Corrigé

Exercice 1

▶ 1. La bonne réponse est la réponse C.

En effet, nous avons 28 = 2 × 2 × 7 ou encore $28=2^2\times \text{7}$.

▶ 2. La bonne réponse est la réponse B.

En effet le montant de la réduction est $\frac{20}{100}\times \text{58}$ soit 11,6 euros.

Après réduction le pantalon coûte donc (58 – 11,6) soit 46,4 euros.

▶ 3. La bonne réponse est la réponse B.

Dans le triangle ABC rectangle en A, nous avons $\tan \widehat{\text{ABC}}=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}$ ou encore $\text{AC}=\text{AB}\tan \widehat{\text{ABC}}$.

Alors AC = 25 tan(15°) soit AC = 6,7 m valeur arrondie au dixième près.

▶ 4. La bonne réponse est la réponse A.

La médiane M d'une série statistique est la valeur qui partage la série statistique rangée par ordre croissant (ou décroissant) en deux parties de même effectif.

Série statistique rangée en ordre croissant : 2 - 3 - 5 - 6 - 8 - 12.

Avant et après 5,5 il existe 3 termes. Donc M = 5,5.

▶ 5. La bonne réponse est la réponse A.

En effet :

les points P, O et P′ sont alignés ;

OP′ = 0,5 × OP ;

le point O est situé sur le segment [PP′].

Le carré A est transformé en le carré B par une homothétie de rapport – 0,5.

Exercice 2

▶ 1. On choisit 1 comme nombre de départ.

On élève au carré. On obtient 1.

On ajoute le triple du nombre de départ, c'est-à-dire 3, et on obtient 4.

On ajoute 2 et on obtient $\boxed{6}$.

▶ 2. On choisit – 5 comme nombre de départ.

On élève au carré. On obtient 25.

On ajoute le triple du nombre de départ, c'est-à-dire – 15, et on obtient 10.

On ajoute 2 et on obtient $\boxed{12}$.

▶ 3. On choisit x comme nombre de départ.

On élève au carré. On obtient x2.

On ajoute le triple du nombre de départ, c'est-à-dire 3x, et on obtient x2 + 3x.

On ajoute 2 et on obtient $\boxed{x^2+3x+2}$.

▶ 4. Posons E = (x + 2)(x + 1).

Alors $E=x^2+2x+x+2$ soit $E=x^2+3x+2$.

Donc le résultat de la question 3. peut encore s'écrire (x + 2)(x + 1).

▶ 5. a) La formule écrite dans B2 est $\boxed{=(\text{B}1+2)*(\text{B}1+1)}$.

b) Résolvons l'équation E = 0 c'est-à-dire $(x+2)(x+1)=0$.

Puisque nous avons un produit de facteurs nul, alors l'un au moins des facteurs est nul.

x + 2 = 0 soit x = - 2 ou x + 1 = 0 soit x = - 1.

Conclusion : si on choisit $\boxed{-2\text{ ou }-1}$ comme nombre de départ, alors on trouve 0 comme résultat.

Exercice 3

Partie A

▶ 1. Le triangle est équilatéral. Si x vaut 2 alors le côté mesure : 4 × 2 + 1 = 9 cm.

▶ 2. a) On a :

b) On résout l'équation :

12x + 3 = 18

12x = 18 – 3

12x = 15

$\boxed{x=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}=\mathrm{1,25}\text{ cm}}$

▶ 3. Ptriangle = 3(4x + 1) = 12x + 3

Prectangle = 12x + 3

Les deux formules sont identiques donc l'égalité des périmètres est vraie pour toute valeur de x.

Partie B

Le script 1 permet de tracer le rectangle.

Le script 2 permet de tracer le triangle équilatéral.

A doit valoir $\boxed{2}$ puisque le tracé d'une longueur et d'une largeur doit être fait 2 fois pour obtenir un rectangle.

B doit valoir $\boxed{90}$ car un rectangle a quatre angles droits.

C doit valoir $\boxed{3}$ puisqu'un triangle a 3 côtés.

D doit valoir $\boxed{120°}$ car un triangle équilatéral a ses angles égaux à 60°.

Exercice 4

▶ 1. Tableau complété.

▶ 2. a) Soit E1 l'événement « choisir un modèle de couleur noire ».

Parmi les 45 modèles, il en existe 20 de couleur noire.

$p({\text{E}}_1)=\frac{20}{45}$ ou encore $\boxed{p({\text{E}}_1)=\frac{4}{9}}$.

b) Soit E2 l'événement « choisir un modèle pour le sport ».

Parmi les 45 modèles, il en existe 18 pour le sport.

$p({\text{E}}_2)=\frac{18}{45}$ ou encore $\boxed{p({\text{E}}_2)=\frac{2}{5}}$.

c) Soit E3 l'événement « choisir un modèle pour la ville de couleur marron ».

Parmi les 45 modèles, il en existe 5 pour la ville de couleur marron.

$p({\text{E}}_3)=\frac{5}{45}$ ou encore $\boxed{p({\text{E}}_3)=\frac{1}{9}}$.

▶ 3. Soit A l'événement « le modèle choisi dans la vitrine A est noir ».

D'après la question 2. a), $p(\text{A})=\frac{4}{9}$.

Soit B l'événement « le modèle choisi dans la vitrine B est noir ».

$p(\text{B})=\frac{30}{54}=\frac{5}{9}$. On a $p(\text{B})>p(\text{A})$.

Conclusion : on a plus de chance d'obtenir un modèle de couleur noire dans la vitrine B.

Exercice 5

▶ 1. Calculons :

$\frac{\text{OA}}{\text{OD}}=\frac{36}{64}=\frac{9}{16}$ et $\frac{\text{OB}}{\text{OC}}=\frac{27}{48}=\frac{9}{16}$. Donc $\frac{\text{OA}}{\text{OD}}=\frac{\text{OB}}{\text{OC}}$.

Les points O, A, D sont alignés dans le même ordre que les points O, B, C. De plus $\frac{\text{OA}}{\text{OD}}=\frac{\text{OB}}{\text{OC}}$. D'après la réciproque du théorème de Thalès les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

▶ 2. Les points O, A, D sont alignés dans le même ordre que les points O, B, C et les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Nous pouvons appliquer le théorème de Thalès et écrire

$\frac{\text{OA}}{\text{OD}}=\frac{\text{OB}}{\text{OC}}=\frac{\text{AB}}{\text{CD}}$ soit $\frac{36}{64}=\frac{27}{48}=\frac{\text{AB}}{80}$.

Un produit en croix permet d'écrire $\text{AB}=\frac{27\times 80}{48}=45$.

$\boxed{\text{AB}=45\text{ cm}}$.

▶ 3. Calculons AC.

Les droites (AC) et (CD) sont perpendiculaires, donc le triangle ACD est rectangle en C. Appliquons le théorème de Pythagore : AC2 + DC2 = AD2 ou encore AC2 = AD2 – DC2.

Mais AD = OA + OD = 36 + 64 donc AD = 100 cm.

Alors AC2 = ${100}^2-{80}^2=3\text{600}$ et $\text{AC}=\sqrt[]{3600}=60$ cm.

Notons H la hauteur totale du meuble de rangement.

Cette étagère possède 5 plateaux en bois de 2 cm d'épaisseur et 4 éléments d'armature tels que [AC].

Nous avons H = 4 × 60 + 5 × 2 = 250 cm soit $\boxed{H=\mathrm{2,5}\text{ m}}$.

Exercice 6

▶ 1. Le graphique ne traduit pas une situation de proportionnalité. En effet ce n'est pas une droite passant par l'origine du repère.

▶ 2. a) Le point A situé sur le graphique a pour abscisse 7.

La durée totale de la randonnée est de 7 heures.

b) Le point A situé sur le graphique a pour ordonnée 20.

La famille a parcouru 20 km.

c) Le point B situé sur le graphique et d'abscisse 6 a pour ordonnée 18.

La distance parcourue au bout de 6 h de marche est de 18 km.

d) Le point C situé sur le graphique et d'ordonnée 8 a pour abscisse 3.

Les 8 premiers kilomètres ont été parcourus en 3 heures.

e) Aucune distance n'a été parcourue entre la 4e et la 5e heure.

Cela peut correspondre à une pause.

▶ 3. Calculons la vitesse moyenne v de la famille au cours de la randonnée.

Cette famille a parcouru 20 km en 7 h.

Donc $v=\frac{d}{t}=\frac{20}{7}\text{km/h}$. Nous remarquons que $\frac{20}{7}<mn>4</mn>$.

Conclusion : la famille n'est pas expérimentée.

Exercice 7

Pour effectuer l'achat de la piscine, il faut tenir compte de 3 dépenses.

Le prix p1 de la piscine et de la pompe est p1 = 80 euros.

Calculons le prix p2 de l'électricité. La piscine sera utilisée durant 4 mois (juin, juillet, août et septembre) soit 122 jours.

La consommation électrique moyenne sera de 3,42 × 122 kWh.

Alors p2 = 3,42 × 122 × 0,15 soit p2 = 62,59 euros.

Calculons le prix p3 de l'eau.

Le volume d'eau V contenu dans la piscine cylindrique est donné par la formule :

$V=\pi \times r^2\times h$ où r représente le rayon du cylindre et h la hauteur d'eau.

Nous avons $r=\frac{260}{2}=\text{130}\text{cm}=\text{1,3}\text{m}$ et h = 65 cm = 0,65 m.

$V=\pi \times {\mathrm{1,3}}^2\times \text{0,65}{\text{m}}^2$

Alors $p_3=(\pi \times {\mathrm{1,3}}^2\times \mathrm{0,65})\times \mathrm{2,03}$ soit p3 = 7,01 euros.

Le coût de la piscine pour la saison est $p=p_1+p_2+p_3=80+\mathrm{62,59}+\mathrm{7,01}=\text{149,60}\text{€}$.

Conclusion : Un budget de 200 euros est suffisant pour l'achat de cette piscine ainsi que les frais de fonctionnement.