Taille de poissons d’une espèce donnée et nombre de poissons malades

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Notion de loi à densité
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Polynésie française
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Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
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Taille de poissons d&rsquo une espèce donnée et nombre de poissons malades
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Probabilités et statistiques &bull Notion de loi à densité

Corrigé

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Ens spécifique

matT_1306_13_05C

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Polynésie française &bull Juin 2013

Exercice 4 &bull 5 points

On s&rsquo intéresse à une espèce de poissons présente dans deux zones différentes (zone 1 et zone 2) de la planète.

partie a : étude de la zone 1

On note la variable aléatoire qui, à chaque poisson observé dans la zone 1, associe sa taille en cm.

Une étude statistique sur ces poissons de la zone 1 a montré que la variable aléatoire suit une loi normale de moyenne &micro et d&rsquo écart type . La courbe de la densité de probabilité associée à est représentée ci-dessous.


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&gt 1. Par lecture graphique, donner la valeur de &micro . (0,5 point)

&gt 2. On pêche un de ces poissons dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à , d&rsquo avoir un poisson dont la taille est comprise entre 150 cm et 210 cm (0,5 point)

&gt 3. Un poisson de cette espèce de la zone 1 est considéré comme adulte quand il mesure plus de 120 cm.

On pêche un poisson de l&rsquo espèce considérée dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à , de pêcher un poisson adulte. (0,5 point)

&gt 4. On considère un nombre strictement plus grand que la valeur moyenne &micro .

Est-il vrai que  ? Justifier. (1 point)

partie b : étude de la zone 2

&gt 1. Certains poissons de la zone 2 sont atteints d&rsquo une maladie. On prélève de façon aléatoire un échantillon de 50 poissons de cette espèce dans la zone 2 et on constate que 15 poissons sont malades.

a) Calculer la fréquence de poissons malades dans l&rsquo échantillon. (0,5 point)

b) Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de 95 %, de la proportion p de poissons malades dans la zone 2. On arrondira les bornes au millième. (1 point)

&gt 2. Soit la variable aléatoire qui, à chaque poisson de l&rsquo espèce considérée de la zone 2, associe sa taille en cm. On admet que la variable aléatoire suit la loi normale de moyenne &micro &prime  = 205 et d&rsquo écart type .

En comparant avec le graphique de la zone 1 donné à la question 1 qui représente une loi normale d&rsquo écart type , dire laquelle des trois courbes ci-dessous représente la densité de probabilité de la variable aléatoire . Justifier la réponse. (1 point)


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Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Loi à densité, loi normale &bull Intervalle de confiance.

Les conseils du correcteur

Partie B

&gt 1.a) La fréquence de poissons malades est le quotient du nombre de poissons malades par le nombre de poissons prélevés.

&gt 2. Si suit une loi normale d&rsquo espérance , alors la droite d&rsquo équation est axe de symétrie de la courbe représentative de sa fonction de densité.

Comparez aussi les écarts types : plus l&rsquo écart type est grand, plus la courbe représentative de la fonction de densité est étalée.