Exercice 1

▶ 1. Les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires à la droite (AB).

Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.

On en déduit que (AC) et (BD) sont parallèles.

▶ 2. Les droites (AB) et (CD) sont sécantes en E, les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

On peut donc appliquer le théorème de Thalès, et on a :

$\frac{\text{BE}}{\text{AE}}=\frac{\text{DE}}{\text{CE}}=\frac{\text{BD}}{\text{AC}}$ , soit $\frac{5}{20}=\frac{\text{DE}}{\text{EC}}=\frac{1}{\text{AC}}$ .

Donc, par le produit en croix, on a AC = $\frac{20\times 1}{5}=4\text{pas}$ .

▶ 3. Le triangle ACE est rectangle en A donc, d’après le théorème de Pythagore, on a :

AC² + AE² = CE²

4² + 20² = CE²

16 + 400 = CE²

Donc CE = $\sqrt[]{416}\approx \text{20,4 pas}$ .

Un pas a une longueur de 65 cm donc CE ≈ 20,4 × 65 = 1 326 cm.

Au décimètre près, CE = 13,3 m.

▶ 4. a) Le bâton parcourt 13,3 m en 5 s, donc sa vitesse moyenne vaut $V=\frac{\mathrm{13,3}}{5}=\text{2,66 m/s}$ .

La vitesse moyenne du bâton est de 2,66 m/s.

b) En 1 seconde, le bâton parcourt 2,66 m, soit 0,00266 km.

Donc en 1 heure, il parcourt 0,00266 × 3 600 = 9,576 km.

La vitesse moyenne du bâton est de 9,58 km/h environ : la vitesse moyenne est bien inférieure à 10 km/h.

Exercice 2

▶ 1. La bonne réponse est la réponse A.

Le motif 1 a été glissé de 3 carreaux vers la droite et 1 carreau vers le bas, il s’agit d’une translation.

▶ 2. La bonne réponse est la réponse B.

On repère la valeur 2 sur l’axe des ordonnées et on trace une droite horizontale qui coupe la représentation graphique de g en un point. On lit l’abscisse de ce point : c’est l’antécédent de 2. On a alors g(1) = 2.

▶ 3. La bonne réponse est la réponse B.

f(3) = 3 × 3² – 7 = 3 × 9 – 7 = 27 – 7 = 20.

▶ 4. La bonne réponse est la réponse B.

On ordonne les valeurs de la série selon l’ordre croissant :

La médiane est la valeur centrale : 4,91.

▶ 5. La bonne réponse est la réponse C.

$\frac{\mathrm{7,5}}{\mathrm{2,5}}=3$ donc on obtient les longueurs du triangle BUT en multipliant celles de LAC par 3. On doit donc multiplier l’aire du triangle LAC par 3² = 9 pour obtenir l’aire du triangle BUT.

Exercice 3

▶ 1. a) La bonne réponse est la proposition 3.

Les autres décompositions contiennent des nombres qui ne sont pas premiers : 9 = 3 × 3 ; 21 = 3 × 7.

a) Par divisions successives :

Donc : 156 = 2² × 3 × 13.

▶ 2. a) 252 ÷ 36 = 7 et 156 ÷ 36 ≈ 4,3 donc elle ne peut pas faire 36 paquets.

b) La collectionneuse veut utiliser toutes les sortes de cartes, donc on doit chercher un diviseur commun à 252 et 156.

Puisqu’elle veut un nombre maximal de paquets, on cherche le plus grand diviseur commun à 252 et 156.

Elle peut donc faire 2² × 3 = 12 paquets au maximum.

c) 252 ÷ 12 = 21 et 156 ÷ 12 = 13.

Il y aura alors 21 cartes « feu » et 13 cartes « terre ».

▶ 3. Il y a 156 cartes « terre » sur un total de 408 cartes.

Donc, la probabilité de tirer une carte « terre » est de : $\frac{156}{408}=\frac{12\times 13}{12\times 34}=$ $\frac{13}{34}$ .

Exercice 4

▶ 1. L’aire d’un carré de côté x vaut x ².

▶ 2. Aire(rectangle) = L × l = (x + 7)(x – 3) = x² – 3x + 7x – 21

Aire(rectangle) = x ² + 4 x – 21.

▶ 3. Ligne 5 : « ajouter 4 * x à R ».

Ligne 6 : « ajouter – 21 à R ».

Ligne 7 : « L’aire du rectangle est R ».

▶ 4. Remplaçons x par 8 dans le programme (ou dans la formule) :

8² + 4 × 8 – 21 = 64 + 32 – 21 = 75.

Donc en prenant 8 comme nombre de départ, le programme annonce 75.

▶ 5. On doit résoudre l’équation :

Aire(rectangle) = Aire(carré)

x² + 4x – 21 = x²

4x – 21 = 0

4x = 21

x = 21 ÷ 4 = 5,25

Il faut donc prendre 5,25 comme nombre de départ pour que les aires soient égales.

Exercice 5

▶ 1. Dans 1 journée, il y a 24 heures. Dans chaque heure, il y a 3 600 secondes. Il y a donc 86 400 secondes dans une journée.

Puisque 1 goutte tombe toutes les secondes, il tombera 86 400 gouttes en 1 journée.

▶ 2. On utilise un tableau de proportionnalité pour calculer le volume d’eau tombé en une journée :

Avec le produit en croix on obtient :

x = $\frac{\text{86}\text{400}\times \text{1}}{20}$ = 4 320 mL = 4,32 L

Donc le volume d’eau tombé en une journée est de 4,32 L.

Donc le volume d’eau tombé en 1 semaine est de 7 × 4,32 = 30,24 L.

▶ 3. L’intérieur de la vasque est un cylindre de rayon r = 40 ÷ 2 et de hauteur h = 15, son volume est :

$\begin{array}{c}V(\text{cylindre})=\text{π}\times r^2\times h\\ =\text{π}\times {20}^2\times 15\\ =6000\text{π}\end{array}$

Soit V(cylindre) ≈ 18 850 cm³, c’est-à-dire environ 18,85 L.

▶ 4. D’après les questions précédentes, le volume de la vasque (18,85 L) est inférieur au volume d’eau perdu par la fuite en une semaine (30,24 L).

Donc l’eau va déborder.

▶ 5. Le pourcentage de diminution de la consommation d’eau, arrondi à l’unité, vaut :

$\frac{\begin{array}{c}\text{valeur de la diminution}\\ \text{de la consommation}\end{array}}{\text{consommation initiale}}\times 100=\frac{165-148}{165}\times 100\approx 10$ .

La consommation quotidienne d’eau par habitant a baissé d’environ 10 % entre 2004 et 2018.