Exercice 1

▶ 1. Pour calculer l’étendue des prix de ces paires de lunettes, on fait la différence de la plus grande valeur et de la plus petite valeur de la ligne 3 du tableur :

Étendue des prix de ces paires de lunettes = 160 – 75 = 85 euros.

▶ 2. a) Pour remplir la case G2, il faut additionner les valeurs des cellules de B2 jusqu’à F2.

Voici deux formules possibles :

= SOMME(B2:F2) ou = B2 + C2 + D2 + E2 + F2

b) 1 200 + 950 + 875 + 250 + 300 = 3 575

3 575 paires de lunettes de soleil ont été vendues en 2022.

▶ 3. a) 1 200 × 75 + 950 × 100 + 875 × 110 + 250 × 140 + 300 × 160 = 364 250

Le montant total des ventes des paires de lunettes de soleil en 2022 est de 364 250 euros.

b) $\begin{array}{c}\text{prix moyen}=\frac{\text{montant total des ventes de lunettes de soleil en 2022}}{\text{nombre total de lunettes de soleil vendues en 2022}}\\ =\frac{364250}{3575}\approx \mathrm{101,888}\end{array}$

On en déduit que le prix moyen (arrondi au centime) d’une paire de lunettes de soleil vendue en 2022 est d’environ 101,89 euros.

Exercice 2

▶ 1. $\text{Aire}\left(\text{BCDE}\right)=L\times l=\text{BE}\times \text{BC}=\text{7 cm}\times \text{4,2 cm}=$ 29,7 cm².

▶ 2. a) ABE est un triangle rectangle en A tel que AB = 4,2 cm et BE = 7 cm.

Vu que deux longueurs des côtés de ce triangle rectangle sont connues, on peut donc utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur du troisième côté :

BE² = AB² + AE²

7² = 4,2² + AE²

49 = 17,64 + AE²

AE² = 49 – 17,64 = 31,36

On en déduit que $\text{AE}=\sqrt[]{\mathrm{31,36}}\text{ cm}=$ 5,6 cm.

b) $\text{Aire}\left(\text{ABE}\right)=\frac{\text{AB}\times \text{AE}}{2}=\frac{\text{4,2 cm}\times \text{5,6 cm}}{2}=$ 11,76 cm².

▶ 3. a) D’après le codage de la figure, les droites (ED) et (AH) sont toutes les deux perpendiculaires à (CF), donc les droites (ED) et (AH) sont parallèles.

b) Dans les triangles AHF et EDF, on a les informations suivantes :

les points A, E et F sont alignés, tout comme les points H, D et F ;

les droites (ED) et (HA) sont parallèles.

On peut donc utiliser le théorème de Thalès :

$\frac{\text{EF}}{\text{FA}}=\frac{\text{ED}}{\text{AH}}=\frac{\text{DF}}{\text{FH}}$, soit $\frac{\text{7 cm}}{\text{FA}}=\frac{\text{ED}}{\text{AH}}=\frac{\text{DF}}{\text{FH}}$.

Il est possible de calculer AH si on connaît la valeur des longueurs FA et ED.

Valeur de ED : BEDC est un rectangle donc ses côtés opposés sont de même longueur. On en déduit que ED = BC = 4,2 cm.

Valeur de AF : E appartient à [AF] donc AF = AE + EF, soit AF = 5,6 cm + 7 cm = 12,6 cm.

Calcul de AH : grâce aux égalités du théorème de Thalès, on a :$\frac{\text{7 cm}}{\text{12,6 cm}}=\frac{\text{4,2 cm}}{\text{AH}}$.

On en déduit que $\text{AH}=\frac{\text{4,2 cm}\times \text{12,6 cm}}{\text{7 cm}}=$ 7,56 cm.

Exercice 3

Pour chacune des questions suivantes, une explication est donnée même si cela n’était pas demandé dans l’énoncé.

▶ 1. La bonne réponse est la réponse B.

On sait que 60 % des 25 élèves de cette classe sont des filles.

Pour calculer le nombre de filles, il suffit de calculer $\frac{60}{100}\times 25=\mathrm{0,6}\times 25=15$.

▶ 2. La bonne réponse est la réponse C.

Dans le produit 2 × 9 × 7 le nombre 9 n’est pas premier, donc la réponse A est fausse.

L’expression $2^2\times 5^2+2\times 13$ est bien égale à 126 mais c’est une somme de deux produits et pas seulement un produit. Donc la réponse B est fausse.

▶ 3. La bonne réponse est la réponse A.

17 + 23 + 20 = 60

Il y a donc 60 jetons au total dans ce sac.

$\begin{array}{c}p\left(\text{obtenir un jeton rouge ou un jeton jaune}\right)=\frac{17+23}{60}=\frac{40}{60}\\ =\frac{2\times 20}{3\times 20}=\frac{2}{3}.\end{array}$

▶ 4. La bonne réponse est la réponse B.

L’octogone ABCDEFGH est régulier, donc $\widehat{\text{AOB}}=\widehat{\text{BOC}}=\dots =\widehat{\text{HOA}}$.

La valeur de chaque angle est donc égale à 360° ÷ 8 = 45°.

La rotation de centre O qui envoie A sur D est la rotation de centre O, d’angle 3 × 45° = 135° dans le sens anti-horaire.

On en déduit que l’image par cette rotation du point D est G et l’image du point C est F.

L’image de [DC] par cette rotation est donc [GF].

▶ 5. La bonne réponse est la réponse B.

$\text{Volume du pavé droit}=\text{2 m}\times \text{1,3 m}\times \text{1,5 m}={\text{3,9 m}}^3$

Donc la réponse A est fausse.

Comme 1 m³ = 1 000 L, alors 3,9 m³ = 3,9 × 1 000 L = 3 900 L.

Exercice 4

▶ 1. a) La hauteur d’une marche est de 17 cm et la hauteur de l’escalier est de 272 cm.

Toutes les marches ont la même hauteur, donc le nombre de marches est égale à : 272 ÷ 17 = 16.

Il faut bien prévoir 16 marches pour construire cet escalier.

b) La profondeur d’une marche est de 27 cm et il y a 16 marches identiques.

La longueur AB est égale à la somme des profondeurs des 16 marches : 16 × 27 = 432.

La longueur AB est égale à 432 cm.

▶ 2. a) Le triangle ABC est rectangle en B.

On connaît la longueur du côté adjacent et celle du côté opposé à l’angle $\widehat{\text{BAC}}$.

On peut donc utiliser la formule de la tangente pour calculer la mesure de $\widehat{\text{BAC}}$.

$\tan \left(\widehat{\text{BAC}}\right)=\frac{\text{BC}}{\text{AB}}=\frac{272}{432}$

donc $\widehat{\text{BAC}}$ ≈ 32,1°.

La mesure de l’angle $\widehat{\text{BAC}}$ arrondie au degré est de 32°.

b) Vu que la mesure de $\widehat{\text{BAC}}$ est comprise entre 25° et 40°, l’escalier permet une montée agréable.

▶ 3. Pour répondre à cette question, on doit comprendre à quoi correspond chaque ligne du programme Scratch pour le tracé de cet escalier.

La ligne 5 correspond au nombre total de marches de l’escalier c’est-à-dire 16 marches.

Ligne 5 :

La ligne 6 représente l’angle entre la droite (AB) et une contremarche, c’est-à-dire 90°.

Ligne 6 :

La ligne 7 permet de dessiner la hauteur d’une marche, c’est-à-dire un segment de 17 cm.

Ligne 7 :

La ligne 9 permet de dessiner la profondeur d’une marche, c’est-à-dire un segment de 27 cm.

Ligne 9 :

Exercice 5

▶ 1. a) Si on choisit –3 au départ, le résultat obtenu est bien 11.

b) Si on choisit 5,5 comme nombre de départ, le résultat du programme B est 12,5.

▶ 2. Appliquons le programme B au nombre de départ x et développons et/ou simplifions dès que possible les expressions littérales obtenues :

Si on choisit x comme nombre de départ, on obtient bien $3x-4$ avec le programme B.

▶ 3. a) On peut étudier une des deux fonctions, par exemple la fonction f.

D’après l’énoncé, $f\left(x\right)=-2x+5$. La fonction f est donc une fonction affine de coefficient directeur –2 et dont l’ordonnée à l’origine vaut +5.

Comme l’ordonnée à l’origine est la valeur de l’ordonnée du point d’intersection entre la représentation graphique de la fonction affine et l’axe des ordonnées, on en déduit graphiquement que D₂ est la représentation graphique de la fonction f, et donc que D₁ est la représentation graphique de la fonction g.

b) Le nombre dont l’image est la même par la fonction f et la fonction g (c’est-à-dire lorsque $f\left(x\right)=g\left(x\right)$) est l’abscisse du point d’intersection des droites $D$₁ et $D$₂.

Graphiquement, on trouve environ 1,8.

▶ 4. Pour calculer la valeur du nombre de départ (que nous noterons x) pour lequel les programmes A et B donnent le même résultat, il faut résoudre l’équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.

- 2x + 5 = 3x - 4

- 5x + 5 = - 4

- 5x = - 9

$x=\frac{-9}{-5}=\mathrm{1,8}$

Si le nombre de départ vaut 1,8, alors les programmes A et B donnent le même résultat.