpage de la plaque (figure 2).

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Le triangle ADM respecte les conditions suivantes :

Le triangle ADM est rectangle en A.

AD = 2 m.

$\hat{ADM}$ = 60°.

▶ 1. Montrer que [AM] mesure environ 3,46 m.

▶ 2. La partie de la plaque non utilisée est représentée en quadrillé sur la figure 2. Calculer une valeur approchée au centième de la proportion de la plaque qui n'est pas utilisée.

▶ 3. Pour que la superposition des triangles soit harmonieuse, Joanna veut que les trois triangles AMD, PNM et PDN soient semblables. Démontrer que c'est bien le cas.

▶ 4. Joanna aimerait que le coefficient d'agrandissement pour passer du triangle PDN au triangle AMD soit plus petit que 1,5. Est-ce le cas ? Justifier.

exercice 3 • Gestion de données (17 points)

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

Un sablier est composé de :

deux cylindres C1 et C2 de hauteur 4,2 cm et de diamètre 1,5 cm ;

un cylindre C3 ;

deux demi-sphères S1 et S2 de diamètre 1,5 cm.

On rappelle le volume V d'un cylindre d'aire de base B et de hauteur ℎ :

V = B × ℎ.

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▶ 1. a) Au départ, le sable remplit le cylindre C2 aux deux tiers. Montrer que le volume du sable est environ 4,95 cm3.

b) On retourne le sablier. En supposant que le débit d'écoulement du sable est constant et égal à 1,98 cm3/min, calculer le temps en minutes et secondes que va mettre le sable à s'écouler dans le cylindre inférieur.

▶ 2. En réalité, le débit d'écoulement d'un même sablier n'est pas constant.

Dans une usine où on fabrique des sabliers comme celui-ci, on prend un sablier au hasard et on teste plusieurs fois le temps d'écoulement dans ce sablier.

Voici les différents temps récapitulés dans le tableau suivant :

Temps mesuré	2 min 22 s	2 min 24 s	2 min 26 s	2 min 27 s	2 min 28 s	2 min 29 s	2 min 30 s
Nombre de tests	1	1	2	6	3	7	6

Temps mesuré	2 min 31 s	2 min 32 s	2 min 33 s	2 min 34 s	2 min 35 s	2 min 38 s
Nombre de tests	3	1	2	3	2	3

a) Combien de tests ont été réalisés au total ?

b) Un sablier est mis en vente s'il vérifie les trois conditions ci-dessous, sinon il est éliminé.

L'étendue des temps est inférieure à 20 s.

La médiane des temps est comprise entre 2 min 29 s et 2 min 31 s.

La moyenne des temps est comprise entre 2 min 28 s et 2 min 32 s.

exercice 4 • Dessin sous Scratch (19 points)

On veut réaliser un dessin constitué de deux types d'éléments (tirets et carrés) mis bout à bout.

Chaque script ci-dessous trace un élément, et déplace le stylo.

On rappelle que « s'orienter à 90 » signifie qu'on oriente le stylo vers la droite.

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▶ 1. En prenant 1 cm pour 2 pixels, représenter la figure obtenue si on exécute le script Carré.

Préciser les positions de départ et d'arrivée du stylo sur votre figure.

Pour tracer le dessin complet, on a réalisé 2 scripts qui se servent des blocs « Carré » et « Tiret » ci-dessus :

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On exécute les deux scripts et on obtient les deux dessins ci-dessous.

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▶ 2. Attribuer à chaque script la figure dessinée. Justifier votre choix.

▶ 3. On exécute le script 2.

a) Quelle est la probabilité que le premier élément tracé soit un carré ?

b) Quelle est la probabilité que les deux premiers éléments soient des carrés ?

▶ 4. Dans le script 2, on aimerait que la couleur des différents éléments, tirets ou carrés, soit aléatoire, avec à chaque fois 50 % de chance d'avoir un élément noir et 50 % de chance d'avoir un élément rouge.

Écrire la suite d'instructions qu'il faut alors créer et préciser où l'insérer dans le script 2.

Indication : on pourra utiliser les instructions mat3_1906_07_00C_06a et mat3_1906_07_00C_06b pour choisir la couleur du stylo.

exercice 5 • Les transformations du plan (18 points)

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Olivia s'est acheté un tableau pour décorer le mur de son salon.

Ce tableau, représenté ci-contre, est constitué de quatre rectangles identiques nommés ①, ②, ③ et ④ dessinés à l'intérieur d'un grand rectangle ABCD d'aire égale à 1,215 m2. Le ratio longueur : largeur est égal à 3 : 2 pour chacun des cinq rectangles.

▶ 1. Recopier, en les complétant, les phrases suivantes. Aucune justification n'est demandée.

a) Le rectangle … est l'image du rectangle … par la translation qui transforme C en E.

b) Le rectangle ③ est l'image du rectangle … par la rotation de centre F et d'angle 90° dans le sens des aiguilles d'une montre.

c) Le rectangle ABCD est l'image du rectangle … par l'homothétie de centre … et de rapport 3.

(Il y a plusieurs réponses possibles, une seule est demandée.)

▶ 2. Quelle est l'aire d'un petit rectangle ?

▶ 3. Quelles sont la longueur et la largeur du rectangle ABCD ?

exercice 6 • Programme de calcul (12 points)

Voici deux programmes de calcul.

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▶ 1. Vérifier que si on choisit 5 comme nombre de départ,

Le résultat du programme 1 vaut 16.

Le résultat du programme 2 vaut 28

On appelle A(x) le résultat du programme 1 en fonction du nombre x choisi au départ.

La fonction B : x ↦ (x − 1)(x + 2) donne le résultat du programme 2 en fonction du nombre x choisi au départ.

▶ 2. a) Exprimer A(x) en fonction de x.

b) Déterminer le nombre que l'on doit choisir au départ pour obtenir 0 comme résultat du programme 1.

▶ 3. Développer et réduire l'expression :

B(x) = (x − 1)(x + 2).

Calcul littéral • Équations

Nos coups de pouce

▶ 4. Développe chaque partie et vérifie qu'elles sont égales.

Corrigé

EXERCICE 1

▶ 1. 69 = 3 × 23

1 150 = 2 × 575 = 2 × 5 × 115 = 2 × 52 × 23

4 140 = 2 × 2 070 = 22 × 1 035 = 22 × 3 × 345 = 22 × 32 × 115

= 22 × 32 × 5 × 23

▶ 2. Le facteur commun aux trois nombres est 23.

Donc PGCD(69 ; 1 150 ; 4 140) = 23.

Il y a donc 23 marins.

EXERCICE 2

attention !

Pour additionner deux fractions, il faut les mettre au même dénominateur.

▶ 1. ADM est rectangle en A.

$\tan (\hat{D}) = \frac{côté opposé à l'angle \hat{D}}{côté adjacent à l'angle \hat{D}} = \frac{AM}{AD}$

Donc tan(60°) = $\frac{AM}{2}$

et AM = 2 × tan(60°) ≈ $3,46 m$ .

▶ 2. Aire(BMNC) = BM × BC = (4 – 3,46) × 2 = 1,08 m2

Aire(ABCD) = AB × BC = 4 × 2 = 8 m2

Donc la proportion de plaque non utilisée est : $\frac{1,08}{8} \approx 0,14$ .

▶ 3. • Dans les triangles ADM et MPN :

$\hat{DAM} = \hat{MPN}$ car ce sont des angles droits ;

$\hat{ADM} = \hat{PMN}$ car les deux angles sont alternes-internes.

Les triangles ADM et MPN ont deux angles égaux, ils sont donc semblables.

Dans les triangles ADM et PDN :

$\hat{DAM} = \hat{NPD}$ car ce sont des angles droits ;

$\hat{PDN}$ = 90° – 60° = 30° et par la somme des mesures des angles d'un triangle, $\hat{AMD} = 30 °$ .

Donc les deux angles $\hat{PDN}$ et $\hat{AMD}$ sont égaux.

Les triangles ADM et PND ont deux angles égaux, ils sont donc semblables.

à noter

Une proportion est la division de deux mêmes grandeurs.

▶ 4. ADM est rectangle en A.

$\cos (\hat{D}) = \frac{côté adjacent à l'angle \hat{D}}{hypoténuse} = \frac{AD}{DM}$

donc cos(60°) = $\frac{2}{DM}$

donc DM = $\frac{2}{\cos (60 °)} = 4 m$ .

Or DN = 3,46 m

donc $\frac{DM}{DN} = \frac{4}{3,46}$ ≈ 1,15 1,5.

Le coefficient d'agrandissement convient.

EXERCICE 3

attention !

rayon = $\frac{diamètre}{2}$ .

▶ 1. a) $\begin{matrix} V_{sable} = \frac{2}{3} \times V_{C_{2}} = \frac{2}{3} \times aire(base) \times hauteur \\ = \frac{2}{3} \times π \times {(\frac{1,5}{2})}^{2} \times 4,2 \approx 4,95 {cm}^{3} \end{matrix}$

b) Il y a proportionnalité entre le volume de sable écoulé et le temps :

Volume (cm3)	Temps (s)
1,98	60
4,95	x

Par le produit en croix, on a :

x = $\frac{4,95 \times 60}{1,98} = 150 s = 2 min 30 s$

▶ 2. a) Le nombre total de tests faits est :

1 + 1 + 2 + 6 + 3 + 7 + 6 + 3 + 1 + 2 + 3 + 2 + 3 = $40$ .

b) Calcul de l'étendue : 2 min 38 s – 2 min 22 s = 16 s.

16 s 20 s donc le premier critère est vérifié.

rappel

La médiane d'une série statistique est la valeur qui partage l'effectif en deux sous-effectifs égaux.

Détermination de la médiane : on cherche la moyenne entre la 20e et la 21e valeur.

1re méthode : on liste, dans l'ordre croissant, les 40 valeurs.

2e méthode : on fait un calcul d'effectifs cumulés croissants :

Donc la médiane est entre 2 min 29 s et 2 min 30 s et le second critère est vérifié.

Calcul de la moyenne (le calcul est plus simple si toutes les unités de temps sont en secondes) :

$\begin{matrix} Moyenne = \frac{\begin{matrix} 142 \times 1 + 144 \times 1 + 146 \times 2 + 147 \times 6 + 148 \times 3 \\ + 149 \times 7 + 150 \times 6 + 151 \times 3 + 152 \times 1 \\ + 153 \times 2 + 154 \times 3 + 155 \times 2 + 158 \times 3 \end{matrix}}{40} \\ \approx 150 s soit 2 min 30 s. \end{matrix}$

Donc ce dernier critère est vérifié.

Conclusion : ce sablier ne sera pas éliminé.

EXERCICE 4

▶ 1.

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▶ 2. Le script 1 correspond au dessin B car il crée 23 fois le même motif carré-tiret. Le script 2 correspond au dessin A car il crée 46 tracés aléatoires de carrés et de tirets.

▶ 3. a) Si le nombre aléatoire est 1, c'est un carré qui est tracé.

Or la probabilité que le 1 sorte est de $\frac{1}{2}$ .

Donc la probabilité que le premier tracé soit un carré est de $\frac{1}{2}$ .

b) Pour obtenir la probabilité que les deux premiers tracés soient des carrés, on peut :

soit faire un arbre des possibles et compter le nombre de branches qui mènent à carré-carré ;

soit se rendre compte que le tracé du premier carré n'influence pas le tracé du second ; ces deux événements sont donc indépendants.

Donc : p(carré-carré) = $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ .

▶ 4. Juste après le bloc « répéter 46 fois », il faut glisser les blocs suivants :

mat3_1906_07_00C_09

EXERCICE 5

▶ 1. a) Le rectangle ③ est l'image du rectangle ④ par la translation qui transforme C en E.

b) Le rectangle ③ est l'image du rectangle ① par la rotation de centre F d'angle 90° dans le sens des aiguilles d'une montre.

c) Le rectangle ABCD est l'image du rectangle ② par l'homothétie de centre D de rapport 3.

Le rectangle ABCD est l'image du rectangle ③ par l'homothétie de centre B de rapport 3.

Le rectangle ABCD est l'image du rectangle ④ par l'homothétie de centre C de rapport 3.

▶ 2. AABCD = 32 × Apetit rectangle

1,215 = 9 × Apetit rectangle

Donc Apetit rectangle = $\frac{1,215}{9} = 0,135 m^{2}$ .

▶ 3. Calculons la longueur et la largeur

du grand rectangle :

à noter

L : l = 3 : 2 signifie que la longueur est 1,5 fois plus grande que la largeur.

On a L = 1,5 × l.

Or AABCD = L × l.

Donc 1,5 × l2 = 1,215

$l = \sqrt[]{\frac{1,215}{1,5}} = 0,9 m$

De plus : $L = 1,5 \times 0,9 = 1,35 m$

EXERCICE 6

▶ 1.

mat3_1906_07_00C_11

▶ 2. a) $A (x) = 3 x + 1$

b) On résout l'équation 3x + 1 = 0.

3x = – 1

$x = - \frac{1}{3}$

▶ 3. B(x) = (x – 1)(x + 2) = x2 + 2x – x – 2 = $x^{2} + x - 2$

▶ 4. a) D'une part : B(x) – A(x) = x2 + x – 2 – 3x – 1 = x2 – 2x – 3.

D'autre part : (x + 1)(x – 3) = x2 – 3x + x – 3 = x2 – 2x – 3.

Donc les deux expressions sont bien égales.

attention !

B(x) = A(x) signifie que B(x) – A(x) = 0.

b) On cherche x tel que B(x) = A(x) donc B(x) – A(x) = 0, soit (x + 1)(x – 3) = 0.

C'est une équation produit, or, si un produit de facteurs est nul alors l'un au moins des facteurs est nul.

Donc x + 1 = 0 ou x – 3 = 0, soit :

x = – 1 ou x = 3.

Conclusion : les deux valeurs pour lesquelles ces deux programmes sont égaux sont – 1 et 3.

Sujet du brevet de France métropolitaine 2019

exercice 1 • Le trésor (10 points)

exercice 2 • Le décor de la pièce de théâtre (19 points)

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exercice 4 • Dessin sous Scratch (19 points)

exercice 5 • Les transformations du plan (18 points)

exercice 6 • Programme de calcul (12 points)

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