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Tangentes à la courbe représentative d'une fonction et calcul d'une aire

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2016

Exercice 4 • 6 points • 50 min

Tangentes à la courbe représentative d'une fonction et calcul d'une aire

Les thèmes clés

Fonction logarithme népérien • Tangente.

 

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

La fonction f est définie sur l'intervalle [0,5  10] par :

f(x)=ax+2+bln(x)

a et b sont deux nombres réels.

On note f la fonction dérivée de f.

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :

la courbe représentative Γ de la fonction f 

la droite d tangente à la courbe Γ au point A de coordonnées (1  1) 

la droite d tangente à la courbe Γ au point B d'abscisse 3.

matT_1609_11_00C_02

On sait de plus que :

la tangente au point A passe par le point E de coordonnées (0  – 1) 

la tangente au point B est parallèle à l'axe des abscisses.

partie a

1. Donner par lecture graphique la valeur de f(1), puis celle de f(3). (0,5 point)

2. Calculer f(x). (0,5 point)

3. En déduire les valeurs des nombres a et b. (0,5 point)

partie b

On admet que la fonction f est définie sur l'intervalle [0,5  10] par :

f(x)=x+2+3ln(x).

1. Montrer que pour x dans [0,5  10] :

f(x)=x+3x. (0,5 point)

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Γ au point A d'abscisse 1. (0,5 point)

3. Étudier le signe de f(x) sur l'intervalle [0,5  10], puis dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle. (0,75 point)

4. Montrer que, sur l'intervalle [0,5  3], l'équation f(x) = 0 admet une unique solution. Donner une valeur approchée de cette solution arrondie au centième. (0,75 point)

5. Un logiciel de calcul formel nous donne le résultat suivant :

1

Intégrer [3ln(x)x+2]

3xln(x)xx22

Calculer, en unités d'aire, l'aire S du domaine délimité par la courbe Γ, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 1 et x = 8.

On donnera la valeur exacte de S, puis sa valeur arrondie au centième. (1 point)

partie c

Tom observe que, sur le dessin précédent, la courbe représentative de f est située en dessous des deux tangentes aux points A et B. Il affirme :

« La courbe représentative de f sur l'intervalle [0,5  10] est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. »

Démontrer que l'affirmation de Tom est exacte. (1 point)

Les clés du sujet

Partie A

1. f(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.

2. Donnez une expression de f(x) en fonction de a et b.

Partie B

4. Utilisez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

5. Utilisez la primitive de f donnée par le logiciel de calcul formel.

Partie C

Étudiez la convexité de f sur l'intervalle [0,5  10].

Corrigé

partie a

1. Lire graphiquement deux nombres dérivés

La tangente en A à la courbe Γ est la droite (AE) de coefficient directeur yEyAxExA=2, donc :

f(1)=2

La tangente en B à la courbe Γ est parallèle à l'axe des abscisses, donc :

f(3)=0

2. Calculer la dérivée d'une fonction

a et b sont des constantes donc, pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0,5  10] :

f(x)=a+bx

3. Déterminer l'expression d'une fonction

D'après les deux questions précédentes :

f(1)=2a+b=2 et f(3)=0a+b3=0.

Le couple ( b) est donc solution du système :

{a+b=2a+b3=0

Ce système équivaut successivement à :

{b= 3aa3a=2

{a= 1b=3

Donc, pour tout réel x appartenant à [0,5  10] :

f(x)=x+2+3ln(x)

partie b

1. Calculer la dérivée d'une fonction

On a vu à la question 2. de la partie A que, pour tout réel x appartenant à [0,5  10] :

f(x)=a+bx.

En remplaçant a et b par leurs valeurs, on obtient :

 f(x)=1+3x

f(x)=x+3x

2. Déterminer une équation d'une tangente à une courbe

La tangente en A à la courbe Γ a pour équation y=f(1)(x 1)+f(1).

Or f(1)=1 et f(1)=2, donc la tangente en A à Γ a pour équation :

y = x – 1 + 2

y=x+1

3. Étudier les variations d'une fonction

f(x)=x+3x et x > 0 pour tout x dans [0,5  10], donc f(x) est du signe de (– x + 3).

D'où :

si 0,5 x 3, alors – x + 3 > 0, donc f(x)>0 

f(3)=0 

si 3 x 10, alors – x + 3 0, donc f(x)0.

On en déduit le tableau de variations de f sur l'intervalle [0,5  10] :

005_matT_1611_11_00C_tab1

f(0,5)=0,5+2+3ln(0,5)0,579f(3)=3+2+3ln32,296

f(10)=10+2+3ln(10)1,092.

4. Montrer qu'une équation a une unique solution dans un intervalle

La fonction f est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l'intervalle [0,5  3]  d'autre part f(0,5)0f(3).

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 a une unique solution sur l'intervalle [0,5  3].

On note α cette solution.

D'après la calculatrice : f(0,63)0,0160 et f(0,64)0,021>0, donc f(0,63)f(α)f(0,64), donc 0,63 α 0,64.

f(0,634)0,0011 et f(0,635)0,0026, donc 0,634 α 0,635.

0,63 est une valeur approchée arrondie au centième de la solution sur l'intervalle [0,5  3] de l'équation f(x)=0.

5. Calculer une aire

f(1)=1 et f(8)=6+3ln80,24>0. D'après le tableau de variations, la fonction f est positive sur l'intervalle [1  8]. Donc :

S=18f(x) dx.

notez bien

On peut vérifier que, pour tout réel x appartenant à [0,5  10], F(x)=f(x).

D'après le résultat fourni par le logiciel de calcul formel, la fonction F définie par :

F(x)=3xln(x)xx22

est une primitive de f sur [0,5  10].

Donc S=F(8)F(1)=24ln8832+1+12.

S=24ln8772 (valeur exacte)   S11,41 (valeur arrondie au centième).

partie c

Étudier la position d'une courbe par rapport à ses tangentes

Pour tout x appartenant à [0,5  10] : f(x)=1+3x,

donc f(x)=3x2.

Donc f(x)0 pour tout x appartenant à [0,5  10].

La fonction f est donc concave sur l'intervalle [0,5  10] et sa courbe représentative sur cet intervalle est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.

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