Tangentes à la courbe représentative d’une fonction et calcul d’une aire

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Nouvelle-Calédonie

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2016

Exercice 4 • 6 points • 50 min

Tangentes à la courbe représentative d’une fonction et calcul d’une aire

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Tangente.

 

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

La fonction f est définie sur l’intervalle [0,5 ; 10] par :

f(x)=ax+2+bln(x)

a et b sont deux nombres réels.

On note f la fonction dérivée de f.

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :

la courbe représentative Γ de la fonction f ;

la droite d tangente à la courbe Γ au point A de coordonnées (1 ; 1) ;

la droite d tangente à la courbe Γ au point B d’abscisse 3.

matT_1609_11_00C_02

On sait de plus que :

la tangente au point A passe par le point E de coordonnées (0 ; – 1) ;

la tangente au point B est parallèle à l’axe des abscisses.

partie a

1. Donner par lecture graphique la valeur de f(1), puis celle de f(3). (0,5 point)

2. Calculer f(x). (0,5 point)

3. En déduire les valeurs des nombres a et b. (0,5 point)

partie b

On admet que la fonction f est définie sur l’intervalle [0,5 ; 10] par :

f(x)=x+2+3ln(x).

1. Montrer que pour x dans [0,5 ; 10] :

f(x)=x+3x. (0,5 point)

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Γ au point A d’abscisse 1. (0,5 point)

3. Étudier le signe de f(x) sur l’intervalle [0,5 ; 10], puis dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle. (0,75 point)

4. Montrer que, sur l’intervalle [0,5 ; 3], l’équation f(x) = 0 admet une unique solution. Donner une valeur approchée de cette solution arrondie au centième. (0,75 point)

5. Un logiciel de calcul formel nous donne le résultat suivant :

1

Intégrer [3ln(x)x+2]

3xln(x)xx22

Calculer, en unités d’aire, l’aire S du domaine délimité par la courbe Γ, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 1 et x = 8.

On donnera la valeur exacte de S, puis sa valeur arrondie au centième. (1 point)

partie c

Tom observe que, sur le dessin précédent, la courbe représentative de f est située en dessous des deux tangentes aux points A et B. Il affirme :

« La courbe représentative de f sur l’intervalle [0,5 ; 10] est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. »

Démontrer que l’affirmation de Tom est exacte. (1 point)

Les clés du sujet

Partie A

1. f(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a.

2. Donnez une expression de f(x) en fonction de a et b.

Partie B

4. Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

5. Utilisez la primitive de f donnée par le logiciel de calcul formel.

Partie C

Étudiez la convexité de f sur l’intervalle [0,5 ; 10].