Super héros en danger…

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Temps, mouvement et évolution
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Nord
Corpus Corpus 1
Super héros en danger…

Temps, mouvement et évolution

pchT_1506_02_00C

Comprendre

13

CORRIGE

Amérique du Nord • Juin 2015

Exercice 1 • 6 points

Démuni des superpouvoirs des supers héros traditionnels, le héros de bande dessinée Rocketeer utilise un réacteur placé dans son dos pour voler. En réalité, ce type de propulsion individuelle, appelé jet-pack, existe depuis plus de cinquante ans mais la puissance nécessaire interdisait une autonomie supérieure à la minute. Aujourd’hui, de nouveaux dispositifs permettent de voler durant plus d’une demi-heure.

Données

  • Vitesse du fluide éjecté supposée constante : Vf= 2 × 103 m ⋅ s–1.
  • Masse initiale du système {Rocketeer et de son équipement} : mR= 120 kg (dont 40 kg de fluide au moment du décollage).
  • Intensité de la pesanteur sur Terre : g= 10 m ⋅ s–2.
  • Débit massique de fluide éjecté, considéré constant durant la phase 1 du mouvement :

mf est la masse de fluide éjecté pendant la durée ∆t.

  • Les forces de frottements de l’air sont supposées négligeables.

1. Mouvement ascensionnel de Rocketeer


 

D’après Pour la Science, n° 406, août 2011

Tous les jet-packs utilisent le principe de la propulsion par réaction. Lorsqu’un moteur expulse vers l’arrière un jet de fluide, il apparaît par réaction une force de poussée dont la valeur est égale au produit du débit massique de gaz éjecté par la vitesse d’éjection de ces gaz.

Afin de tester le potentiel de son nouveau jet-pack, Rocketeer réalise quelques essais de mouvements rectilignes ascensionnels verticaux.

Le mouvement de Rocketeer est composé de deux phases : phase 1 et phase 2.

Au cours de la phase 1, d’une durée ∆t1= 3,0 s, il passe de l’immobilité à une vitesse v1, vitesse qui reste constante au cours de la phase 2.

1 Pour la phase 1, donner la direction et le sens du vecteur accélération du système.

Que dire de l’accélération dans la phase 2 ? Justifier.

2 Étude de la phase 1 du mouvement ascensionnel de Rocketeer.

On assimile Rocketeer et son équipement à un système noté M dont on néglige la variation de masse (due à l’éjection des gaz) durant la phase 1 du mouvement.

1. Juste après le décollage, la force de poussée est l’une des forces s’exerçant sur le système M. Quelle est l’autre force s’exerçant sur ce système ?

2. Trois valeurs d’intensité de force de poussée sont proposées ci- dessous (A, B et C). Justifier que seule la proposition C permet le décollage.

A. 800 N

B. 1 200 N

C. 1 600 N

3. En supposant que la force de poussée a pour valeur 1 600 N, montrer que la masse de fluide consommé durant la phase 1 du mouvement est égale à 2,4 kg.

4. Après avoir déterminé l’accélération de Rocketeer en appliquant la seconde loi de Newton, estimer la valeur v1 de sa vitesse à l’issue de la phase 1.

2. Problème technique


 

Après à peine quelques dizaines de mètres, le jet-pack ne répond plus et tombe en panne : au bout de 80 m d’ascension verticale, la vitesse de Rocketeer est nulle. Le « Super héros » amorce alors un mouvement de chute verticale. La position de Rocketeer et de son équipement est repérée selon un axe Oy vertical dirigé vers le haut et la date t= 0 s correspond au début de la chute, soit à l’altitude y0= 80 m.

Le schéma ci-contre est tracé sans souci d’échelle.

1 Les représentations graphiques données à la page suivante proposent quatre évolutions au cours du temps de vy, vitesse de Rocketeer suivant l’axe Oy. Quelle est la représentation cohérente avec la situation donnée ? Une justification qualitative est attendue.

Représentations graphiques de vy en fonction du temps t


 

 

 

 

2 Montrer que lors de cette chute, la position de Rocketeer est donnée par l’équation horaire :

y(t)= –5t2+ 80 avec t en seconde et y en mètre.

3 À quelques kilomètres du lieu de décollage de Rocketeer se trouve le Manoir Wayne, demeure d’un autre super héros, Batman. Alerté par ses superpouvoirs dès le début de la chute de Rocketeer, ce dernier saute dans sa Batmobile, véhicule se déplaçant au sol.


 

Quelle doit être la valeur minimale de la vitesse moyenne à laquelle devra se déplacer Batman au volant de sa Batmobile pour sauver à temps son ami Rocketeer ? Commenter.

Les clés du sujet

Notions mises en jeu

Cinématique et dynamique newtoniennes.

Conseils du correcteur

Partie 1

12. Imaginez bien qu’il faut que Rockeeter puisse décoller : il doit donc lutter contre la force qui l’attire vers le bas.

3. Toutes les définitions sont données dans l’énoncé. Il faut bien relire le début de l’exercice.

4. Pensez que l’accélération est constante pour calculer ensuite la vitesse.

Partie 2

1 Attention au sens d’orientation de l’axe Oy !

3 Pour calculer une vitesse moyenne, il faut connaître la distance parcourue (à votre règle !) et le temps de parcours.

Corrigé
Corrigé

1. Mouvement ascensionnel de Rocketeer

1 Déterminer la direction et le sens d’une accélération

Durant la phase 1, le mouvement est ascensionnel vertical. C’est donc un mouvement rectiligne accéléré. L’accélération est alors de direction verticale orientée vers le haut.

Durant la phase 2, le mouvement est rectiligne uniforme. L’accélération est alors nulle.

21. Établir le bilan des forces exercées sur le système

Le système M est au sol, dans le champ de pesanteur terrestre. Il est soumis à son poids .

2. Utiliser la 2e loi de Newton

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, on peut utiliser la 2e loi de Newton :

les forces de frottements étant supposées négligeables.

On souhaite que l’accélération soit verticale ascendante : il faut donc que F >P.

On peut calculer la norme du poids :

P=mRg= 120 × 10 = 1 200 N.

Il faut donc que F > 1 200 N. La seule proposition qui permette le décollage est donc la proposition C :

F= 1 600 N.

3. Extraire des informations d’un énoncé

Il est écrit dans l’énoncé que « la valeur [de la force de poussée] est égale au produit du débit massique de gaz éjecté par la vitesse d’éjection de ces gaz ».

On peut alors calculer le débit massique de gaz éjecté :

F=Df × vf soit Df= × 103= 0,8 kg/s.

Or, toujours d’après les données, Df =

Toujours d’après l’énoncé, la phase 1 dure Δt1= 3,0 s. Cela correspond donc à une masse de gaz éjecté telle que :

mf=Df × Δt1= 0,8 × 3,0 =2,4 kg.

4. Calculer une accélération et une vitesse


 

Comme explicité au 22 de la partie 1,

.

Astuce

N’hésitez pas à un faire un schéma pour expliciter votre raisonnement.

Nous avons donc la représentation ci-dessus et, en projetant sur l’axe Oy, cela donne :

FP=mRaG soit aG== 3,3 m · s–2.

L’accélération est constante, on peut alors calculer la vitesse à l’issue de la phase 1 :

v1=aGΔt1= 3,3 × 3,0 = 10 m · s–1.

2. Problème technique

1 Utiliser la 2e loi de Newton

Lorsque les moteurs s’arrêtent, le système n’est soumis qu’à son poids. D’après la 2e loi de Newton, on a :

Le poids étant constant, l’accélération est donc constante, verticale et dirigée vers le bas. Le mouvement est donc vertical descendant et uniformément accéléré. La vitesse, nulle à t= 0, est donc négative (axe Oy orienté vers le haut) et décroissante. La représentation graphique correspondante est donc la A.

2 Déterminer l’équation horaire du mouvement

On reprend la 2e loi de Newton : .

Or , on a donc .

Notez bien

La vitesse est la primitive de l’accélération. La position est la primitive de la vitesse.

Puisque l’axe Oy est orienté vers le haut, on a :

aG=g= –10 m · s–2.

On peut déterminer l’équation horaire de la vitesse :

v=gt +v0

D’après l’énoncé, v0= 0 d’où v= –10t.

On peut alors déterminer l’équation horaire du mouvement :

y=gt² +y0.

D’après l’énoncé, y0= 80 m d’où y= – 5t² + 80.

3 Calculer une vitesse moyenne

Il faut tout d’abord déterminer le temps de chute Δt de Rockeeter, soit la valeur de t lorsque y= 0. Cela donne :

0 = –5Δt² + 80 d’où Δt== 4,0 s.

Il faut également déterminer la distance séparant Batman du point de chute. Dans le dessin de l’énoncé, 1 cm correspond à 1 km. La mesure du segment donne la valeur de 9,4 cm. Cela correspond donc à une distance réelle de 9,4 km.

Notez bien

La vitesse moyenne est égale au rapport de la distance parcourue sur le temps de parcours.

On peut donc calculer la vitesse moyenne V de la Batmobile :

V== 2,4 × 103 m/s =8 400 km/h.

Cette valeur semble aberrante puisque 7 fois supérieure à la vitesse du son mais dans le monde des super-héros, on peut toujours imaginer que c’est possible… Tout dépend du scénario !