Sujet du brevet de Pondichéry 2018

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Sujets complets
Type : Sujet complet | Année : 2018 | Académie : Pondichéry

Pondichéry • Mai 2018

Sujet complet • 100 points

Sujet du brevet de Pondichéry 2018

exercice 1 • jeu de hasard 13 points

mat3_1805_12_00C_01

On considère un jeu composé d’un plateau tournant et d’une boule. Représenté ci-contre, ce plateau comporte 13 cases numérotées de 0 à 12.

On lance la boule sur le plateau. La boule finit par s’arrêter au hasard sur une case numérotée.

La boule a la même probabilité de s’arrêter sur chaque case.

1. Quelle est la probabilité que la boule s’arrête sur la case numérotée 8 ?

2. Quelle est la probabilité que le numéro de la case sur lequel la boule s’arrête soit un nombre impair ?

3. Quelle est la probabilité que le numéro de la case sur lequel la boule s’arrête soit un nombre premier ?

4. Lors des deux derniers lancers, la boule s’est arrêtée à chaque fois sur la case numérotée 9. A-t-on maintenant plus de chances que la boule s’arrête sur la case numérotée 9 plutôt que sur la case numérotée 7 ? Argumenter à l’aide d’un calcul de probabilités.

exercice 2 • pavage 9 points

Le pavage représenté sur la figure 1 est réalisé à partir d’un motif appelé pied-de-coq qui est présent sur de nombreux tissus utilisés pour la fabrication de vêtements.

Le motif pied-de-coq est représenté par le polygone ci-dessous à droite (figure 2) qui peut être réalisé à l’aide d’un quadrillage régulier.

mat3_1805_12_00C_02

Figure 1

mat3_1805_12_00C_03

Figure 2

1. Sur la figure 1, quel type de transformation géométrique permet d’obtenir le motif 2 à partir du motif 1 ?

2. Dans cette question, on considère que AB = 1 cm (figure 2).

Déterminer l’aire d’un motif pied-de-coq.

3. Marie affirme : « Si je divise par 2 les longueurs d’un motif, son aire sera aussi divisée par 2. » A-t-elle raison ? Expliquer pourquoi.

exercice 3 • qcm À 3 questions 9 points

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer la bonne réponse parmi celles qui sont proposées.

On ne demande pas de justifier. Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

Pour chacune des trois questions, écrire sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la bonne réponse.

Réponse a

Réponse b

Réponse c

Réponse d

1

2,53 × 1015 =

2,530 000 000 000 000 00

2 530 000 000 000 000

253 000 000 000 000 000

37,95

2

La latitude de l’équateur est :

90° est

90° nord

90° sud

3

23+567=

314

19

0,214 285 714

0,111 111 111

exercice 4 • comparaison de 2 programmes 18 points

Programme A

• Choisir un nombre

• Soustraire 3

• Calculer le carré du résultat obtenu

Programme B

• Choisir un nombre

• Calculer le carré de ce nombre

• Ajouter le triple du nombre de départ

• Ajouter 7

1. Corinne choisit le nombre 1 et applique le programme A. Expliquer, en détaillant, les calculs que le résultat du programme de calcul est 4.

2. Tidjane choisit le nombre −5 et applique le programme B. Quel résultat obtient-il ?

3. Lina souhaite regrouper le résultat de chaque programme à l’aide d’un tableur. Elle crée la feuille de calcul ci-dessous. Quelle formule, copiée ensuite à droite dans les cellules C3 à H3, a-t-elle saisie dans la cellule B3 ?

mat3_1805_12_00C_11

4. Zoé cherche à trouver un nombre de départ pour lequel les deux programmes de calcul donnent le même résultat. Pour cela, elle appelle x le nombre choisi au départ et exprime le résultat de chaque programme de calcul en fonction de x.

a) Montrer que le résultat du programme A en fonction de x peut s’écrire sous forme développée et réduite : x26x+9.

b) Écrire le résultat du programme B en fonction de x.

c) Existe-t-il un nombre de départ pour lequel les deux programmes donnent le même résultat ? Si oui, lequel ?

exercice 5 • jeu de fléchettes 20 points

Dans tout l’exercice, l’unité de longueur est le mm.

mat3_1805_12_00C_04

On lance une fléchette sur une plaque carrée sur laquelle figure une cible circulaire (en bleu sur la figure). Si la pointe de la fléchette est sur le bord de la cible, on considère que la cible n’est pas atteinte.

On considère que cette expérience est aléatoire et l’on s’intéresse à la probabilité que la fléchette atteigne la cible.

La longueur du côté de la plaque carrée est 200.

Le rayon de la cible est 100.

La fléchette est représentée par le point F de coordonnées (; y) où x et y sont des nombres aléatoires compris entre − 100 et 100.

1. Dans l’exemple ci-dessus, la fléchette F est située au point de coordonnées (72 ; 54).

Montrer que la distance OF, entre la fléchette et l’origine du repère, est 90.

2. D’une façon générale, quel nombre ne doit pas dépasser la distance OF pour que la fléchette atteigne la cible ?

3. On réalise un programme qui simule plusieurs fois le lancer de cette fléchette sur la plaque carrée et qui compte le nombre de lancers atteignant la cible. Le programmeur a créé trois variables nommées : carré de OF, distance et score.

mat3_1805_12_00C_05

a) Lorsqu’on exécute ce programme, combien de lancers sont simulés ?

b) Quel est le rôle de la variable score ?

c) Compléter et recopier sur la copie uniquement les lignes 5, 6 et 7 du programme afin qu’il fonctionne correctement.

d) Après une exécution du programme, la variable score est égale à 102. À quelle fréquence la cible a-t-elle été atteinte dans cette simulation ? Exprimer le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

4. On admet que la probabilité d’atteindre la cible est égale au quotient : aire de la cible divisée par aire de la plaque carrée. Donner une valeur approchée de cette probabilité au centième près.

exercice 6 • fréquence cardiaque 15 points

Chris fait une course à vélo tout terrain (VTT). Le graphique ci-dessous représente sa fréquence cardiaque (en battements par minute) en fonction du temps lors de la course.

mat3_1805_12_00C_06

1. Quelle est la fréquence cardiaque de Chris au départ de sa course ?

2. Quel est le maximum de la fréquence cardiaque atteinte par Chris au cours de sa course ?

3. Chris est parti à 9 h 33 de chez lui et termine sa course à 10 h 26. Quelle a été la durée, en minutes, de sa course ?

4. Chris a parcouru 11 km lors de cette course. Montrer que sa vitesse moyenne est d’environ 12,5 km/h.

5. On appelle FCM (fréquence cardiaque maximale) la fréquence maximale que peut supporter l’organisme. Celle de Chris est FCM = 190 battements par minute. En effectuant des recherches sur des sites internet spécialisés, il a trouvé le tableau suivant.

Effort

léger

soutenu

tempo

seuil anaérobie

Fréquence cardiaque mesurée

Inférieur à 70 % de la FCM

70 à 85 % de la FCM

85 à 92 % de la FCM

92 à 97 %

de la FCM

Estimer la durée de la période pendant laquelle Chris a fourni un effort soutenu au cours de sa course.

exercice 7 • triangles semblables 16 points

mat3_1805_12_00C_07

On considère ci-dessus un triangle ABC rectangle en A tel que ABC^=30° et AB = 7 cm. H est le pied de la hauteur issue de A.

1. Tracer la figure en vraie grandeur sur la copie. Laisser les traits de construction apparents sur la copie.

2. Démontrer que AH = 3,5 cm.

3. Démontrer que les triangles ABC et HAC sont semblables.

4. Déterminer le coefficient de réduction permettant de passer du triangle ABC au triangle HAC.

Les clés du sujet

Exercice 1

Points du programme

Probabilités.

Nos coups de pouce

Dans tout cet exercice, applique la définition : si E est un événement et si les résultats d’une expérience ont tous la même probabilité, alors :

p(E)= nombre de résultats favorablesnombre de résultats possibles.

Exercice 2

Points du programme

Translation • Calcul d’aire • Réduction.

Nos coups de pouce

1. Revois la définition de la translation.

2. Compte sur la figure 2 le nombre de petits triangles isocèles et rectangles (tels que JHI) qui la composent. Calcule l’aire du triangle JHI. Conclus.

3. Si les mesures des longueurs d’une figure sont divisées par k alors l’aire de cette figure est divisée par k2.

Exercice 3

Points du programme

Puissances • Fractions • Repérage sur une sphère.

Nos coups de pouce

1. Tu sais que 2,53×1015 = 253 × 1013. Alors 2,53×1015 s’écrit 253 suivi de 13 zéros.

2. L’équateur est un grand cercle de la sphère perpendiculaire à l’axe de rotation de celle-ci.

3. Applique les règles de calcul sur les fractions.

Exercice 4

Points du programme

Calcul littéral • Tableur • Équation.

Nos coups de pouce

1. et 2. Effectue successivement et dans l’ordre indiqué les différentes étapes des programmes de calcul en partant du nombre choisi.

4. a) et b) Choisis un nombre quelconque x et applique les deux programmes de calcul.

c) Résous une équation.

Exercice 5

Points du programme

Théorème de Pythagore • Aires usuelles • Algorithmique.

Nos coups de pouce

3. c) La deuxième coordonnée est l’ordonnée.

d) La fréquence d’une donnée correspond au quotient de l’effectif de cette donnée par l’effectif total.

Exercice 6

Points du programme

Lectures graphiques • Grandeur composée quotient • Pourcentages.

Nos coups de pouce

1. Lis l’ordonnée du point A d’abscisse 0.

2. On appelle B le point dont l’ordonnée est maximum. Lis l’ordonnée de B.

3. Calcule la différence entre l’heure d’arrivée et celle de départ.

4. Applique la relation v=dtv est la vitesse moyenne, d la distance parcourue et t le temps mis pour la parcourir. Conclus.

5. Calcule 70 % et 85 % de la fréquence cardiaque maximale. Puis lis les abscisses des points C et D dont les ordonnées sont les deux nombres précédemment calculés. Conclus.

Exercice 7

Points du programme

Construction géométrique • Triangles semblables • Réduction.

Nos coups de pouce

1. Utilise une règle graduée, un compas et un rapporteur.

2. Utilise la trigonométrie dans le triangle BAH rectangle en H.

3. Applique, par exemple, la définition : « Deux triangles qui ont leurs angles deux à deux de même mesure sont semblables. »

4. Écris les côtés proportionnels.

Corrigé

Corrigé

exercice 1

1. Notons E1 l’événement : « la boule s’arrête sur la case numérotée 8 ». Chaque case a la même probabilité de recevoir la boule, alors :

p(E1)=nombre de résultats favorablesnombre de résultats possibles.

Il existe une seule case numérotée 8 et 13 cases possibles.

p(E1)=113

2. Notons E2 l’événement : « la boule s’arrête sur une case désignée par un numéro impair ».

Il existe 6 cases désignées par un numéro impair (1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11) et 13 cases possibles.

p(E2)=613

rappel

2 admet exactement deux diviseurs distincts (1 et lui-même). 2 est donc bien un nombre premier.

3. Notons E3 l’événement : « la boule s’arrête sur une case désignée par un nombre premier ».

Il existe 5 cases désignées par un nombre premier (2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11) et 13 cases possibles.

p(E3)=513

4. Notons E4 et E5 les événements respectifs : « la boule s’arrête sur la case numérotée 9 » et « la boule s’arrête sur la case numérotée 7 ».

Il existe une seule case numérotée 9 et une seule case numérotée 7. Alors :

p(E4)=p(E5)=113

Conclusion : il n’y a donc pas plus de chance que la boule s’arrête sur la case numérotée 9 plutôt que sur la case numérotée 7.

exercice 2

1. Le motif 2 est l’image du motif 1 par une translation.

2. L’aire d’un motif pied-de-coq est la somme des aires de nombreux triangles isocèles tels que JHI. L’aire du triangle JHI est donnée par JH×HI2 soit 0,5 cm2. Or un motif pied-de-coq est composé de 16 petits triangles tels que JHI. L’aire A d’un motif pied-de-coq est égale à 16 × 0,5 soit 8 cm2.

Nous avons A=8cm2.

3. On sait que si les mesures des longueurs d’une figure sont divisées par k alors l’aire de cette figure est divisée par k2. Donc si on divise les longueurs d’un motif par 2, l’aire sera divisée par 4.

Conclusion : Marie n’a pas raison.

exercice 3

rappel

Si n est un entier strictement positif, 10n s’écrit 1 suivi de n zéros.

1. Notons A=2,53×1015. Nous avons : A=253×1013 soit

A = 2 530 000 000 000 000.

La bonne réponse est la réponse b.

2. La latitude de l’équateur est 0°.

La bonne réponse est la réponse a.

3. Notons B=23+56 et C=23+567. Réduisons B au même dénominateur.

B=23+56=2×23×2+56=96=32.

Pour diviser une fraction par un nombre, on multiplie le dénominateur de la fraction par ce nombre :

C=327 = 32×7=314.

La bonne réponse est la réponse a.

exercice 4

1. Application du programme A par Corinne.

Corinne choisit le nombre 1.

Elle soustrait 3 à ce nombre et obtient - 2.

Puis elle calcule le carré du résultat obtenu. Elle obtient (2)2, c’est-à-dire 4.

Conclusion : Corinne obtient bien 4.

2. Application du programme B par Tidjane.

Tidjane choisit le nombre - 5.

Il calcule le carré de ce nombre. Il obtient (5)2, c’est-à-dire 25.

Puis il ajoute le triple du nombre de départ, c’est-à-dire qu’il ajoute –15. Il obtient donc 10.

Enfin il ajoute 7 et trouve 17.

Conclusion : Tidjane obtient 17.

3. En B3 il faut saisir la formule =B1*B1+3*B1+7.

4. a) Zoé choisit un nombre x et applique le programme A.

Elle soustrait 3 à ce nombre et trouve (x - 3).

Elle calcule le carré du résultat obtenu et obtient (x3)2.

En appliquant l’identité remarquable (ab)2=a22ab+b2, on peut affirmer que le résultat du programme est x26x+9.

b) Zoé choisit un nombre x et applique le programme B.

Elle élève au carré ce nombre et trouve x2.

Elle ajoute le triple du nombre de départ, c’est-à-dire qu’elle ajoute 3x. Elle obtient x2+3x.

Enfin elle ajoute 7 et trouve x2+3x+7.

c) Pour répondre à la question, résolvons l’équation : x26x+9=x2+3x+7.

Nous avons : x26xx23x=79, soit - 9x = - 2 ou encore x=29.

Conclusion : si on choisit 29 pour nombre de départ, les deux programmes donnent le même résultat.

remarque

On peut vérifier que l’on trouve également 62581 si on remplace x par 29 dans x26x+9.

Pour obtenir ce résultat, remplaçons x par 29 dans x2+3x+7 par exemple.

On trouve (29)2+3×29+7, soit 62581.

exercice 5

rappel

Pour calculer une longueur dans un triangle rectangle, pense au théorème de Pythagore !

1. Le triangle OHF est rectangle en H donc d’après le théorème de Pythagore on a :

OF2=OH2+HF2

OF2=722+542

OF2=8100

OF=8100=90

La distance OF vaut 90.

2. La distance OF ne doit pas dépasser la valeur 100 puisque c’est le rayon maximal de la cible.

3. a) La boucle « répéter » nous indique que 120 lancers ont été simulés.

b) La variable score compte le nombre de fois où la cible a été atteinte.

c)

mat3_1805_12_00C_08

d) La cible a été atteinte avec une fréquence de 102120=1720.

4. Airecible = π×r2=π×1002=10000π

Airerectangle = c × c = 200 × 200 = 40 000

La probabilité d’atteindre la cible est de 10000π400000,79.

exercice 6

mat3_1805_12_00C_09

1. Nous lisons sur le graphique que le point A d’abscisse 0 et situé sur la courbe a une ordonnée égale à environ 53.

Conclusion : la fréquence cardiaque de Chris au départ de sa course est d’environ 53 battements par minute.

2. On appelle B le point du graphique dont l’ordonnée est maximum. Nous lisons que l’ordonnée de B est environ 160.

Conclusion : le maximum de la fréquence cardiaque atteinte par Chris au cours de la course est d’environ 160 battements par minute.

3. Notons t la durée de la course.

t = 10 h 26 min - 9 h 33 min ou encore t = 9 h 86 min - 9 h 33 min soit t=53 min.

attention !

Ici, il est judicieux de prendre la distance en kilomètres et le temps en heures pour obtenir la vitesse en km/h.

4. Appliquons la relation v=dtv est la vitesse moyenne, d la distance parcourue et t le temps mis pour la parcourir.

Nous savons que d = 11 km et t=53 min=5360 h.

Donc v=115360=11×6053=66053=12,452

Conclusion : la vitesse moyenne de Chris est d’environ 12,5 km/h.

5. Un effort soutenu correspond à une fréquence cardiaque comprise entre 70100×190 et 85100×190, c’est-à-dire entre 133 et 161 (valeur arrondie) battements par minute.

La droite d’équation y = 133 coupe le graphique en C et D. On lit sur ce dernier que les abscisses des points C et D sont respectivement 8 et 41 (environ). De plus on sait que le nombre de battements maximum est 160, donc inférieur à 161.

Conclusion : la durée de la période pendant laquelle Chris a fourni un effort soutenu durant la course est de (41 - 8) soit 33 minutes.

exercice 7

1. Construction de la figure en vraie grandeur.

On trace un segment [AB] de longueur 7 cm.

On trace un demi-cercle de diamètre [AB].

On trace la demi-droite d’origine B faisant un angle de 30° avec la demi-droite [BA). Cette demi-droite coupe le demi-cercle en H.

Enfin la demi-droite [BH) coupe la perpendiculaire en A à (AB) en C.

mat3_1805_12_00C_10

rappel

Dans un triangle ABH rectangle en H, sinABH^=côté opposéhypoténuse.

2. Dans le triangle ABH rectangle en H, nous avons sinABH^=AHAB soit AH=ABsinABH^ ou encore AH=7×sin30° c’est-à-dire :AH=3,5 cm.

3. Les triangles ABC, HAC et AHB sont rectangles. Dans un triangle rectangle, la somme des mesures des deux angles aigus vaut 90°. Alors :

BAH^=90°30°=60°

HAC^=90°60°=30°

ACH^=90°30°=60°

Donc :

BAC^=AHC^ = 90° ;

ACB^=ACH^ = 60° ;

ABC^=HAC^ = 30°.

Les triangles ABC et HAC ont leurs angles deux à deux de même mesure. Ils sont donc semblables.

4. Puisque ces deux triangles sont semblables, alors les longueurs des côtés opposés aux angles de même mesure sont proportionnelles et

HAAB=HCAC=ACBC=k qui est le rapport de la similitude.

Mais HAAB=3,57=0,5, donc le triangle HAC est une réduction du triangle ABC dans le rapport 0,5.