Troisième Mathématiques Sujets complets

Centres étrangers • Juin 2018

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Centres étrangers • Juin 2018

Sujet complet • 100 points

Sujet du brevet des Centres étrangers 2018

exercice 1 • vrai ou faux ? 14 points

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant soigneusement la réponse.

▶ 1. La récolte de la lavande débute lorsque les trois quarts des fleurs au moins sont fanées. Le producteur a cueilli un échantillon de lavande représenté par le dessin suivant :

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Affirmation 1 : la récolte peut commencer.

▶ 2. En informatique, on utilise comme unités de mesure les multiples de l'octet :

1 ko = 103 octets, 1 Mo = 106 octets, 1 Go = 109 octets.

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Contenu du disque dur externe :

1 000 photos de 900 ko chacune ;

65 vidéos de 700 Mo chacune.

Affirmation 2 : le transfert de la totalité du contenu du disque dur externe vers l'ordinateur n'est pas possible.

▶ 3. On considère le programme de calcul ci-dessous :

Choisir un nombre.

Ajouter 5.

Multiplier le résultat obtenu par 2.

Soustraire 9.

Affirmation 3 : ce programme donne pour résultat la somme de 1 et du double du nombre choisi.

exercice 2 • course à pied 16 points

Le graphique suivant représente le profil d'une course à pied qui se déroule sur l'île de La Réunion (il exprime l'altitude en fonction de la distance parcourue par les coureurs).

Les réponses aux questions de cet exercice seront lues sur ce graphique.

Aucune justification n'est attendue pour les questions 1 à 4.

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▶ 1. Quelle est la distance parcourue par un coureur, en kilomètres, lorsqu'il arrive au sommet de la plaine des Merles ?

▶ 2. Quelle est l'altitude atteinte, en mètres, au gîte du piton des Neiges ?

▶ 3. Quel est le nom du sommet situé à 900 mètres d'altitude ?

▶ 4. À quelle(s) distance(s) du départ un coureur atteindra-t-il 1 900 m d'altitude ?

▶ 5. Le dénivelé positif se calcule uniquement dans les montées ; pour chaque montée, il est égal à la différence entre l'altitude la plus haute et l'altitude la plus basse.

a) Calculer le dénivelé positif entre Cilaos et le gîte du piton des Neiges.

b) Montrer que le dénivelé positif total de cette course est 4 000 m.

▶ 6. Maëlle a effectué sa course à une vitesse moyenne de 7 km/h et Line a mis 13 h 20 min pour passer la ligne d'arrivée. Laquelle de ces deux sportives est arrivée en premier ?

exercice 3 • montres 16 points

Thomas possède une montre qu'il compose en assemblant des cadrans et des bracelets de plusieurs couleurs. Pour cela, il dispose de :

deux cadrans : un rouge et un jaune ;

quatre bracelets : un rouge, un jaune, un vert et un noir.

▶ 1. Combien y a-t-il d'assemblages possibles ?

Il choisit au hasard un cadran et un bracelet pour composer sa montre.

▶ 2. Déterminer la probabilité d'obtenir une montre toute rouge.

▶ 3. Déterminer la probabilité d'obtenir une montre d'une seule couleur.

▶ 4. Déterminer la probabilité d'avoir une montre de deux couleurs.

exercice 4 • exploitation d'un marais 18 points

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ph © Richard Villalon -
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Chaque été, Jean exploite son marais salant sur l'île de Ré, situé dans l'océan Atlantique, près de La Rochelle. Son marais se compose de carreaux (carrés de 4 m de côté) dans lesquels se récolte le sel.

Partie A • Le gros sel

Chaque jour, il récolte du gros sel sur 25 carreaux. Le premier jour, afin de prévoir sa production, il relève la masse en kilogrammes de chaque tas de gros sel produit par carreau. Voici la série statistique obtenue :

34 – 39 – 31 – 45 – 40 – 32 – 36 – 45 – 42 – 34 – 30 – 48 – 43

32 – 39 – 40 – 42 – 38 – 46 – 31 – 38 – 43 – 37 – 47 – 33

▶ 1. Calculer l'étendue de cette série statistique.

▶ 2. Déterminer la médiane de cette série statistique et interpréter le résultat.

▶ 3. Calculer la masse moyenne, en kg, des tas de gros sel pour ce premier jour.

Partie B • La fleur de sel

La fleur de sel est la mince couche de cristaux blancs qui se forme et affleure la surface des marais salants. Chaque soir, Jean cueille la fleur de sel à la surface des carreaux. Pour transporter sa récolte, il utilise une brouette comme sur le schéma ci-dessous.

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▶ 1. Montrer que cette brouette a un volume de 77 litres.

▶ 2. Sachant que 1 litre de fleur de sel pèse 900 grammes, calculer la masse, en kg, du contenu d'une brouette remplie de fleur de sel.

exercice 5 • facture de gaz 18 points

Sur une facture de gaz, le montant à payer tient compte de l'abonnement annuel et du prix correspondant au nombre de kilowattheures (kWh) consommés.

Deux fournisseurs de gaz proposent les tarifs suivants :

	Prix du kWh	Abonnement annuel
Tarif A (en €)	0,0609	202,43
Tarif B (en €)	0,0574	258,39

En 2016, la famille de Romane a consommé 17 500 kWh. Le montant annuel de la facture de gaz correspondant était de 1 268,18 €.

▶ 1. Quel est le tarif souscrit par cette famille ?

Depuis 2017, cette famille diminue sa consommation de gaz par des gestes simples (baisser le chauffage de quelques degrés, mettre un couvercle sur la casserole d'eau pour la porter à ébullition, réduire le temps sous l'eau dans la douche, etc.).

▶ 2. En 2017, cette famille a gardé le même fournisseur de gaz, mais sa consommation en kWh a diminué de 20 % par rapport à celle de 2016.

a) Déterminer le nombre de kWh consommés en 2017.

b) Quel est le montant des économies réalisées par la famille de Romane entre 2016 et 2017 ?

▶ 3. On souhaite déterminer la consommation maximale assurant que le tarif A est le plus avantageux. Pour cela :

On note x le nombre de kWh consommés sur l'année.

On modélise les tarifs A et B respectivement par les fonctions f et g : f(x) = 0,0609x + 202,43 et $g (x) = 0,0574 x + 258,39$ .

a) Quelles sont la nature et la représentation graphique de ces fonctions ?

b) Résoudre l'inéquation : f(x) g(x).

c) En déduire une valeur approchée au kWh près de la consommation maximale pour laquelle le tarif A est le plus avantageux.

exercice 6 • le robot jardinier 18 points

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Le maraîchage est l'activité professionnelle qui consiste à cultiver les légumes, certains fruits, fleurs ou plantes aromatiques.

Afin de diminuer la pénibilité des travaux de maraîchage, un agriculteur a acquis un robot électrique pour effectuer le désherbage de ses cultures.

Partie A • Parcours du robot

Le robot doit parcourir 49 allées parallèles écartées de 1 m, représentées sur le schéma ci-dessous. Les 48 premières allées, situées dans une parcelle rectangulaire, mesurent 80 m de long :

la 1re allée est [PQ] ;

la 2e allée est [RS] ;

la 3e allée est [TU] ;

les allées 4 à 47 ne sont pas représentées ;

la 48e allée est [CB].

La 49e et dernière allée, [DE], est située dans une parcelle triangulaire.

Montrer que la longueur de la dernière allée est DE = 64 m.

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Schéma 1 du terrain non à l'échelle : vue du dessus

Partie B • Programme de déplacement du robot

On souhaite programmer le déplacement du robot du point P au point E. Le script ci-dessous, réalisé sous Scratch, est incomplet. Toutes les allées sont parcourues une seule fois. L'image « Robot » correspond au résultat attendu lorsque le drapeau vert est cliqué.

On rappelle que l'instruction mat3_1806_06_00C_07 signifie que le robot se dirige vers le haut.

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Pour répondre aux questions 1 et 2, utiliser autant que nécessaire les blocs :

Les longueurs doivent être indiquées en mètres.

▶ 1. Le nouveau bloc « Motif montant » doit reproduire un déplacement du type P-Q-R (voir schéma 1) et positionner le robot prêt à réaliser le motif suivant. Écrire une succession de 4 blocs permettant de définir : « Motif montant ».

▶ 2. Le nouveau bloc « Motif descendant » doit reproduire un déplacement du type R-S-T (voir schéma 1) et positionner le robot prêt à réaliser le motif suivant. Quelle(s) modification(s) suffit-il d'apporter au bloc « Motif montant » pour obtenir le bloc « Motif descendant » ?

▶ 3. Quelles valeurs faut-il donner à x et à y dans le script principal pour que le programme de déplacement du robot donne le résultat attendu ?

Les clés du sujet

Exercice 1

Points du programme

Pourcentages • Puissances.

Nos coups de pouce

▶ 1. Calcule le pourcentage de fleurs fanées et compare-le à 75 %.

▶ 2. Calcule l'espace utilisé sur le disque dur externe. Calcule la taille de l'espace libre sur l'ordinateur. Conclus.

▶ 3. Effectue successivement et dans l'ordre indiqué les différents calculs du programme.

Exercice 2

Points du programme

Lecture graphique • Calcul sur des grandeurs mesurables.

Nos coups de pouce

▶ 1. Lis l'abscisse du point A du graphique.

▶ 2. Lis l'ordonnée du point B du graphique.

▶ 3. Lis le nom du sommet correspondant au point C du graphique d'ordonnée 900.

▶ 4. Lis les abscisses des points D et E du graphique.

▶ 5. a) Calcule la différence entre les ordonnées des points B et F du graphique.

b) Réitère le calcul effectué à la question 5. a).

▶ 6. Compare les temps mis par Maëlle et Line pour effectuer leur course.

Exercice 3

Points du programme

Probabilités.

Nos coups de pouce

Construis un arbre pondéré.

Applique la définition suivante : si E est un événement et si les résultats d'une expérience ont tous la même probabilité, alors :

$p (E) = \frac{nombre de résultats favorables}{nombre de résultats possibles}$ .

Exercice 4

Points du programme

Statistiques • Géométrie dans l'espace : calcul de volume.

Nos coups de pouce

Partie A

▶ 1. Applique la définition de l'étendue d'une série statistique.

▶ 2. Applique la définition de la médiane d'une série statistique.

▶ 3. Applique la définition de la moyenne d'une série statistique Fiche 6 .

Partie B

▶ 1. Calcule le volume d'un prisme droit en utilisant les deux formules données dans l'énoncé. Transforme les cm3 en litres en te souvenant que : 1 litre = 1 dm3 = 1 000 cm3.

Exercice 5

Points du programme

Fonctions affines • Pourcentages • Résolution d'inéquation.

Nos coups de pouce

▶ 1. Calcule les montants annuels de la facture avec le tarif A puis avec le tarif B. Conclus.

▶ 2. Une diminution de n % d'une quantité Q correspond à une diminution de $\frac{n}{100} \times Q$ . Calcule la diminution de la consommation en 2017.

▶ 3. Résous l'inéquation 0,0609x + 202,43 0,0574x + 258,39. Conclus.

Exercice 6

Points du programme

Écriture d'un programme sous Scratch • Théorème de Thalès.

Nos coups de pouce

Pour traiter la partie A, repère la configuration de Thalès dans le triangle CBF.

Corrigé

exercice 1

▶ 1. La récolte de lavande peut commencer lorsque les trois quarts des fleurs au moins, c'est-à-dire au moins 75 %, sont fanées.

Sur le dessin nous pouvons compter 37 fleurs dont 29 sont fanées.

Notons p le pourcentage de fleurs fanées.

Alors $p = \frac{29}{37} \times 100$ soit environ 78,4 %. Ce pourcentage est supérieur à 75 %. La récolte peut donc commencer.

Conclusion : l'affirmation 1 est vraie.

attention !

Il faut choisir une unité commune pour tous les calculs : l'octet, par exemple.

▶ 2. Utilisons l'octet comme unité de mesure.

Calculons en octets l'espace utilisé sur le disque dur externe.

$\begin{matrix} C = 1000 \times 900 \times 10^{3} + 65 \times 700 \times 10^{6} \\ = 0,9 \times 10^{9} + 45,5 \times 10^{9} \\ = 46,4 \times 10^{9} octets, \end{matrix}$

soit C = 46,4 Go puisque $1 Go = 10^{9}$ octets.

Calculons la taille de l'espace libre C′ sur l'ordinateur.

$C^{'} = 250 - 200$ soit $C^{'} = 50 Go$ . Nous remarquons que C′ > C.

Conclusion : l'affirmation 2 est fausse.

▶ 3. Choisissons le nombre x.

On lui ajoute 5 : on obtient x + 5.

On multiplie le résultat par 2 : on trouve 2(x + 5), soit 2x + 10.

On soustrait 9 : on obtient 2x + 1.

Le résultat final est bien égal à la somme de 1 et du double du nombre choisi.

Conclusion : l'affirmation 3 est vraie.

exercice 2

▶ 1. Le point A du graphique situé au sommet de la plaine des Merles a pour abscisse 37.

La distance parcourue par le coureur est de 37 km.

▶ 2. Le point B du graphique représentant le piton des Neiges a pour ordonnée 2 500.

L'altitude atteinte par le coureur est de 2 500 m.

▶ 3. Le sommet dont l'altitude est de 900 m est représenté par le point C du graphique. Il correspond au « Dos d'Âne ».

▶ 4. Il existe deux points D et E situés à 1 900 m d'altitude. Ils ont pour abscisses 7 et 18.

Le coureur atteindra 1 900 m d'altitude après 7 km de course ainsi qu'après 18 km de course.

▶ 5. a) Le dénivelé positif entre Cilaos et le gîte du piton des Neiges est 2 500 – 1 200 soit 1 300 m.

b) Le dénivelé positif total de cette course est de :

(2 500 - 1 200) + (1 800 - 700) + (900 - 300) + (300 - 0) + (700 – 0) soit 4 000 m.

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attention !

Il faut choisir une unité commune : ici la minute.

▶ 6. Calculons le temps T mis par Maëlle pour effectuer sa course. Nous avons $T = \frac{d}{v}$ où d représente la distance parcourue et v la vitesse moyenne. Donc $T = \frac{93}{7}$ h ou encore $T = \frac{93}{7} \times 60 = 798$ min (valeur arrondie à la minute par excès).

Notons T′ le temps mis par Line pour effectuer sa course.

$T^{'} = 13 \times 60 + 20 = 800$ min.

Maëlle a mis 798 minutes et Line 800 min. Maëlle a donc mis moins de temps que Line.

Conclusion : Maëlle est arrivée en premier.

exercice 3

Arbre pondéré

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Légende

R : cadran rouge

r : bracelet rouge

v : bracelet vert

J : cadran jaune

j : bracelet jaune

n : bracelet noir.

▶ 1. Il existe 8 assemblages possibles. Ils sont donnés par l'arbre ci-dessus.

(R, r), (R, j), (R, v), (R, n), (J, r), (J, j), (J, v) et (J, n).

▶ 2. Soit E1 l'événement « la montre est toute rouge ».

Il existe un seul résultat favorable, (R, r), et 8 résultats possibles.

$p (E_{1}) = \frac{1}{8}$ .

▶ 3. Soit E2 l'événement « la montre est d'une seule couleur ».

Il existe deux résultats favorables, (R, r) et (J, j), et 8 résultats possibles.

$p (E_{2}) = \frac{2}{8}$ soit $p (E_{2}) = \frac{1}{4}$ .

▶ 4. Soit E3 l'événement « la montre est de 2 couleurs ».

Il existe 6 résultats favorables, (R, j), (R, v), (R, n), (J, r), (J, v) et (J, n), et 8 résultats possibles.

$p (E_{3}) = \frac{6}{8}$ soit $p (E_{3}) = \frac{3}{4}$ .

Autre méthode

On obtient nécessairement une montre d'une seule couleur ou de deux couleurs. Donc

$p (E_{2}) + p (E_{3}) = 1$ soit $p (E_{3}) = 1 - p (E_{2}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .

exercice 4

Partie A

▶ 1. L'étendue e d'une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de cette série.

e = 48 - 30 soit $e = 18$ .

▶ 2. La médiane M d'une série statistique est la valeur qui partage cette série, rangée par ordre croissant (ou décroissant), en deux parties de même effectif.

Rangeons la série statistique en ordre croissant :

30 – 31 – 31 – 32 – 32 – 33 – 34 – 34 – 36 – 37 – 38 – 38 – $39$ – 39 – 40 – 40 – 42 – 42 – 43 – 43 – 45 – 45 – 46 – 47 – 48.

Nous avons $M = 39$ . En effet avant 39, il existe 12 termes, et après 39, il existe 12 termes aussi.

Interprétation : 50 % des valeurs de la série sont inférieures à 39 et 50 % des valeurs de la série sont supérieures à 39.

▶ 3. La moyenne m d'une série statistique est égale au quotient de la somme de toutes les valeurs de la série par l'effectif total.

$m = \frac{34 + 39 + 31 + 45 + 40 + \dots + 43 + 37 + 47 + 33 + 25}{25}$

$m = \frac{965}{25}$ soit $m = 38,6 kg$ .

Partie B

conseil

Visualise bien la brouette afin d'identifier la grande base, la petite base, la hauteur du trapèze ainsi que la hauteur du prisme droit.

▶ 1. Calculons l'aire $A$ de la base. Celle-ci est un trapèze.

$\begin{matrix} A = \frac{(grande base + petite base) \times hauteur}{2} \\ = \frac{(70 + 40) \times 35}{2} \end{matrix}$

soit $A$ = 1 925 cm²

Calculons le volume V de la brouette.

V = aire de la base × hauteur

= 1 925 × 40

$soit V = 77 000 {cm}^{3}$ .

Mais un litre équivaut à $1 000 {cm}^{3}$ , donc $V = 77 litres$ .

▶ 2. Notons P la masse du contenu de la brouette.

P = 77 × 900 = 69 300 g

ou encore $P = 69,3 kg$ car 1 kg = 1 000 g.

exercice 5

▶ 1. Notons PA le montant de la facture avec le tarif A.

PA = 17 500 × 0,0609 + 202,43 soit PA = 1 268,18 euros.

Notons PB le montant de la facture avec le tarif B.

PB = 17 500 × 0,0574 + 258,39 soit PB = 1 262,89 euros.

La famille a souscrit le tarif A.

▶ 2. a) La consommation de gaz a diminué de 20 % en 2017.

Cela correspond à $\frac{20}{100} \times 17 500$ soit 3 500 kWh en moins.

La famille a donc consommé 17 500 - 3 500 kWh soit $14 000 kWh$ .

attention !

Les économies réalisées se font sur la consommation de gaz et non sur l'abonnement annuel dont le prix est invariant !

b) Le montant des économies réalisées est 3 500 × 0,0609 soit $213,15 euros$ .

▶ 3. a) f et g sont deux fonctions affines. Chacune d'elle admet pour représentation graphique une droite ne passant pas par l'origine du repère.

b) Résolvons l'inéquation f(x) g(x).

Nous avons 0,0609x + 202,43 0,0574x + 258,39.

attention !

Pour obtenir le résultat final, on divise chaque membre de l'inéquation par un nombre positif. On ne change donc pas le sens de l'inégalité !

0,0609x - 0,0574x 258,39 - 202,43

0,0035x 55,96

$x \frac{55,96}{0,0035}$

c) Une valeur approchée à l'unité de $\frac{55,96}{0,0035}$ est 15 988.

Conclusion : 15 988 est une valeur approchée au kWh près de la consommation maximale pour laquelle le tarif A est le plus avantageux.

exercice 6

Partie A

Dans le triangle CBF :

E ∈[FC] ; D ∈[FB] et (ED) // (CB).

Donc d'après le théorème de Thalès, on a :

$\frac{FE}{FC} = \frac{FD}{FB} = \frac{ED}{BC}$

$\frac{FE}{FC} = \frac{5 - 1}{5} = \frac{ED}{80}$

Donc : $ED = \frac{4 \times 80}{5} = 64 m$ .

Partie B

▶ 1. Le programme à écrire est :

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▶ 2. À la place des blocs « tourner à droite », on met les blocs « tourner à gauche ».

attention !

Il y a 48 rangées donc le robot n'effectue que 24 allers-retours.

▶ 3. Il faut donner la valeur 48 ÷ 2 = $24$ à la variable x car il y a 24 allers-retours.

Il faut donner la valeur $64$ à y pour avancer de 64 m à la dernière rangée.

Sujet du brevet des Centres étrangers 2018

exercice 1 • vrai ou faux ? 14 points

exercice 2 • course à pied 16 points

exercice 3 • montres 16 points

exercice 4 • exploitation d'un marais 18 points

Partie A • Le gros sel

Partie B • La fleur de sel

exercice 5 • facture de gaz 18 points

exercice 6 • le robot jardinier 18 points

Partie A • Parcours du robot

Partie B • Programme de déplacement du robot

Exercice 1

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 2

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 3

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 4

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 5

Points du programme

Nos coups de pouce

Exercice 6

Points du programme

Nos coups de pouce

exercice 1

exercice 2

exercice 3

exercice 4

Partie A

Partie B

exercice 5

exercice 6

Partie A

Partie B

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