Temps, mouvement et évolution
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Comprendre
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CORRIGE
Amérique du Nord • Juin 2015
Exercice 1 • 6 points
Démuni des superpouvoirs des supers héros traditionnels, le héros de bande dessinée Rocketeer utilise un réacteur placé dans son dos pour voler. En réalité, ce type de propulsion individuelle, appelé jet-pack, existe depuis plus de cinquante ans mais la puissance nécessaire interdisait une autonomie supérieure à la minute. Aujourd'hui, de nouveaux dispositifs permettent de voler durant plus d'une demi-heure.
Données
- Vitesse du fluide éjecté supposée constante : Vf
= 2 × 103 m ⋅ s–1. - Masse initiale du système {Rocketeer et de son équipement} : mR
= 120 kg (dont 40 kg de fluide au moment du décollage). - Intensité de la pesanteur sur Terre : g
= 10 m ⋅ s–2. - Débit massique de fluide éjecté, considéré constant durant la phase 1 du mouvement :
où mf est la masse de fluide éjecté pendant la durée ∆t.
- Les forces de frottements de l'air sont supposées négligeables.
1. Mouvement ascensionnel de Rocketeer
© WorldlessTech
D'après Pour la Science, n° 406, août 2011
Tous les jet-packs utilisent le principe de la propulsion par réaction. Lorsqu'un moteur expulse vers l'arrière un jet de fluide, il apparaît par réaction une force de poussée dont la valeur est égale au produit du débit massique de gaz éjecté par la vitesse d'éjection de ces gaz.
Afin de tester le potentiel de son nouveau jet-pack, Rocketeer réalise quelques essais de mouvements rectilignes ascensionnels verticaux.
Le mouvement de Rocketeer est composé de deux phases : phase 1 et phase 2.
Au cours de la phase 1, d'une durée ∆t1
du système.
Que dire de l'accélération dans la phase 2 ? Justifier.
On assimile Rocketeer et son équipement à un système noté M dont on néglige la variation de masse (due à l'éjection des gaz) durant la phase 1 du mouvement.
est l'une des forces s'exerçant sur le système M. Quelle est l'autre force s'exerçant sur ce système ?
A. 800 N
B. 1 200 N
C. 1 600 N
2. Problème technique
Après à peine quelques dizaines de mètres, le jet-pack ne répond plus et tombe en panne : au bout de 80 m d'ascension verticale, la vitesse de Rocketeer est nulle. Le « Super héros » amorce alors un mouvement de chute verticale. La position de Rocketeer et de son équipement est repérée selon un axe Oy vertical dirigé vers le haut et la date t
Le schéma ci-contre est tracé sans souci d'échelle.
Représentations graphiques de vy en fonction du temps t
y(t)
Quelle doit être la valeur minimale de la vitesse moyenne à laquelle devra se déplacer Batman au volant de sa Batmobile pour sauver à temps son ami Rocketeer ? Commenter.
Notions mises en jeu
Cinématique et dynamique newtoniennes.
Conseils du correcteur
Partie 1
Partie 2
1. Mouvement ascensionnel de Rocketeer
1 Déterminer la direction et le sens d'une accélération
Durant la phase 1, le mouvement est ascensionnel vertical. C'est donc un mouvement rectiligne accéléré. L'accélération est alors de direction verticale orientée vers le haut.
Durant la phase 2, le mouvement est
2 1. Établir le bilan des forces exercées sur le système
Le système M est au sol, dans le champ de pesanteur terrestre. Il est soumis à son poids 
.
2. Utiliser la 2e loi de Newton
Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, on peut utiliser la 2e loi de Newton :
les forces de frottements étant supposées négligeables.
On souhaite que l'accélération soit verticale ascendante : il faut donc que F
On peut calculer la norme du poids :
P
Il faut donc que F
3. Extraire des informations d'un énoncé
Il est écrit dans l'énoncé que « la valeur [de la force de poussée] est égale au produit du débit massique de gaz éjecté par la vitesse d'éjection de ces gaz ».
On peut alors calculer le débit massique de gaz éjecté :
F 
× 103
Or, toujours d'après les données, Df =
Toujours d'après l'énoncé, la phase 1 dure Δt1
4. Calculer une accélération et une vitesse
Comme explicité au
.
Astuce
N'hésitez pas à un faire un schéma pour expliciter votre raisonnement.
Nous avons donc la représentation ci-dessus et, en projetant sur l'axe Oy, cela donne :
F – P 
L'accélération est constante, on peut alors calculer la vitesse à l'issue de la phase 1 :
v1
2. Problème technique
1 Utiliser la 2e loi de Newton
Lorsque les moteurs s'arrêtent, le système n'est soumis qu'à son poids. D'après la 2e loi de Newton, on a :
Le poids étant constant, l'accélération est donc constante, verticale et dirigée vers le bas. Le mouvement est donc vertical descendant et uniformément accéléré. La vitesse, nulle à t
2 Déterminer l'équation horaire du mouvement
On reprend la 2e loi de Newton : 
.
Or 
, on a donc 
.
Notez bien
La vitesse est la primitive de l'accélération. La position est la primitive de la vitesse.
Puisque l'axe Oy est orienté vers le haut, on a :
aG
On peut déterminer l'équation horaire de la vitesse :
v
D'après l'énoncé, v0
On peut alors déterminer l'équation horaire du mouvement :
y 
gt²
D'après l'énoncé, y0
3 Calculer une vitesse moyenne
Il faut tout d'abord déterminer le temps de chute Δt de Rockeeter, soit la valeur de t lorsque y
0 
Il faut également déterminer la distance séparant Batman du point de chute. Dans le dessin de l'énoncé, 1 cm correspond à 1 km. La mesure du segment donne la valeur de 9,4 cm. Cela correspond donc à une distance réelle de 9,4 km.
Notez bien
La vitesse moyenne est égale au rapport de la distance parcourue sur le temps de parcours.
On peut donc calculer la vitesse moyenne V de la Batmobile :
V 
Cette valeur semble aberrante puisque 7 fois supérieure à la vitesse du son mais dans le monde des super-héros, on peut toujours imaginer que c'est possible… Tout dépend du scénario !