Taille de poissons d’une espèce donnée et nombre de poissons malades

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Notion de loi à densité
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Polynésie française
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Taille de poissons d’une espèce donnée et nombre de poissons malades
 
 

Probabilités et statistiques • Notion de loi à densité

Corrigé

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Ens spécifique

matT_1306_13_05C

 

Polynésie française • Juin 2013

Exercice 4 • 5 points

On s’intéresse à une espèce de poissons présente dans deux zones différentes (zone 1 et zone 2) de la planète.

partie a : étude de la zone 1

On note la variable aléatoire qui, à chaque poisson observé dans la zone 1, associe sa taille en cm.

Une étude statistique sur ces poissons de la zone 1 a montré que la variable aléatoire suit une loi normale de moyenne µ et d’écart type . La courbe de la densité de probabilité associée à est représentée ci-dessous.


 

>1. Par lecture graphique, donner la valeur de µ. (0,5 point)

>2. On pêche un de ces poissons dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à , d’avoir un poisson dont la taille est comprise entre 150 cm et 210 cm (0,5 point)

>3. Un poisson de cette espèce de la zone 1 est considéré comme adulte quand il mesure plus de 120 cm.

On pêche un poisson de l’espèce considérée dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à , de pêcher un poisson adulte. (0,5 point)

>4. On considère un nombre strictement plus grand que la valeur moyenne µ.

Est-il vrai que  ? Justifier. (1 point)

partie b : étude de la zone 2

>1. Certains poissons de la zone 2 sont atteints d’une maladie. On prélève de façon aléatoire un échantillon de 50 poissons de cette espèce dans la zone 2 et on constate que 15 poissons sont malades.

a) Calculer la fréquence de poissons malades dans l’échantillon. (0,5 point)

b) Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de 95 %, de la proportion p de poissons malades dans la zone 2. On arrondira les bornes au millième. (1 point)

>2. Soit la variable aléatoire qui, à chaque poisson de l’espèce considérée de la zone 2, associe sa taille en cm. On admet que la variable aléatoire suit la loi normale de moyenne µ′ = 205 et d’écart type .

En comparant avec le graphique de la zone 1 donné à la question 1 qui représente une loi normale d’écart type , dire laquelle des trois courbes ci-dessous représente la densité de probabilité de la variable aléatoire . Justifier la réponse. (1 point)


 

 

 

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Loi à densité, loi normale • Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

Partie B

>1.a) La fréquence de poissons malades est le quotient du nombre de poissons malades par le nombre de poissons prélevés.

>2. Si suit une loi normale d’espérance , alors la droite d’équation est axe de symétrie de la courbe représentative de sa fonction de densité.

Comparez aussi les écarts types : plus l’écart type est grand, plus la courbe représentative de la fonction de densité est étalée.

Corrigé

Partie A : Étude de la zone 1

>1. Déterminer par lecture graphique l’espérance d’une loi normale

µ est l’espérance de la loi normale suivie par la variable aléatoire représentant la taille en cm des poissons de la zone 1.

La courbe représentative de la fonction de densité de la loi de a donc pour axe de symétrie la droite d’équation . Par lecture graphique :

>2. Calculer une probabilité associée à une loi normale

Si on pêche un poisson de la zone 1, la probabilité que ce poisson ait une taille comprise entre 150 et 210 cm est .

Avec la calculatrice :

>3. Calculer une probabilité associée à une loi normale

On cherche

Or .

à près d’après la calculatrice.

car suit une loi normale d’espérance 150.

D’où :

>4. Comparer à 0,5 une probabilité associée à une loi normale

Soit un réel tel que .

car suit une loi normale d’espérance µ.

Or car , donc .

L’affirmation proposée est donc fausse.

Partie B : Étude de la zone 2

>1.a) Calculer une fréquence

15 poissons, sur les 50 prélevés, sont malades. La fréquence de poissons malades dans cet échantillon est donc :

b) Déterminer un intervalle de confiance

Au niveau de 95 %, un intervalle de confiance de la proportion p de poissons malades dans la zone 2, déterminé à partir de la fréquence de poissons malades dans un échantillon de taille , est

,

à condition que .

Ici et , donc ces conditions sont remplies.

En arrondissant au millième la borne gauche par défaut, la borne droite par excès, on obtient pour l’intervalle de confiance de niveau 95 % :

>2. Déterminer la courbe représentative de la fonction de densité d’une variable aléatoire suivant une loi normale

La variable aléatoire a pour moyenne µ′ = 205, donc la droite d’équation est axe de symétrie de la courbe représentative de sa fonction de densité ; on peut donc exclure la courbe 3, qui n’est pas symétrique par rapport à la droite d’équation .

La variable aléatoire a un écart type , strictement supérieur à l’écart type de la variable aléatoire .

 

Notez bien

Les trois courbes données représentent la fonction de densité d’une variable aléatoire suivant une loi normale. Chacune de ces courbes a un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées et passant par le point d’ordonnée maximale.

La variable aléatoire prend donc des valeurs plus dispersées que la variable X. La courbe représentative de sa fonction de densité est donc plus « aplatie », plus « étalée » que la courbe représentative de la fonction de densité de .

En comparant avec le graphique donné à la question 1, on en déduit que la densité de probabilité de la variable aléatoireest représentée par la courbe 1.