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Sujet du brevet de France métropolitaine septembre 2020

France métropolitaine • Septembre 2020

Sujet du brevet de France métropolitaine 2020

2 heures

100 points

Exercice 1 • Un QCM très varié 20 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Sur la copie, indiquer le numéro de la question et recopier, sans justifier, la réponse choisie.

Tableau de 6 lignes, 4 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : Questions;Réponse A;Réponse B;Réponse C;Corps du tableau de 5 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. On donne la série de nombres suivante : 10 ; 6 ; 2 ; 14 ; 25 ; 12 ; 22.La médiane est…; 12; 13; 14; Ligne 2 : ▶ 2. Un sac opaque contient 50 billes bleues, 45 rouges, 45 vertes et 60 jaunes. Les billes sont indiscernables au toucher et on tire une bille au hasard dans ce sac.La probabilité que cette bille soit jaune est…; 60; 0,3; 160; Ligne 3 : ▶ 3. La décomposition en facteurs premiers de 2 020 est…; 2 × 10 × 101; 5 × 5 × 101; 2 × 2 × 5 × 101; Ligne 4 : ▶ 4. La formule qui permet de calculer le volume d'une boule de rayon R est…; 2πR; πR2; 43πR3; Ligne 5 : ▶ 5. Une homothétie de centre A et de rapport −2 est une transformation qui…; agrandit les longueurs.; réduit les longueurs.; conserve les longueurs.;

Exercice 2 • Que de consignes ! 20 points

On considère le programme de calcul suivant :

Tableau de 1 lignes, 1 colonnes ;Corps du tableau de 1 lignes ;Ligne 1 : Choisir un nombre.Ajouter 7 à ce nombre.Soustraire 7 au nombre choisi au départ.Multiplier les deux résultats précédents.Ajouter 50.;

1. Montrer que si le nombre choisi au départ est 2, alors le résultat obtenu est 5.

2. Quel est le résultat obtenu avec ce programme si le nombre choisi au départ est −10 ?

3. Un élève s'aperçoit qu'en calculant le double de 2 et en ajoutant 1, il obtient 5, le même résultat que celui qu'il a obtenu à la question 1. Il pense alors que le programme de calcul revient à calculer le double du nombre de départ et à ajouter 1.

A-t-il raison ?

4. Si x désigne le nombre choisi au départ, montrer que le résultat du programme de calcul est x2 + 1.

5. Quel(s) nombre(s) doit-on choisir au départ du programme de calcul pour obtenir 17 comme résultat ?

Exercice 3 • La balançoire 23 points

Une entreprise fabrique des portiques pour installer des balançoires sur des aires de jeux.

Document 1Croquis d'un portique

mat3_2009_07_00C_01

Document 2Coût du matériel

mat3_2009_07_00C_02

Poutres en bois de diamètre 100 mm

Longueur 4 m : 12,99 € l'unité ;

Longueur 3,5 m : 11,75 € l'unité ;

Longueur 3 m : 10,25 € l'unité.

Barres de maintien latérales en bois

Longueur 3 m : 6,99 € l'unité ;

Longueur 2 m : 4,75 € l'unité ;

Longueur 1,5 m : 3,89 € l'unité.

Ensemble des fixations nécessaires pour un portique : 80 €.

Ensemble de deux balançoires pour un portique : 50 €.

1. Déterminer la hauteur AH du portique, arrondie au cm près.

2. Les barres de maintien doivent être fixées à 165 cm du sommet (AN = 165 cm).

Montrer que la longueur MN de chaque barre de maintien est d'environ 140 cm.

3. Montrer que le coût minimal d'un tel portique équipé de balançoires s'élève à 196,98 €.

4. L'entreprise veut vendre ce portique équipé 20 % plus cher que son coût minimal.

Déterminer ce prix de vente arrondi au centime près.

5. Pour des raisons de sécurité, l'angle BAC^ doit être compris entre 45° et 55°. Ce portique respecte-t-il cette condition ?

Exercice 4 • Occupations pendant les vacances scolaires 23 points

Une association propose diverses activités pour occuper les enfants pendant les vacances scolaires.

Plusieurs tarifs sont proposés :

Tarif A : 8 € par demi-journée.

Tarif B : une adhésion de 30 € donnant droit à un tarif préférentiel de 5 € par demi-journée.

Un fichier sur tableur a été préparé pour calculer le coût à payer en fonction du nombre de demi-journées d'activités pour chacun des tarifs proposés :

Tableau de 4 lignes, 7 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : ;A;B;C;D;E;F;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : 1; Nombre de demi-journées; 1; 2; 3; 4; 5; Ligne 2 : 2; Tarif A; 8; 16; ; ; ; Ligne 3 : 3; Tarif B; 35; 40; ; ; ;

Les questions 1, 2, 4 et 5 ne nécessitent pas de justification.

1. Compléter le tableau ci-dessus.

2. Retrouver parmi les réponses suivantes la formule qui a été saisie dans la cellule B3 avant de l'étirer vers la droite :

Tableau de 2 lignes, 5 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : Réponse A;Réponse B;Réponse C;Réponse D;Réponse E;Corps du tableau de 1 lignes ;Ligne 1 : =8*B1; =30*B1+5; =5*B1+30*B1; =30+5*B1; =35;

3. On considère les fonctions f et g qui donnent les tarifs à payer en fonction du nombre x de demi-journées d'activités.

Tarif A : f(x) = 8x.

Tarif B : g(x) = 30 + 5x.

Parmi ces fonctions, quelle est celle qui traduit une situation de proportionnalité ?

4. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté la fonction g.

mat3_2009_07_00C_03

Représenter sur ce même graphique la fonction f.

5. Déterminer le nombre de demi-journées d'activités pour lequel le tarif A est égal au tarif B.

6. Avec un budget de 100 €, déterminer le nombre maximal de demi-journées auxquelles on peut participer. Décrire la méthode choisie.

Exercice 5 • L'Éolienne 14 points

On cherche à dessiner une éolienne avec le logiciel Scratch ; elle est formée de 3 pales qui tournent autour d'un axe central.

ph © pabloprat/stock.adobe.com

mat3_2009_07_00C_04

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Éolienne modélisée avec Scratch

1. La figure ci-dessous représente une pale de l'éolienne.

mat3_2009_07_00C_06

DEC est un triangle isocèle en D.

B est le milieu de [EC].

[AB] est perpendiculaire à [EC].

ECD^ = 85°.

mat3_2009_07_00C_07

a) Montrer que l'angle CDE^ est égal à 10°.

b) Le script « pale » ci-dessous permet de tracer une pale de l'éolienne avec le logiciel Scratch.

Pourquoi la valeur indiquée dans le bloc de la ligne no 6 est-elle 95 ?

c) Dans ce même script « pale », par quelle valeur doit-on compléter le bloc situé à la ligne no 8 ? Recopier cette valeur sur votre copie.

2. Le script « eolienne » ci-dessous permet de tracer l'éolienne avec le logiciel Scratch.

mat3_2009_07_00C_08

Par quelle valeur doit-on compléter la boucle « répéter » ?

Recopier cette valeur sur votre copie.

 

Les clés du sujet

Exercice 1

L'intérêt du sujet

Ce sujet aborde des notions très importantes sans calculs compliqués. Seuls la connaissance du cours et le raisonnement permettent de répondre aux différentes questions posées.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 5 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 5 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Calculer une médiane; Relis attentivement la définition de la médiane d'une série statistique.; Ligne 2 : ▶ 2. Calculer des probabilités dans une situation simple; Rappelle-toi la définition de la probabilité de réalisation d'un événement.Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.; Ligne 3 : ▶ 3. Connaître la définition d'un nombre premier; Pour t'entraîner à reconnaître les nombres premiers, tu peux :– choisir au hasard quelques nombres entre 1 et 50 puis dire s'ils sont premiers ou pas ;– dire pourquoi 32 n'est pas un nombre premier.; Ligne 4 : ▶ 4. Calculer le volume d'une boule connaissant son rayon; Un volume possède 3 dimensions. Donc seule une réponse qui multiplie 3 longueurs est acceptable.; Ligne 5 : ▶ 5. Reconnaître une homothétie; Note qu'ici le rapport de l'homothétie est négatif (– 2). Fais bien le rapprochement entre le rapport de l'homothétie et l'action de celle-ci sur les longueurs.;

Exercice 2

L'intérêt du sujet

Les programmes de calculs facilitent l'apprentissage du calcul mental. Ils servent à développer la mémoire et l'attention, ce qui est capital.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 4 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 4 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. et ▶ 2. Bien lire les consignes et vérifier les résultats; Effectue les différents calculs dans l'ordre indiqué.Fais attention à la règle des signes !Enfin, vérifie les résultats avec une calculatrice.; Ligne 2 : ▶ 3. Utiliser un contre-exemple; Veille à bien effectuer les calculs tout en soignant la rédaction.; Ligne 3 : ▶ 4. Écrire une expression littérale; Au lieu de travailler sur des nombres, utilise des lettres.; Ligne 4 : ▶ 5. Utiliser une identité remarquable; Utilise le théorème : lorsqu'un produit de facteurs est nul, alors l'un des facteurs au moins est nul.;

Exercice 3

L'intérêt du sujet

Une balançoire pour les sportifs et à prix imbattable ! La balançoire peut être utilisée à tout âge.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 5 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 5 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Utiliser le théorème de Pythagore; Applique le théorème de Pythagore au triangle AHC, rectangle en H.; Ligne 2 : ▶ 2. Utiliser le théorème de Thalès; Les points A, N, C et A, M, B sont alignés dans le même ordre et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Tu peux donc appliquer le théorème de Thalès et en déduire MN.; Ligne 3 : ▶ 3. Sélectionner les matériaux à utiliser; Calcule les prix des différents composants.Conclus en calculant le prix total.; Ligne 4 : ▶ 4. Appliquer un pourcentage; Calcule 20 % du coût minimal du portique. Donne le montant du prix de vente.; Ligne 5 : ▶ 5. Déterminer la mesure d'un angle; Calcule sin HAC^ dans le triangle CHA rectangle en H.;

Exercice 4

L'intérêt du sujet

Comment réaliser des économies grâce aux mathématiques ?

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 5 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 5 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Utiliser un tableur; En complétant le tableau, distingue bien le tarif B du tarif A.; Ligne 2 : ▶ 2. Utiliser un tableur; Tu peux tester les différentes réponses.; Ligne 3 : ▶ 3. Reconnaître l'expression algébrique d'une fonction linéaire; Une situation de proportionnalité se traduit par une fonction linéaire.; Ligne 4 : ▶ 4. Représenter une fonction linéaire; Une fonction linéaire se représente par une droite passant par l'origine du repère.; Ligne 5 : ▶ 5. et ▶ 6. Lire un graphique; ▶ 5. Lis les coordonnées du point d'intersection de Cf et de Cg.▶ 6. Trace la droite horizontale d'ordonnée 100 et repère ses points d'intersection avec les deux courbes.;

Exercice 5

L'intérêt du sujet

Le développement des énergies renouvelables est un enjeu crucial de nos sociétés ; à travers cet exercice, tu vas t'intéresser aux éoliennes.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 3 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. a) Connaître les relations angulaires dans un triangle; Combien vaut toujours la somme des trois angles d'un triangle ?; Ligne 2 : ▶ 1. b) et c) Comprendre un algorithme; b) Observe qu'une fois arrivé au point C, le stylo est orienté vers le bas. Calcule alors de quel angle il doit tourner pour s'orienter vers D.c) Adopte le même raisonnement à partir du point D.; Ligne 3 : ▶ 2. Connaître la boucle « répéter »; Demande-toi combien de pales composent l'éolienne.;

Exercice 1

1. Réponse A.

La médiane est la valeur qui partage la série statistique, rangée par ordre croissant ou décroissant, en deux parties de même effectif.

Écrivons la série rangée par ordre croissant.

On a : 2 – 6 – 10 – 12 – 14 – 22 – 25.

Cette série rangée présente 3 termes avant 12 et 3 termes après 12.

Conclusion : 12 est la médiane de la série statistique.

2. Réponse B.

Quand les résultats d'une expérience ont tous la même probabilité de réalisation, alors :

p(E) = nombre de résultats favorablesnombres de résultats possibles nN.

Dans le sac il existe 60 billes jaunes et au total 200 billes.

Soit E l'événement « la bille tirée est jaune ».

Alors p(E) = 60200 ou encore p(E)=0,3.

3. Réponse C.

Pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, on recherche les nombres premiers qui divisent ce nombre.

2 020 est divisible par 2, car 2 0202 = 1 010.

1 010 est divisible par 2, car 1 0102 = 505.

505 est divisible par 5, car 5055 = 101.

101 est un nombre premier.

On a donc 2020=2×2×5×101.

4. Réponse C.

La formule qui permet de calculer le volume d'une boule est 43×π×R3.

remarque

C'est la seule proposition correspondant à un volume.

5. Réponse A.

L'homothétie donnée est une transformation qui agrandit les longueurs, son rapport étant supérieur à 1 ou inférieur à – 1.

info +

Si le rapport d'une homothétie est négatif, alors les points considérés et leurs images sont de part et d'autre du centre de l'homothétie.

Exercice 2

1. Si le nombre choisi au départ est 2, alors on lui ajoute 7 et on trouve 9.

On soustrait 7 au nombre de départ et on obtient (2 – 7) soit – 5.

On multiplie les deux résultats précédents et on obtient (– 5) × 9 c'est-à-dire – 45.

Enfin on ajoute 50 et on obtient (– 45 + 50) soit 5.

2. Le nombre choisi au départ est – 10, alors on lui ajoute 7 et on trouve – 3.

On soustrait 7 au nombre de départ et on obtient (– 10 – 7) soit – 17.

On multiplie les deux résultats précédents et on obtient 51.

Enfin on ajoute 50 à 51 et on trouve 101.

3. Pour résumer, si on choisit 2, le programme donne 5.

Si on choisit 2, la technique de l'élève donne 5.

Si on choisit – 10, le programme donne 101.

Si on choisit – 10, la technique de l'élève donne – 19.

L'élève a donc tort.

4. Si le nombre choisi au départ est x, alors on lui ajoute 7 et on trouve x + 7.

On soustrait 7 au nombre de départ et on obtient x – 7.

On multiplie entre eux les deux résultats précédents et on obtient (x + 7) × (x – 7) c'est-à-dire x2 – 49.

Enfin on ajoute 50 et on obtient x2 + 1.

Conclusion : le résultat du programme de calcul est x2+1.

5. Pour obtenir 17 comme résultat, il faut que x2 + 1 = 17, soit x2 – 16 = 0.

Utilisons l'identité remarquable a2b2 = (ab) × (ab).

Nous savons que x2 – 16 = x2 – 42 = (x + 4) × (x – 4) = 0.

Puisque nous avons un produit de facteurs nul, alors l'un des facteurs au moins est nul :

x + 4 = 0 soit x = – 4 ou x – 4 = 0 soit x = 4.

L'équation admet deux solutions 4 et – 4.

Exercice 3

1. Appliquons le théorème de Pythagore au triangle AHC rectangle en H.

AC2 = AH2 + CH2 ou encore AH2 = AC2 – CH2.

Alors AH2 = 3422 – 1452 = 95 939.

AH = 95 939 ou encore AH  310 cm (valeur approchée au cm près).

2. Les points A, N, C sont alignés dans le même ordre que les points A, M, B et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Nous pouvons appliquer le théorème de Thalès et écrire ANAC = MNBC.

Alors 165342 = MN290 et le produit en croix permet d'écrire

MN = 165×290342.

Conclusion : MN = 140 cm (valeur approchée au cm près).

3. On sélectionne les différents matériaux utilisés et on indique les prix correspondants :

la poutre principale de longueur 4 m et coûtant 12,99 € ;

4 poutres de 3,5 m de longueur et coûtant 11,75 € l'unité soit un coût total de 47 € ;

1 barre de maintien de longueur 3 m et coûtant 6,99 €. On la coupe pour obtenir deux morceaux de même longueur 1,4 m ;

ensemble de fixations pour 1 portique à 80 € ;

ensemble de deux balançoires à 50 €.

attention !

Réfléchis bien à la notion de coût minimum !

Coût total C = 12,99 + 47 + 6,99 + 80 + 50,

soit C=196,98 €.

4. Calculons le prix de vente T du portique.

T = 196,98 + 20100 × 196,98 ou encore T=236,38 € au centime d'euro près.

5. Dans le triangle HAC rectangle en H, sinHAC^ = HCAC ou encore sinHAC^ = 145342 ≈ 0,424. La calculatrice donne HAC^ = 25,09° (valeur au centième de degré près).

De plus, le triangle BAC est isocèle en A.

Donc (AH) est la bissectrice de l'angle BAC^ et

BAC^ = 2 × 25,09° = 50,18°.

La mesure de cet angle est bien comprise entre 45° et 55°.

Conclusion : le portique respecte la condition de sécurité.

Exercice 4

1. Tableau complété.

Tableau de 4 lignes, 7 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : ;A;B;C;D;E;F;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : 1; Nombre de demi-journées; 1; 2; 3; 4; 5; Ligne 2 : 2; Tarif A; 8; 16; 24; 32; 40; Ligne 3 : 3; Tarif B; 35; 40; 45; 50; 55;

2. Réponse D.

La formule qui a été saisie dans la cellule B3 est =30+5*B1.

3. La fonction qui traduit une situation de proportionnalité est la fonction f. En effet cette fonction est linéaire et sa représentation graphique passe par l'origine du repère et par le point (12 ; 96).

4. Schéma complété.

mat3_2009_07_00C_09

5. Les droites Cf et Cg se coupent en P(10 ; 80).

Conclusion : pour 10 demi-journées d'activités, les prix à payer sont les mêmes.

remarque

On peut aussi résoudre ces deux dernières questions par le calcul.

6. La droite d'équation y = 100 coupe la droite Cg au point R d'abscisse 14, tandis que cette même droite y = 100 coupe la droite Cf au point S d'abscisse un peu supérieure à 12.

Avec 100 euros, il est possible de participer à 14 demi-journées d'activités au plus.

Exercice 5

mat3_2009_07_00C_10

1. a) La somme des angles d'un triangle vaut toujours 180°.

Donc : CDE^=1808585=10°.

b) Le stylo doit tourner d'un angle de 180 – 85 = 95°.

c) La valeur à recopier à la ligne 8 est 180 – 10 = 170°.

2. La valeur à écrire dans la boucle « répéter » est 3, car il y a 3 pales identiques à construire.

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