Corrigé

exercice 1

▶ 1. Notons E1 l'événement : « la boule s'arrête sur la case numérotée 8 ». Chaque case a la même probabilité de recevoir la boule, alors :

$p({\text{E}}_1)=\frac{\text{nombre de résultats favorables}}{\text{nombre de résultats possibles}}$.

Il existe une seule case numérotée 8 et 13 cases possibles.

$\boxed{p({\text{E}}_1)=\frac{1}{13}}$

▶ 2. Notons E2 l'événement : « la boule s'arrête sur une case désignée par un numéro impair ».

Il existe 6 cases désignées par un numéro impair (1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11) et 13 cases possibles.

$\boxed{p({\text{E}}_2)=\frac{6}{13}}$

▶ 3. Notons E3 l'événement : « la boule s'arrête sur une case désignée par un nombre premier ».

Il existe 5 cases désignées par un nombre premier (2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11) et 13 cases possibles.

$\boxed{p({\text{E}}_3)=\frac{5}{13}}$

▶ 4. Notons E4 et E5 les événements respectifs : « la boule s'arrête sur la case numérotée 9 » et « la boule s'arrête sur la case numérotée 7 ».

Il existe une seule case numérotée 9 et une seule case numérotée 7. Alors :

$\boxed{p({\text{E}}_4)=p({\text{E}}_5)=\frac{1}{13}}$

Conclusion : il n'y a donc pas plus de chance que la boule s'arrête sur la case numérotée 9 plutôt que sur la case numérotée 7.

exercice 2

▶ 1. Le motif 2 est l'image du motif 1 par une translation.

▶ 2. L'aire d'un motif pied-de-coq est la somme des aires de nombreux triangles isocèles tels que JHI. L'aire du triangle JHI est donnée par $\frac{\text{JH}\times \text{HI}}{2}$ soit 0,5 cm2. Or un motif pied-de-coq est composé de 16 petits triangles tels que JHI. L'aire $\mathcal{A}$ d'un motif pied-de-coq est égale à 16 × 0,5 soit 8 cm2.

Nous avons $\mathcal{A}=\text{8}{\text{cm}}^{\text{2}}$.

▶ 3. On sait que si les mesures des longueurs d'une figure sont divisées par k alors l'aire de cette figure est divisée par $k^2$. Donc si on divise les longueurs d'un motif par 2, l'aire sera divisée par 4.

Conclusion : Marie n'a pas raison.

exercice 3

▶ 1. Notons $A=\mathrm{2,53}\times {10}^{15}$. Nous avons : $A=253\times {10}^{13}$ soit

A = 2 530 000 000 000 000.

La bonne réponse est la réponse b.

▶ 2. La latitude de l'équateur est 0°.

La bonne réponse est la réponse a.

▶ 3. Notons $B=\frac{2}{3}+\frac{5}{6}$ et $C=\frac{\frac{2}{3}+\frac{5}{6}}{7}$. Réduisons B au même dénominateur.

$B=\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=\frac{2\times 2}{3\times 2}+\frac{5}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$.

Pour diviser une fraction par un nombre, on multiplie le dénominateur de la fraction par ce nombre :

$C=\frac{\frac{3}{2}}{7}$ = $\frac{3}{2\times 7}=\frac{3}{14}$.

La bonne réponse est la réponse a.

exercice 4

▶ 1. Application du programme A par Corinne.

Corinne choisit le nombre 1.

Elle soustrait 3 à ce nombre et obtient - 2.

Puis elle calcule le carré du résultat obtenu. Elle obtient ${(-2)}^2$, c'est-à-dire 4.

Conclusion : Corinne obtient bien 4.

▶ 2. Application du programme B par Tidjane.

Tidjane choisit le nombre - 5.

Il calcule le carré de ce nombre. Il obtient ${(-5)}^2$, c'est-à-dire 25.

Puis il ajoute le triple du nombre de départ, c'est-à-dire qu'il ajoute –15. Il obtient donc 10.

Enfin il ajoute 7 et trouve 17.

Conclusion : Tidjane obtient 17.

▶ 3. En B3 il faut saisir la formule $\boxed{=\text{B1*B1}+\text{3*B1}+\text{7}}$.

▶ 4. a) Zoé choisit un nombre x et applique le programme A.

Elle soustrait 3 à ce nombre et trouve (x - 3).

Elle calcule le carré du résultat obtenu et obtient ${(x-3)}^2$.

En appliquant l'identité remarquable ${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$, on peut affirmer que le résultat du programme est $\boxed{x^2-6x+9}$.

b) Zoé choisit un nombre x et applique le programme B.

Elle élève au carré ce nombre et trouve $x^2$.

Elle ajoute le triple du nombre de départ, c'est-à-dire qu'elle ajoute 3x. Elle obtient $x^2+3x$.

Enfin elle ajoute 7 et trouve $\boxed{x^2+3x+7}$.

c) Pour répondre à la question, résolvons l'équation : $x^2-6x+9=x^2+3x+7$.

Nous avons : $x^2-6x-x^2-3x=7-9$, soit - 9x = - 2 ou encore $x=\frac{2}{9}$.

Conclusion : si on choisit $\frac{2}{9}$ pour nombre de départ, les deux programmes donnent le même résultat.

Pour obtenir ce résultat, remplaçons x par $\frac{2}{9}$ dans $x^2+3x+7$ par exemple.

On trouve ${\left(\frac{2}{9}\right)}^2+3\times \frac{2}{9}+7$, soit $\boxed{\frac{625}{81}}$.

exercice 5

▶ 1. Le triangle OHF est rectangle en H donc d'après le théorème de Pythagore on a :

${\text{OF}}^2={\text{OH}}^2+{\text{HF}}^2$

${\text{OF}}^2={72}^2+{54}^2$

${\text{OF}}^2=\text{8}100$

$\text{OF}=\sqrt[]{8100}=90$

$\text{La distance OF vaut 90.}$

▶ 2. La distance OF ne doit pas dépasser la valeur 100 puisque c'est le rayon maximal de la cible.

▶ 3. a) La boucle « répéter » nous indique que 120 lancers ont été simulés.

b) La variable score compte le nombre de fois où la cible a été atteinte.

c)

d) La cible a été atteinte avec une fréquence de $\frac{102}{120}=\frac{17}{20}$.

▶ 4. Airecible = $\pi \times r^2=\pi \times {100}^2=10000\pi$

Airerectangle = c × c = 200 × 200 = 40 000

La probabilité d'atteindre la cible est de $\frac{10000\pi }{40000}\approx \mathrm{0,79}$.

exercice 6

▶ 1. Nous lisons sur le graphique que le point A d'abscisse 0 et situé sur la courbe a une ordonnée égale à environ 53.

Conclusion : la fréquence cardiaque de Chris au départ de sa course est d'environ 53 battements par minute.

▶ 2. On appelle B le point du graphique dont l'ordonnée est maximum. Nous lisons que l'ordonnée de B est environ 160.

Conclusion : le maximum de la fréquence cardiaque atteinte par Chris au cours de la course est d'environ 160 battements par minute.

▶ 3. Notons t la durée de la course.

t = 10 h 26 min - 9 h 33 min ou encore t = 9 h 86 min - 9 h 33 min soit $\boxed{t=53 \min }$.

▶ 4. Appliquons la relation $v=\frac{d}{t}$ où v est la vitesse moyenne, d la distance parcourue et t le temps mis pour la parcourir.

Nous savons que d = 11 km et $t=53 \text{min}=\frac{53}{60}\text{ h}$.

Donc $v=\frac{11}{\frac{53}{60}}=11\times \frac{60}{53}=\frac{660}{53}=\mathrm{12,452}\dots$

Conclusion : la vitesse moyenne de Chris est d'environ 12,5 km/h.

▶ 5. Un effort soutenu correspond à une fréquence cardiaque comprise entre $\frac{70}{100}\times 190$ et $\frac{85}{100}\times 190$, c'est-à-dire entre 133 et 161 (valeur arrondie) battements par minute.

La droite d'équation y = 133 coupe le graphique en C et D. On lit sur ce dernier que les abscisses des points C et D sont respectivement 8 et 41 (environ). De plus on sait que le nombre de battements maximum est 160, donc inférieur à 161.

Conclusion : la durée de la période pendant laquelle Chris a fourni un effort soutenu durant la course est de (41 - 8) soit 33 minutes.

exercice 7

▶ 1. Construction de la figure en vraie grandeur.

On trace un segment [AB] de longueur 7 cm.

On trace un demi-cercle de diamètre [AB].

On trace la demi-droite d'origine B faisant un angle de 30° avec la demi-droite [BA). Cette demi-droite coupe le demi-cercle en H.

Enfin la demi-droite [BH) coupe la perpendiculaire en A à (AB) en C.

▶ 2. Dans le triangle ABH rectangle en H, nous avons $\sin \widehat{\text{ABH}}=\frac{\text{AH}}{\text{AB}}$ soit $\text{AH}=\text{AB}\sin \widehat{\text{ABH}}$ ou encore $\text{AH}=7\times \sin 30°$ c'est-à-dire :$\boxed{\text{AH}=\mathrm{3,5} \text{cm}}$.

▶ 3. Les triangles ABC, HAC et AHB sont rectangles. Dans un triangle rectangle, la somme des mesures des deux angles aigus vaut 90°. Alors :

$\widehat{\text{BAH}}=90°-30°=60°$

$\widehat{\text{HAC}}=90°-60°=30°$

$\widehat{\text{ACH}}=90°-30°=60°$

Donc :

$\widehat{\text{BAC}}=\widehat{\text{AHC}}$ = 90° ;

$\widehat{\text{ACB}}=\widehat{\text{ACH}}$ = 60° ;

$\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{HAC}}$ = 30°.

Les triangles ABC et HAC ont leurs angles deux à deux de même mesure. Ils sont donc semblables.

▶ 4. Puisque ces deux triangles sont semblables, alors les longueurs des côtés opposés aux angles de même mesure sont proportionnelles et

$\frac{\text{HA}}{\text{AB}}=\frac{\text{HC}}{\text{AC}}=\frac{\text{AC}}{\text{BC}}=k$ qui est le rapport de la similitude.

Mais $\frac{\text{HA}}{\text{AB}}=\frac{\mathrm{3,5}}{7}=\mathrm{0,5}$, donc le triangle HAC est une réduction du triangle ABC dans le rapport 0,5.