Exercice 1

▶ 1. Il y a 37 issues possibles et un seul cas favorable donc p(« 7 ») = $\frac{1}{37}$.

▶ 2. Les cases noires et paires correspondent aux nombres : 4, 2, 6, 8, 10, 24, 20, 22, 28, 26. Il y en a donc 10.

p(« case noire et paire ») = $\frac{10}{37}$.

▶ 3. a) p(« numéro inférieur ou égal à 6 ») = p(0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6) = $\frac{7}{37}$.

b) Les évènements « numéro inférieur ou égal à 6 » et « numéro supérieur à 7 » sont contraires.

Donc p(« numéro supérieur à 7 ») = 1 − p(« numéro inférieur ou égal à 6 »), soit :

p(« numéro supérieur à 7 ») = $1-\frac{7}{37}=\frac{37}{37}-\frac{7}{37}=$ $\frac{30}{37}$.

c) Il s’agit de comparer les fractions $\frac{3}{4}$ et $\frac{30}{37}$.

Mettons-les au même dénominateur : $\frac{3}{4}=\frac{3\times 37}{4\times 37}=\frac{111}{148}$ et $\frac{30}{37}=\frac{30\times 4}{37\times 4}=\frac{120}{148}$.

Donc $\frac{30}{37}>\frac{3}{4}$ et le joueur a raison.

Exercice 2

▶ 1. a) On obtient bien 56, avec le programme A, en prenant comme nombre de départ 5.

5

5² = 25

25 × 2 = 50

50 + 2 × 5 = 60

60 – 4 = 56

b) On obtient 70, avec le programme B, en prenant comme nombre de départ −9.

Nombre choisi = −9

Résultat 1 = −9 + 2 = −7

Résultat 2 = −9 – 1 = −10

Le résultat est −7 × (−10) = 70

▶ 2. a) C’est l’expression E2 qui donne l’expression générale du résultat du programme B.

b) Prenons x comme nombre de départ :

x

x²

2x²

2x² + 2x

2x² + 2x − 4

Le résultat du programme A s’écrit donc 2x² + 2x − 4.

▶ 3. Développons le résultat du programme B :

(x + 2)(x − 1) = x² – x + 2x – 2 = x² + x − 2.

Factorisons par 2 le résultat du programme A : 

2x² + 2x – 4 = 2(x² + x − 2).

On obtient bien que le résultat du programme A est le double du résultat du programme B.

Exercice 3

▶ 1. Le diamètre d’un cercle est le double du rayon de ce même cercle.

Donc [AB] mesure 2 × 4,5 cm = 9 cm.

▶ 2. [AB] est le plus grand côté du triangle.

AB² = 9² = 81

AD² + DB² = 7,2² + 5,4² = 51,84 + 29,16 = 81

Donc AB² = AD² + DB².

Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABD est rectangle en D.

▶ 3. (DF) et (BE) sont sécantes en A ; (BD) et (EF) sont parallèles.

Donc, d’après le théorème de Thalès, on a $\frac{\text{AF}}{\text{AD}}=\frac{\text{AE}}{\text{AB}}=\frac{\text{FE}}{\text{DB}}$.

C’est-à-dire $\frac{\text{AF}}{\mathrm{7,2}}=\frac{\mathrm{2,7}}{9}=\frac{\text{FE}}{\mathrm{5,4}}$.

Donc, avec le produit en croix, on a AF = $\frac{\mathrm{7,2}\times \mathrm{2,7}}{9}$ = 2,16 cm.

▶ 4. a) Aire(ABD) = $\frac{L\times l}{2}$ = $\frac{\text{BD}\times \text{DA}}{2}$ = $\frac{\mathrm{5,4}\times \mathrm{7,2}}{2}$ = 19,44 cm².

b) Aire(disque) = π × r² = π × 4,5² = 20,25π ≈ 63,62 cm².

▶ 5. $\frac{\text{aire}\text{(ABD)}}{\text{aire}\text{(disque)}}\times 100\approx \frac{\mathrm{19,44}}{\mathrm{63,62}}\times 100\approx \mathrm{30,6}$.

Donc l’aire du triangle ABD représente environ 30,6 % de l’aire du disque.

Exercice 4

▶ 1. La bonne réponse est la réponse A.

f(−4) = 3 × (−4) − 2 = −12 − 2 = −14.

▶ 2. La bonne réponse est la réponse A.

(−5)³ = (−5) × (−5) × (−5) = −125.

▶ 3. La bonne réponse est la réponse B.

Si C se transforme en A alors J glisse sur le point E.

▶ 4. La bonne réponse est la réponse C.

Prenons y = 3 sur l’axe des ordonnées. On lit que l’antécédent de 3 par cette fonction est 0.

▶ 5. La bonne réponse est la réponse B.

Rangeons les valeurs dans l’ordre croissant : 1,46 ; 1,6 ; 1,65 ; 1,67 ; 1,7 ; 1,72 ; 1,75.

La valeur centrale est la médiane ; ici, c’est 1,67.

▶ 6. La bonne réponse est la réponse A.

ABC est rectangle en A.

$\cos (\text{α})=\frac{\text{côté adjacent à }\widehat{\text{B}}}{\text{hypoténuse}}=\frac{\text{AB}}{\text{BC}}=\frac{4}{5}=\mathrm{0,8}$.

Exercice 5

Partie A

▶ 1. $\frac{132}{15}=\mathrm{8,8}$

Donc 132 n’est pas divisible par 15.

On ne peut pas faire 15 sachets.

▶ 2. a)

Donc 330 = 2 × 3 × 5 × 11 et 132 = 2² × 3 × 11.

b) Le plus grand diviseur commun à 330 et 132 est 2 × 3 × 11 = 66.

Donc le plus grand nombre de sachets que la présidente pourra réaliser est 66.

c) $\frac{330}{66}=\text{5 }$et $\frac{132}{66}=2$

Donc elle mettra, dans chaque sachet, 5 autocollants et 2 drapeaux.

Partie B

V_{pavé droit} = L × l × h = 25 × 15 × 2 = 750 m³

V_rempli = $\frac{9}{10}\times 750$ = 675 m³

Coût du remplissage : 4,14 × 675 = 2 794,5 €

Donc le remplissage de la piscine coûtera 2 794,5 €.