Troisième Mathématiques Comparer, calculer et résoudre des problèmes

Sprint final

France métropolitaine • Septembre 2021

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France métropolitaine • Septembre 2021

Sujet du brevet de France métropolitaine septembre 2021

2 heures

100 points

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 • QCM nombres et géométrie 20 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Chaque question n’a qu’une seule bonne réponse. Pour chaque question, précisez sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée pour cet exercice.

Tableau de 6 lignes, 4 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : Question;Réponse A;Réponse B;Réponse C;Corps du tableau de 5 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. 47+521=…; 921; 928; 1721; Ligne 2 : ▶ 2. Une urne contient 3 boules jaunes, 2 boules bleues et 4 boules vertes, indiscernables au toucher.On tire une boule au hasard.Quelle est la probabilité d’obtenir une boule verte ?; 45; 49; 59; Ligne 3 : ▶ 3. Sur quelle figure a-t-on représenté une flèche et son image par une rotation de centre O et d’angle 90° ?; ; ; ; Ligne 4 : ▶ 4. La décomposition en produit de facteurs premiers de 117 est :; 3 × 3 × 13; 9 × 13; 3 × 7 × 7; Ligne 5 : ▶ 5. 1(− 2)×(− 2)×(− 2)=…; (− 2)−3; (− 2)3; 2−3;

Exercice 2 • Surveillance des tortues de Madagascar 20 points

Sur l’île de Madagascar, un scientifique mène une étude sur les tortues vertes.

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ph © shanemyersphoto/stock.adobe.com

La tortue verte a pour nom scientifique Chelonia mydas.

La carapace mesure en moyenne 115 cm et l’animal pèse entre 80 et 130 kg.

Elle est classée comme espèce « en danger ».

Afin de surveiller la bonne santé des tortues, elles sont régulièrement pesées. Voici les données relevées par ce scientifique en mai 2021.

Tableau de 3 lignes, 8 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : Lettres de marquage;A-001;A-002;A-003;A-004;A-005;A-006;A-007;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Sexe de la tortue; Mâle; Femelle; Femelle; Femelle; Mâle; Femelle; Femelle; Ligne 2 : Masse (en kg); 113; 96; 125; 87; 117; 104; 101;

▶ 1. Calculer l’étendue de cette série statistique.

▶ 2. Calculer la masse moyenne de ces 7 tortues. Arrondir le résultat à l’unité.

▶ 3. Déterminer la médiane de cette série statistique. Interpréter le résultat.

▶ 4. Est-il vrai que les mâles représentent moins de 20 % de cet échantillon ?

▶ 5. L’île de Madagascar a pour coordonnées géographiques : (20° sud, 45° est).

Placer une croix sur le planisphère fourni ci-dessous afin de marquer la position de l’île de Madagascar.

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Exercice 3 • Un programme de calcul carré 20 points

On considère le programme de calcul ci-dessous.

Choisir un nombre.

Ajouter 2 à ce nombre.

Prendre le carré du résultat précédent.

Soustraire le carré du nombre de départ au résultat précédent.

On a utilisé la feuille de calcul ci-dessous pour appliquer ce programme de calcul au nombre 5 ; le résultat obtenu est 24.

Tableau de 6 lignes, 3 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : ;A;B;Corps du tableau de 5 lignes ;Ligne 1 : 1; Programme; Résultat; Ligne 2 : 2; Choisir un nombre; 5; Ligne 3 : 3; Ajouter 2 à ce nombre; 7; Ligne 4 : 4; Prendre le carré du résultat précédent; 49; Ligne 5 : 5; Soustraire le carré du nombre de départ au résultat précédent; 24;

▶ 1. Pour les questions suivantes, faire apparaître les calculs sur la copie.

a) Si on choisit 2 comme nombre de départ, vérifier qu’on obtient 12 comme résultat.

b) Si on choisit – 8 comme nombre de départ, quel résultat obtient-on ?

▶ 2. Parmi les trois propositions suivantes, recopier sur votre copie la formule qui a été saisie dans la cellule B5.

Tableau de 1 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 1 lignes ;Ligne 1 : = B4 – B2 * B2; = B2 + 2; = B3 * B3;

▶ 3. a) Si l’on choisit x comme nombre de départ, exprimer en fonction de x le résultat final de ce programme de calcul.

b) Montrer que ${(x + 2)}^{2} - x^{2} = 4 x + 4$ .

▶ 4. Si on choisit un nombre entier au départ, est-il exact que le résultat du programme est toujours un multiple de 4 ? Justifier.

Exercice 4 • Triangle et quadrilatère emboîtés 20 points

Voici trois programmes réalisés avec l’application Scratch.

Tableau de 2 lignes, 3 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : Programme 1;Programme 2;Programme 3;Corps du tableau de 1 lignes ;Ligne 1 : ; ; ;

▶ 1. Ils donnent les trois figures suivantes constituées de triangles et de quadrilatères identiques.

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a) Quelle est la nature du triangle et du quadrilatère sur chaque figure ? Aucune justification n’est attendue.

b) Quelle est la valeur manquante à la ligne 8 dans ces trois programmes ?

c) Indiquer sur la copie, pour chaque figure, le numéro du programme qui permet de l’obtenir.

▶ 2. a) Maintenant, nous allons modifier les programmes précédents pour construire d’autres figures pour lesquelles le périmètre du quadrilatère est égal au périmètre du triangle. Quelle valeur du pas doit-on alors choisir à la ligne 8 de chaque programme ?

b) Représenter la figure A obtenue avec cette nouvelle valeur, en prenant 1 cm pour 25 pas.

Exercice 5 • Redresser l’étagère 20 points

Une famille a acheté une étagère qu’elle souhaite placer le long d’un mur.

▶ 1. L’étagère était affichée au prix de 139,90 €. La famille a obtenu une réduction de 10 %. Quel a été le montant de cette réduction ?

▶ 2. Voici l’image de profil qu’on peut voir sur le guide de montage de l’étagère ; ce dessin n’est pas à l’échelle.

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L’étagère a été montée à plat sur le sol de la pièce ; elle est donc en position 1. On veut s’assurer qu’elle ne touchera pas le plafond au moment de la relever pour atteindre la position 2. On ne dispose d’aucun instrument de mesure.

Avec les données du schéma précédent, vérifier que l’étagère ne touchera pas le plafond.

▶ 3. Dans cette question, on supposera que le meuble a pu être disposé contre le mur.

On installe maintenant quatre tablettes horizontales régulièrement espacées et représentées ici par les segments [DE], [FG], [HI] et [JK].

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a) Calculer la longueur C′E.

b) Calculer la longueur de la tablette [DE].

c) Calculer la longueur de la tablette [HI].

Rappels des données :

B′C′ = 2,25 m

AB′ = 0,80 m

Les clés du sujet

Exercice 1

L’intérêt du sujet

Ces questions indépendantes permettent de revoir des points très précis de calculs numériques.

Nos coups de pouce, question par question

$Tableau de 5 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 5 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Additionner des fractions; Pour ajouter deux fractions, tu dois les mettre au même dénominateur.; Ligne 2 : ▶ 2. Calculer une probabilité simple; La probabilité d’un événement est le quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles.; Ligne 3 : ▶ 3. Reconnaître une transformation du plan; Une rotation fait pivoter la figure.; Ligne 4 : ▶ 4. Décomposer en produit de facteurs premiers; Teste si le nombre est divisible par 2, puis par 3, etc.; Ligne 5 : ▶ 5. Connaître la définition de l’inverse d’une puissance; L’inverse de an est 1an et se note a−n.;$

Exercice 2

L’intérêt du sujet

Les statistiques sont un des domaines des mathématiques qui permettent l’étude chiffrée de notre monde. Ici, tu vas découvrir son utilisation pour suivre une population de tortues.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 5 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 5 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Calculer une étendue; L’étendue est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite.; Ligne 2 : ▶ 2. Calculer une moyenne arithmétique; Tu dois ajouter toutes les valeurs et diviser le tout par le nombre de valeurs.; Ligne 3 : ▶ 3. Calculer une médiane; Range les valeurs par ordre croissant et prends celle qui est centrale.; Ligne 4 : ▶ 4. Calculer un pourcentage; Tu dois diviser le nombre de mâles par le nombre total d’individus, puis multiplier par 100.; Ligne 5 : ▶ 5. Se repérer sur la sphère terrestre; La latitude s’obtient par rapport à l’équateur (nord ou sud). La longitude s’obtient par rapport au méridien de Greenwich (est ou ouest).L’échelle pour les parallèles est ici de 10° par graduation ; pour les méridiens, de 15° par graduation.;

Exercice 3

L’intérêt du sujet

Cet exercice te permet de réviser une bonne partie du calcul littéral de collège.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 5 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 5 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Calculer avec un programme; Suis chaque instruction, ligne par ligne.; Ligne 2 : ▶ 2. Déterminer une formule dans un tableur; Il s’agit de soustraire à la valeur dans B4 le carré de la valeur de départ.; Ligne 3 : ▶ 3. a) Donner la forme générale d’un programme de calcul; Refais les calculs de la question 1. en remplaçant la valeur donnée par x.; Ligne 4 : b) Connaître les identités remarquables; Développe l’identité remarquable avec la formule : (a+b)2=a2+2ab+b2.; Ligne 5 : ▶ 4. Factoriser une expression littérale; Factorise par 4 l’expression trouvée.;

Exercice 4

L’intérêt du sujet

Cet exercice va te permettre de travailler sur Scratch et de revoir les équations de base.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 4 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 4 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. a) Reconnaître des figures usuelles; Remarque que les figures tracées sont régulières.; Ligne 2 : b) et c) Comprendre un algorithme; b) Le côté du carré est égal au côté du triangle.c) Lis chaque programme, spécialement la ligne 6.; Ligne 3 : ▶ 2. a) Résoudre une équation; Calcule le périmètre du triangle puis résous une équation pour trouver la longueur du côté du carré.; Ligne 4 : b) Tracer une figure complexe; Construis le triangle de 4 cm de côté puis le carré de 3 cm de côté.;

Exercice 5

L’intérêt du sujet

Tu vas retravailler le théorème de Pythagore pour une utilisation concrète liée à la pose d’une armoire et d’étagères.

Nos coups de pouce, question par question

Tableau de 4 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 4 lignes ;Ligne 1 : ▶ 1. Calculer un pourcentage; Multiplie le montant par le pourcentage.; Ligne 2 : ▶ 2. Utiliser le théorème de Pythagore; Regarde à quelle longueur du triangle ABC correspond la plus grande hauteur atteinte par l’étagère.; Ligne 3 : ▶ 3. a) Partager un segment; Regarde en combien de parts égales le segment [B′C′] a été partagé.; Ligne 4 : b) et c) Reconnaître une situation de réduction; Applique le fait que les triangles C′DE et C′HI sont des réductions du triangle C′AB′.;

Exercice 1

▶ 1. La bonne réponse est la réponse C.

$\frac{4}{7} + \frac{5}{21} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} + \frac{5}{21} = \frac{12}{21} + \frac{5}{21} = \frac{12 + 5}{21} = \frac{17}{21}$ .

▶ 2. La bonne réponse est la réponse B.

Il y a 4 boules vertes sur un total de 9 boules donc :

p(tirer une boule verte) = $\frac{4}{9}$ .

▶ 3. La bonne réponse est la réponse B.

▶ 4. La bonne réponse est la réponse A.

117 = 3 × 39 = 3 × 3 × 13.

▶ 5. La bonne réponse est la réponse A.

$\frac{1}{(- 2) \times (- 2) \times (- 2)} = \frac{1}{{(- 2)}^{3}} = {(- 2)}^{- 3}$ .

Exercice 2

▶ 1. L’étendue vaut 125 – 87 = 38.

▶ 2. Moyenne des masses = $\frac{113 + 96 + 125 + 87 + 117 + 104 + 101}{7} \approx 106$ .

La moyenne des masses des tortues vaut environ 106 kg.

▶ 3. Rangeons les valeurs par ordre croissant puis partageons l’effectif de 7 tortues en deux sous-effectifs égaux :

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La médiane est la valeur centrale : 104.

▶ 4. Le pourcentage de tortues mâles est : $\frac{nombre de mâles}{nombre de tortues} \times 100 = \frac{2}{7} \times 100 \approx 28,6$ .

Il est donc faux de dire que les mâles représentent moins de 20 % des tortues.

▶ 5.

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Exercice 3

▶ 1. a) Voici les étapes de calcul :

2 + 2 = 4

$4^{2} = 16$

$16 - 2^{2} = 16 - 4 = 12$

On obtient bien 12 en partant de 2.

b) Voici les étapes de calcul :

- 8

- 8 + 2 = - 6

${(- 6)}^{2} = 36$

$36 - {(- 8)}^{2} = 36 - 64 = - 28$

On obtient – 28 en partant de – 8.

▶ 2. La formule attendue est « = B4 – B2 * B2 ».

▶ 3. a) Prenons x comme nombre de départ ; voici les étapes de calcul :

x + 2

${(x + 2)}^{2}$

${(x + 2)}^{2} - x^{2}$

b) On calcule :

${(x + 2)}^{2} - x^{2} = x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} = 4 x + 4$ .

▶ 4. Le résultat final se factorise ainsi : 4x + 4 = 4(x + 1).

Donc le résultat final est toujours un multiple de 4.

Exercice 4

▶ 1. a) Le quadrilatère est un carré et le triangle est équilatéral.

b) La valeur manquante à la ligne 8 est la longueur du côté du carré, c’est aussi la longueur du côté du triangle, c’est-à-dire 100.

c) Le programme 1 réalise la figure B.

Le programme 2 réalise la figure C.

Le programme 3 réalise la figure A.

▶ 2. a) Le périmètre du triangle vaut 3 × 100 = 300 pas.

La formule générale du périmètre d’un carré est 4 × c, où c est la longueur de son côté.

Les deux figures devant avoir le même périmètre, on a 4c = 300.

Donc $\frac{4 c}{4} = \frac{300}{4}$ , soit c = 75.

La valeur à inscrire en ligne 8 est donc 75.

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Exercice 5

▶ 1. Le montant de la réduction est de 139,90 × $\frac{10}{100} = 13,9 €$ .

▶ 2. Le point le plus haut atteint par l’étagère est le point E. Or AE = AC. Il s’agit donc de vérifier que le côté [AC] a une longueur inférieure à la hauteur de la pièce.

ABC est rectangle en B donc d’après le théorème de Pythagore, on a :

AC² = AB² + BC²

AC² = 0,80² + 2,25²

AC² = 0,64 + 5,0625

AC² = 5,7025

Donc AC = $\sqrt[]{5,7025} \approx 2,39$ m.

Puisque la hauteur sous plafond est de 2,40 m, l’étagère pourra bien être redressée sans toucher le plafond.

▶ 3 a) Puisque B′C′ = 2,25 m et que [B′C′] a été partagé en 5 segments égaux, on a C′E = $\frac{2,25}{5}$ = 0,45 m.

b) Le triangle C′DE est une réduction de coefficient $\frac{1}{5}$ du triangle C′AB′.

Donc : $DE = \frac{AB′}{5} = \frac{0,80}{5} = 0,16 m$ .

c) Le triangle C′HI est une réduction de coefficient $\frac{3}{5}$ du triangle C′AB′.

Donc : $HI = AB′ \times \frac{3}{5} = 0,80 \times \frac{3}{5} = 0,48 m$ .

Sujet du brevet de France métropolitaine septembre 2021

Exercice 1 • QCM nombres et géométrie 20 points

Exercice 2 • Surveillance des tortues de Madagascar 20 points

Exercice 3 • Un programme de calcul carré 20 points

Exercice 4 • Triangle et quadrilatère emboîtés 20 points

Exercice 5 • Redresser l’étagère 20 points

Les clés du sujet

Exercice 1

L’intérêt du sujet

Nos coups de pouce, question par question

Exercice 2

L’intérêt du sujet

Nos coups de pouce, question par question

Exercice 3

L’intérêt du sujet

Nos coups de pouce, question par question

Exercice 4

L’intérêt du sujet

Nos coups de pouce, question par question

Exercice 5

L’intérêt du sujet

Nos coups de pouce, question par question

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

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