Probabilités et statistiques • Notion de loi à densité
Corrigé
27
Ens spécifique
matT_1306_13_05C
Polynésie française • Juin 2013
Exercice 4 • 5 points
On s’intéresse à une espèce de poissons présente dans deux zones différentes (zone 1 et zone 2) de la planète.
partie a : étude de la zone 1
On note 
la variable aléatoire qui, à chaque poisson observé dans la zone 1, associe sa taille en cm.
Une étude statistique sur ces poissons de la zone 1 a montré que la variable aléatoire 
suit une loi normale de moyenne µ et d’écart type 
. La courbe de la densité de probabilité associée à 
est représentée ci-dessous.
, d’avoir un poisson dont la taille est comprise entre 150 cm et 210 cm (0,5 point)
On pêche un poisson de l’espèce considérée dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à 
, de pêcher un poisson adulte. (0,5 point)
strictement plus grand que la valeur moyenne µ.
Est-il vrai que 
? Justifier. (1 point)
partie b : étude de la zone 2
de poissons malades dans l’échantillon. (0,5 point)
la variable aléatoire qui, à chaque poisson de l’espèce considérée de la zone 2, associe sa taille en cm. On admet que la variable aléatoire 
suit la loi normale de moyenne µ′ 
.
En comparant avec le graphique de la zone 1 donné à la question 1 qui représente une loi normale d’écart type 
, dire laquelle des trois courbes ci-dessous représente la densité de probabilité de la variable aléatoire 
. Justifier la réponse. (1 point)
Durée conseillée : 45 min.
Les thèmes en jeu
Loi à densité, loi normale • Intervalle de confiance.
Les conseils du correcteur
Partie B
suit une loi normale d’espérance 
, alors la droite d’équation 
est axe de symétrie de la courbe représentative de sa fonction de densité.
Comparez aussi les écarts types : plus l’écart type est grand, plus la courbe représentative de la fonction de densité est étalée.
Partie A : Étude de la zone 1
> 1. Déterminer par lecture graphique l’espérance d’une loi normale
µ est l’espérance de la loi normale suivie par la variable aléatoire 
représentant la taille en cm des poissons de la zone 1.
La courbe représentative de la fonction de densité de la loi de 
a donc pour axe de symétrie la droite d’équation 
. Par lecture graphique :
> 2. Calculer une probabilité associée à une loi normale
Si on pêche un poisson de la zone 1, la probabilité que ce poisson ait une taille comprise entre 150 et 210 cm est 
.
Avec la calculatrice :
> 3. Calculer une probabilité associée à une loi normale
On cherche 
Or 
.
à 
près d’après la calculatrice.
car 
suit une loi normale d’espérance 150.
D’où :
> 4. Comparer à 0,5 une probabilité associée à une loi normale
Soit 
un réel tel que 
.
car 
suit une loi normale d’espérance µ.
Or 
car 
, donc 
.
Partie B : Étude de la zone 2
> 1. a) Calculer une fréquence
15 poissons, sur les 50 prélevés, sont malades. La fréquence de poissons malades dans cet échantillon est donc :
b) Déterminer un intervalle de confiance
Au niveau de 95 %, un intervalle de confiance de la proportion p de poissons malades dans la zone 2, déterminé à partir de la fréquence 
de poissons malades dans un échantillon de taille 
, est
,
à condition que 
.
Ici 
et 
, donc ces conditions sont remplies.
En arrondissant au millième la borne gauche par défaut, la borne droite par excès, on obtient pour 
l’intervalle de confiance de niveau 95 % :
> 2. Déterminer la courbe représentative de la fonction de densité d’une variable aléatoire suivant une loi normale
La variable aléatoire 
a pour moyenne µ′ 
est axe de symétrie de la courbe représentative de sa fonction de densité ; on peut donc exclure la courbe 3, qui n’est pas symétrique par rapport à la droite d’équation 
.
La variable aléatoire 
a un écart type 
, strictement supérieur à l’écart type 
de la variable aléatoire 
.
Notez bien
Les trois courbes données représentent la fonction de densité d’une variable aléatoire suivant une loi normale. Chacune de ces courbes a un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées et passant par le point d’ordonnée maximale.
La variable aléatoire 
prend donc des valeurs plus dispersées que la variable X. La courbe représentative de sa fonction de densité est donc plus « aplatie », plus « étalée » que la courbe représentative de la fonction de densité de 
.
En comparant avec le graphique donné à la question 1, on en déduit que 