SPRINT FINAL
France métropolitaine • Juin 2021
73
mat3_2106_07_00C
France métropolitaine • Juin 2021
Sujet du brevet de France métropolitaine 2021
Exercice 1 • Les températures À Tours 20 points
Cette feuille de calcul présente les températures moyennes mensuelles à Tours en 2019.
▶ 1. D'après le tableau ci-dessus, quelle a été la température moyenne à Tours en novembre 2019 ?
▶ 2. Déterminer l'étendue de cette série.
▶ 3. Quelle formule doit-on saisir en cellule N2 pour calculer la température moyenne annuelle ?
▶ 4. Vérifier que la température moyenne annuelle est 13,1 oC.
▶ 5. La température moyenne annuelle à Tours en 2009 était de 11,9 oC.
Le pourcentage d'augmentation entre 2009 et 2019, arrondi à l'unité, est-il de : 7 % ; 10 % ou 13 % ? Justifier la réponse.
Exercice 2 • Au Futuroscope 20 points
Le Futuroscope est un parc de loisirs situé dans la Vienne. L'année 2019 a enregistré 1,9 million de visiteurs.
▶ 1. Combien aurait-il fallu de visiteurs en plus en 2019 pour atteindre 2 millions de visiteurs ?
▶ 2. L'affirmation « Il y a eu environ 5 200 visiteurs par jour en 2019 » est-elle vraie ? Justifier la réponse.
▶ 3. Un professeur organise une sortie pédagogique au Futuroscope pour ses élèves de troisième. Il veut répartir les 126 garçons et les 90 filles par groupes. Il souhaite que chaque groupe comporte le même nombre de filles et le même nombre de garçons.
a) Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres 126 et 90.
b) Trouver tous les entiers qui divisent à la fois les nombres 126 et 90.
c) En déduire le plus grand nombre de groupes que le professeur pourra constituer. Combien de filles et de garçons y aura-t-il alors dans chaque groupe ?
▶ 4. Deux élèves de troisième, Marie et Adrien, se souviennent avoir vu en mathématiques que les hauteurs inaccessibles pouvaient être déterminées avec l'ombre. Ils souhaitent calculer la hauteur de la Gyrotour du Futuroscope.
Marie se place comme indiquée sur la figure ci-dessous, de telle sorte que son ombre coïncide avec celle de la tour. Après avoir effectué plusieurs mesures, Adrien dessine le schéma ci-dessous (le schéma n'est pas à l'échelle), sur lequel les points A, E et B ainsi que les points A, D et C sont alignés.
Calculer la hauteur BC de la Gyrotour.
Exercice 3 • QCM 20 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée. Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées. Une seule réponse est exacte.
Partie A
Une urne contient 7 jetons verts, 4 jetons rouges, 3 jetons bleus et 2 jetons jaunes. Les jetons sont indiscernables au toucher. On pioche un jeton au hasard dans cette urne.
Partie B
On considère la figure suivante, composée de vingt motifs numérotés de 1 à 20, dans laquelle :
= 36° ;
le motif 11 est l'image du motif 1 par l'homothétie de centre O et de rapport 2.
Exercice 4 • Scratch et résolutions d'Équations 20 points
Voici un programme de calcul :
▶ 1. Vérifier que si on choisit 4 comme nombre de départ, on obtient 18.
▶ 2. Appliquer ce programme de calcul au nombre – 3.
▶ 3. Vous trouverez ci-dessous un script, écrit avec Scratch.
Compléter les lignes 5 et 6 pour que ce script corresponde au programme de calcul.
▶ 4. On veut déterminer le nombre à choisir au départ pour obtenir zéro comme résultat.
a) On appelle x le nombre de départ. Exprimer en fonction de x le résultat final.
b) Vérifier que ce résultat peut aussi s'écrire sous la forme : (x + 5)(x – 2).
c) Quel(s) nombre(s) doit-on choisir au départ pour obtenir le nombre 0 à l'arrivée ?
Exercice 5 • Le composteur 20 points
La production annuelle de déchets par Français était de 5,2 tonnes par habitant en 2007. Entre 2007 et 2017, elle a diminué de 6,5 %.
▶ 1. De combien de tonnes la production annuelle de déchets par Français en 2017 a-t-elle diminué par rapport à l'année 2007 ?
▶ 2. Pour continuer à diminuer leur production de déchets, de nombreuses familles utilisent désormais un composteur.
Une de ces familles a choisi le modèle ci-dessous, composé d'un pavé droit et d'un prisme droit (la figure du composteur n'est pas à l'échelle). Le descriptif indique qu'il a une contenance d'environ 0,5 m3. On souhaite vérifier cette information.
a) Dans le trapèze ABCD, calculer la longueur CH.
b) Montrer que la longueur DH est égale à 45 cm.
c) Vérifier que l'aire du trapèze ABCD est de 2 385 cm2.
d) Calculer le volume du composteur.
L'affirmation « il a une contenance d'environ 0,5 m3 » est-elle vraie ? Justifier.
Rappels :
Aire du trapèze =
Volume du prisme droit = aire de la base × hauteur
Volume du pavé droit = longueur × largeur × hauteur
Les clés du sujet
Exercice 1
L'intérêt du sujet
Les statistiques permettent d'étudier de nombreux phénomènes et, dans cet exercice, tu vas découvrir leur application dans le domaine de la météorologie.
Nos coups de pouce, question par question
Exercice 2
L'intérêt du sujet
Tu vas découvrir quelques renseignements sur le Futuroscope et travailler le théorème de Thalès et l'arithmétique.
Nos coups de pouce, question par question
Exercice 3
L'intérêt du sujet
À travers un QCM, tu vas réviser les notions de transformations planes ainsi que les probabilités.
Nos coups de pouce, question par question
Exercice 4
L'intérêt du sujet
Tu vas réinvestir les leçons sur le calcul littéral et l'algorithmique.
Nos coups de pouce, question par question
Exercice 5
L'intérêt du sujet
À travers un problème de développement durable, tu vas retravailler le théorème de Pythagore, les formules d'aires et de volumes, ainsi que les pourcentages.
Nos coups de pouce, question par question
Exercice 1
▶ 1. En cellule L2, on lit que la température moyenne en novembre est de 8,2 oC.
▶ 2. 22,6 – 4,4 = 18,2
L'étendue est de 18,2 oC.
▶ 3. La formule à entrer en N2 est « =SOMME(B2:M2)/12 » ou « = (B2 + C2 + D2 + E2 + F2 + G2 + H2 + I2 + J2 + K2 + L2 + M2)/12 ».
▶ 4. La moyenne des températures pour l'année est :
.
▶ 5. Le pourcentage d'augmentation entre 2009 et 2019 est de :
.
Exercice 2
▶ 1. 2 – 1,9 = 0,1
Il aurait fallu 0,1 million de visiteurs en plus, soit 100 000 visiteurs.
▶ 2.
Il y a donc bien eu environ 5 200 visiteurs par jour en 2019. L'affirmation est vraie.
remarque
2019 n'est pas une année bissextile ; elle contient donc 365 jours.
▶ 3. a) 126 = 2 × 63 = 2 × 3 × 21 = 2 × 3 × 3 × 7
90 = 2 × 45 = 2 × 3 × 15 = 2 × 3 × 3 × 5
b) Les diviseurs communs à 126 et 90 sont des facteurs communs aux décompositions faites précédemment. Il y a donc :
1 ; 2 ; 3 ; 2 × 3 = 6 ; 3 × 3 = 9 et 2 × 3 × 3 = 18.
c) Le plus grand nombre de groupes que pourra faire le professeur est 18.
Il y aura alors, dans chaque groupe :
126 ÷ 18 = 7 garçons ;
90 ÷ 18 = 5 filles.
▶ 4. Les droites (DC) et (EB) sont sécantes en A.
Puisque (ED) et (BC) sont toutes deux perpendiculaires à la même droite (AC), alors (ED) et (BC) sont parallèles.
Donc d'après le théorème de Thalès, on a :
.
En remplaçant les longueurs connues, on obtient :
.
Donc : BC = = 45.
La Gyrotour mesure 45 m de hauteur.
Exercice 3
Partie A
▶ 1. La bonne réponse est la réponse C.
Il y a bien 7 jetons verts sur les 16 disponibles.
▶ 2. La bonne réponse est la réponse A.
Il y a bien 13 jetons non bleus sur les 16 disponibles.
Partie B
▶ 1. La bonne réponse est la réponse A.
Les motifs 20 et 17 se superposent par pliage le long de l'axe (d).
▶ 2. La bonne réponse est la réponse B.
Les motifs 3 et 1 correspondent dans la rotation de centre O d'angle 72°.
▶ 3. La bonne réponse est la réponse B.
Le rapport de l'homothétie est 2 donc les aires sont multipliées par 22, c'est-à-dire par 4.
Exercice 4
▶ 1. On applique le programme de calcul.
On choisit 4.
42 = 16
16 + 3 × 4 = 28
28 – 10 = 18
On obtient bien 18 en prenant 4 au départ.
▶ 2. On applique le programme de calcul.
On choisit – 3.
(– 3)2 = 9
9 + 3 × (– 3) = 0
0 – 10 = – 10
On obtient – 10 en prenant – 3 au départ.
rappels
• Le carré d'un nombre est toujours positif.
• Le triple d'un nombre x est 3x.
▶ 3. Voici le script complété :
▶ 4. a) Prenons x comme nombre de départ. Le programme de calcul donne successivement :
x2
x2 + 3x
x2 + 3x – 10
Le résultat final est : x2 + 3x – 10.
b) (x + 5)(x – 2) = x2 – 2x + 5x – 10 = x2 + 3x – 10
On obtient bien le même résultat.
rappel
Double distributivité :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
c) Il s'agit de résoudre l'équation x2 + 3x – 10 = 0, donc de résoudre l'équation (x + 5)(x – 2) = 0. C'est une équation produit. Or, si un produit de facteurs est nul alors l'un au moins de ses facteurs est nul.
Donc : x + 5 = 0 ou x – 2 = 0. C'est-à-dire : x = – 5 ou x = 2.
Donc, pour obtenir 0 avec le programme de calculs, il faut choisir les nombres – 5 ou 2.
Exercice 5
▶ 1.
La production annuelle de déchets a diminué de 0,338 t en 2017 par rapport à 2007.
▶ 2. a) DABH a trois angles droits, c'est donc un rectangle et HB = DA = 39 cm.
Les points C, H et B sont alignés donc :
CH = CB – HB
CH = 67 – 39
CH = 28 cm.
b) CDH est rectangle en H donc, d'après le théorème de Pythagore, on a :
CD2 = CH2 + HD2
rappel
Dans la formule de Pythagore, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
532 = 282 + HD2
2 809 = 784 + HD2
HD2 = 2 809 – 784 = 2 025
Donc : HD = = 45 cm.
c) Aire du trapèze
d) Volume du pavé droit = L × l × h = 70 × 67 × (110 – 45) = 304 850 cm3.
attention !
Pense à convertir 1,10 m en centimètres.
Volume du prisme droit
= aire de la base × hauteur
= 2 385 × 70 = 166 950 cm3.
Par somme on trouve :
Volume du composteur = 304 850 + 166 950 = 471 800 cm3 = 0,471 800 m3 ≈ 0,5 m3.
Donc l'affirmation est vraie.