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Sujet du brevet de France métropolitaine 2021

France métropolitaine • Juin 2021

Sujet du brevet de France métropolitaine 2021

2 heures

100 points

Exercice 1 • Les températures À Tours 20 points

Cette feuille de calcul présente les températures moyennes mensuelles à Tours en 2019.

Tableau de 7 lignes, 9 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : ;A;B;C;D;E;F;G;;Corps du tableau de 6 lignes ;Ligne 1 : 1; Mois; J; F; M; A; M; J; ; Ligne 2 : 2; Température en °C; 4,4; 7,8; 9,6; 11,2; 13,4; 19,4; Ligne 3 : ; Ligne 4 : ; A; H; I; J; K; L; M; N; Ligne 5 : 1; Mois; J; A; S; O; N; D; Moyenne sur l'année; Ligne 6 : 2; Température en °C; 22,6; 20,5; 17,9; 14,4; 8,2; 7,8; ;

1. D'après le tableau ci-dessus, quelle a été la température moyenne à Tours en novembre 2019 ?

2. Déterminer l'étendue de cette série.

3. Quelle formule doit-on saisir en cellule N2 pour calculer la température moyenne annuelle ?

4. Vérifier que la température moyenne annuelle est 13,1 oC.

5. La température moyenne annuelle à Tours en 2009 était de 11,9 oC.

Le pourcentage d'augmentation entre 2009 et 2019, arrondi à l'unité, est-il de : 7 % ; 10 % ou 13 % ? Justifier la réponse.

Exercice 2 • Au Futuroscope 20 points

Le Futuroscope est un parc de loisirs situé dans la Vienne. L'année 2019 a enregistré 1,9 million de visiteurs.

1. Combien aurait-il fallu de visiteurs en plus en 2019 pour atteindre 2 millions de visiteurs ?

2. L'affirmation « Il y a eu environ 5 200 visiteurs par jour en 2019 » est-elle vraie ? Justifier la réponse.

3. Un professeur organise une sortie pédagogique au Futuroscope pour ses élèves de troisième. Il veut répartir les 126 garçons et les 90 filles par groupes. Il souhaite que chaque groupe comporte le même nombre de filles et le même nombre de garçons.

a) Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres 126 et 90.

b) Trouver tous les entiers qui divisent à la fois les nombres 126 et 90.

c) En déduire le plus grand nombre de groupes que le professeur pourra constituer. Combien de filles et de garçons y aura-t-il alors dans chaque groupe ?

4. Deux élèves de troisième, Marie et Adrien, se souviennent avoir vu en mathématiques que les hauteurs inaccessibles pouvaient être déterminées avec l'ombre. Ils souhaitent calculer la hauteur de la Gyrotour du Futuroscope.

Marie se place comme indiquée sur la figure ci-dessous, de telle sorte que son ombre coïncide avec celle de la tour. Après avoir effectué plusieurs mesures, Adrien dessine le schéma ci-dessous (le schéma n'est pas à l'échelle), sur lequel les points A, E et B ainsi que les points A, D et C sont alignés.

Calculer la hauteur BC de la Gyrotour.

mat3_2106_07_00C_01

Exercice 3 • QCM 20 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée. Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées. Une seule réponse est exacte.

Partie A

Une urne contient 7 jetons verts, 4 jetons rouges, 3 jetons bleus et 2 jetons jaunes. Les jetons sont indiscernables au toucher. On pioche un jeton au hasard dans cette urne.

Tableau de 3 lignes, 4 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : Questions;Réponse A;Réponse B;Réponse C;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. À quel événement correspond une probabilité de 716 ?; Obtenir un jeton de couleur rouge ou jaune.; Obtenir un jeton qui n'est pas vert.; Obtenir un jeton vert.; Ligne 2 : ▶ 2. Quelle est la probabilité de ne pas tirer un jeton bleu ?; 1316; 316; 34;

Partie B

On considère la figure suivante, composée de vingt motifs numérotés de 1 à 20, dans laquelle :

AOB^ = 36° ;

le motif 11 est l'image du motif 1 par l'homothétie de centre O et de rapport 2.

mat3_2106_07_00C_02

Tableau de 4 lignes, 4 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : Questions;Réponse A;Réponse B;Réponse C;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Quelle est l'image du motif 20 par la symétrie d'axe la droite (d) ?; Le motif 17.; Le motif 15.; Le motif 12.; Ligne 2 : ▶ 2. Par quelle rotation le motif 3 est-il l'image du motif 1 ?; Une rotation de centre O, et d'angle 36°.; Une rotation de centre O, et d'angle 72°.; Une rotation de centre O, et d'angle 90°.; Ligne 3 : ▶ 3. L'aire du motif 11 est égale :; au double de l'aire du motif 1.; à 4 fois l'aire du motif 1.; à la moitié de l'aire du motif 1.;

Exercice 4 • Scratch et résolutions d'Équations 20 points

Voici un programme de calcul :

Tableau de 1 lignes, 1 colonnes ;Corps du tableau de 1 lignes ;Ligne 1 : Choisir un nombre.Prendre le carré du nombre de départ.Ajouter le triple du nombre de départ.Soustraire 10 au résultat.;

1. Vérifier que si on choisit 4 comme nombre de départ, on obtient 18.

2. Appliquer ce programme de calcul au nombre – 3.

3. Vous trouverez ci-dessous un script, écrit avec Scratch.

mat3_2106-07-00C-03

Compléter les lignes 5 et 6 pour que ce script corresponde au programme de calcul.

4. On veut déterminer le nombre à choisir au départ pour obtenir zéro comme résultat.

a) On appelle x le nombre de départ. Exprimer en fonction de x le résultat final.

b) Vérifier que ce résultat peut aussi s'écrire sous la forme : (x + 5)(x – 2).

c) Quel(s) nombre(s) doit-on choisir au départ pour obtenir le nombre 0 à l'arrivée ?

Exercice 5 • Le composteur 20 points

La production annuelle de déchets par Français était de 5,2 tonnes par habitant en 2007. Entre 2007 et 2017, elle a diminué de 6,5 %.

1. De combien de tonnes la production annuelle de déchets par Français en 2017 a-t-elle diminué par rapport à l'année 2007 ?

2. Pour continuer à diminuer leur production de déchets, de nombreuses familles utilisent désormais un composteur.

Une de ces familles a choisi le modèle ci-dessous, composé d'un pavé droit et d'un prisme droit (la figure du composteur n'est pas à l'échelle). Le descriptif indique qu'il a une contenance d'environ 0,5 m3. On souhaite vérifier cette information.

mat3_2106_07_00C_03bis

a) Dans le trapèze ABCD, calculer la longueur CH.

b) Montrer que la longueur DH est égale à 45 cm.

c) Vérifier que l'aire du trapèze ABCD est de 2 385 cm2.

d) Calculer le volume du composteur.

L'affirmation « il a une contenance d'environ 0,5 m3 » est-elle vraie ? Justifier.

Rappels :

Aire du trapèze = petit côté + grand côté × hauteur2

Volume du prisme droit = aire de la base × hauteur

Volume du pavé droit = longueur × largeur × hauteur

 

Les clés du sujet

Exercice 1

L'intérêt du sujet

Les statistiques permettent d'étudier de nombreux phénomènes et, dans cet exercice, tu vas découvrir leur application dans le domaine de la météorologie.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 5 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 5 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Lire un tableau; Lis la valeur en L2.; Ligne 2 : ▶ 2. Calculer un indicateur statistique; L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.; Ligne 3 : ▶ 3. Utiliser une feuille de calculs; Rappelle-toi que, dans un tableur, toute formule commence par un signe « = ».; Ligne 4 : ▶ 4. Calculer un indicateur statistique; Calcule la somme des 12 températures.Divise ensuite le tout par 12.; Ligne 5 : ▶ 5. Calculer un pourcentage; Divise la hausse de température par la moyenne de température en 2009, puis multiplie par 100.;

Exercice 2

L'intérêt du sujet

Tu vas découvrir quelques renseignements sur le Futuroscope et travailler le théorème de Thalès et l'arithmétique.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 5 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 5 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Lire des unités; Calcule une différence en faisant attention aux unités employées.; Ligne 2 : ▶ 2. Calculer un indicateur statistique; On demande de calculer un nombre moyen quotidien de visiteurs ; il faut donc que tu utilises le fait qu'il y a 365 jours en 2019.; Ligne 3 : ▶ 3. a) Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers; Pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, regarde si tes nombres sont divisibles par 2, puis 3, puis 5…; Ligne 4 : b) et c) Déterminer des diviseurs; Observe les nombres en commun dans les décompositions en facteurs premiers.; Ligne 5 : ▶ 4. Calculer une longueur; Utilise le théorème de Thalès dans les triangles AED et ABC.;

Exercice 3

L'intérêt du sujet

À travers un QCM, tu vas réviser les notions de transformations planes ainsi que les probabilités.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 3 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : Partie A Déterminer une probabilité; Souviens-toi que le dénominateur correspond au nombre total d'issues et le numérateur au nombre d'issues de l'événement cherché.; Ligne 2 : Partie B▶ 1. et ▶ 2. Utiliser des transformations; Une symétrie axiale fait un effet miroir ; une rotation « tourne » une figure d'un certain angle.; Ligne 3 : ▶ 3. Calculer l'effet d'un agrandissement sur une aire; Dans un agrandissement de coefficient k, les aires sont multipliées par k2.;

Exercice 4

L'intérêt du sujet

Tu vas réinvestir les leçons sur le calcul littéral et l'algorithmique.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 3 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. et ▶ 2. Appliquer un programme de calcul; Prends comme nombre de départ 4 puis calcule chaque étape du programme.Suis le même raisonnement avec comme nombre de départ – 3.; Ligne 2 : ▶ 3. Compléter un algorithme sous Scratch; La ligne 5 de Scratch correspond à la 3e ligne du programme de calcul. La ligne 6 de Scratch correspond à la 4e ligne du programme de calcul.; Ligne 3 : ▶ 4. Manipuler le calcul littéral et les équations; b) Développe la forme proposée avec la double distributivité.c) Résous une équation produit.;

Exercice 5

L'intérêt du sujet

À travers un problème de développement durable, tu vas retravailler le théorème de Pythagore, les formules d'aires et de volumes, ainsi que les pourcentages.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 5 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 5 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Appliquer un pourcentage; Multiplie le pourcentage par la valeur initiale.; Ligne 2 : ▶ 2. a) Calculer une longueur; Remarque que ABHD est un rectangle.; Ligne 3 : b) Utiliser un théorème de géométrie; Utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle CDH.; Ligne 4 : c) Appliquer une formule d'aire; Remplace, dans la formule rappelée, les côtés par les valeurs de l'énoncé.; Ligne 5 : d) Calculer un volume et convertir; Calcule d'abord les volumes du prisme droit et du pavé droit.Convertis enfin le volume total en m3 et conclus.;

Exercice 1

1. En cellule L2, on lit que la température moyenne en novembre est de 8,2 oC.

2. 22,6 – 4,4 = 18,2

L'étendue est de 18,2 oC.

3. La formule à entrer en N2 est « =SOMME(B2:M2)/12 » ou « = (B2 + C2 + D2 + E2 + F2 + G2 + H2 + I2 + J2 + K2 + L2 + M2)/12 ».

4. La moyenne des températures pour l'année est :

4,4+7,8+9,6+11,2+13,4+19,4+22,6+20,5+17,9+14,4+8,2+7,812=13,1 °C.

5. Le pourcentage d'augmentation entre 2009 et 2019 est de :

13,111,911,9×10010.

Exercice 2

1. 2 – 1,9 = 0,1

Il aurait fallu 0,1 million de visiteurs en plus, soit 100 000 visiteurs.

2. 1 900 0003655 205

Il y a donc bien eu environ 5 200 visiteurs par jour en 2019. L'affirmation est vraie.

remarque

2019 n'est pas une année bissextile ; elle contient donc 365 jours.

3. a) 126 = 2 × 63 = 2 × 3 × 21 = 2 × 3 × 3 × 7

90 = 2 × 45 = 2 × 3 × 15 = 2 × 3 × 3 × 5

b) Les diviseurs communs à 126 et 90 sont des facteurs communs aux décompositions faites précédemment. Il y a donc :

1 ; 2 ; 3 ; 2 ×= 6 ; 3 × 3 = 9 et 2 × 3 ×= 18.

c) Le plus grand nombre de groupes que pourra faire le professeur est 18.

Il y aura alors, dans chaque groupe :

126 ÷ 18 = 7 garçons ;

90 ÷ 18 = 5 filles.

4. Les droites (DC) et (EB) sont sécantes en A.

Puisque (ED) et (BC) sont toutes deux perpendiculaires à la même droite (AC), alors (ED) et (BC) sont parallèles.

Donc d'après le théorème de Thalès, on a :

ADAC=AEAB=DEBC.

En remplaçant les longueurs connues, on obtient :

254,25+2=AEAB=1,60BC.

Donc : BC = 56,25×1,602 = 45.

La Gyrotour mesure 45 m de hauteur.

Exercice 3

Partie A

1. La bonne réponse est la réponse C.

Il y a bien 7 jetons verts sur les 16 disponibles.

2. La bonne réponse est la réponse A.

Il y a bien 13 jetons non bleus sur les 16 disponibles.

Partie B

1. La bonne réponse est la réponse A.

Les motifs 20 et 17 se superposent par pliage le long de l'axe (d).

2. La bonne réponse est la réponse B.

Les motifs 3 et 1 correspondent dans la rotation de centre O d'angle 72°.

3. La bonne réponse est la réponse B.

Le rapport de l'homothétie est 2 donc les aires sont multipliées par 22, c'est-à-dire par 4.

Exercice 4

1. On applique le programme de calcul.

On choisit 4.

42 = 16

16 + 3 × 4 = 28

28 – 10 = 18

On obtient bien 18 en prenant 4 au départ.

2. On applique le programme de calcul.

On choisit – 3.

(– 3)2 = 9

9 + 3 × (– 3) = 0

0 – 10 = – 10

On obtient – 10 en prenant – 3 au départ.

rappels

• Le carré d'un nombre est toujours positif.

• Le triple d'un nombre x est 3x.

3. Voici le script complété :

mat3_2106_07_00C_04

4. a) Prenons x comme nombre de départ. Le programme de calcul donne successivement :

x2

x2 + 3x

x2 + 3x – 10

Le résultat final est : x2 + 3x – 10.

b) (x + 5)(x – 2) = x2 – 2x + 5x – 10 = x2 + 3x – 10

On obtient bien le même résultat.

rappel

Double distributivité :

(ab)(cd) = acadbcbd.

c) Il s'agit de résoudre l'équation x2 + 3x – 10 = 0, donc de résoudre l'équation (x + 5)(x – 2) = 0. C'est une équation produit. Or, si un produit de facteurs est nul alors l'un au moins de ses facteurs est nul.

Donc : x + 5 = 0 ou x – 2 = 0. C'est-à-dire : x = – 5 ou x = 2.

Donc, pour obtenir 0 avec le programme de calculs, il faut choisir les nombres – 5 ou 2.

Exercice 5

1. 5,2 × 6,5100=0,338

La production annuelle de déchets a diminué de 0,338 t en 2017 par rapport à 2007.

2. a) DABH a trois angles droits, c'est donc un rectangle et HB = DA = 39 cm.

Les points C, H et B sont alignés donc :

CH = CB – HB

CH = 67 – 39

CH = 28 cm.

b) CDH est rectangle en H donc, d'après le théorème de Pythagore, on a :

CD2 = CH2 + HD2

rappel

Dans la formule de Pythagore, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

532 = 282 + HD2

2 809 = 784 + HD2

HD2 = 2 809 – 784 = 2 025

Donc : HD = 2 02545 cm.

c) Aire du trapèze =petit côté+grand côté×hauteur2=39+67×452=2 385 cm2.

d) Volume du pavé droit = L × l × h = 70 × 67 × (110 – 45) = 304 850 cm3.

attention !

Pense à convertir 1,10 m en centimètres.

Volume du prisme droit

= aire de la base × hauteur 

= 2 385 × 70 = 166 950 cm3.

Par somme on trouve :

Volume du composteur = 304 850 + 166 950 = 471 800 cm3 = 0,471 800 m3 ≈ 0,5 m3.

Donc l'affirmation est vraie.

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