Taux d’alcoolémie

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Polynésie française

Polynésie française • Juin 2016

Exercice 1 • 7 points

Taux d’alcoolémie

Partie A

Voici deux courbes C1 et C2 qui donnent pour deux personnes P1 et P2 de corpulences différentes la concentration C d’alcool dans le sang (taux d’alcoolémie) en fonction du temps t après ingestion de la même quantité d’alcool. L’instant = 0 correspond au moment où les deux individus ingèrent l’alcool.

C est exprimée en grammes par litre et t en heures.

Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps.

matT_1606_13_00C_01

▶ 1. La fonction C est définie sur l’intervalle [0 ; + [ et on note C sa fonction dérivée. À un instant t positif ou nul, la vitesse d’apparition d’alcool dans le sang est donnée par C(t).

À quel instant cette vitesse est-elle maximale ?

On dit souvent qu’une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l’alcool.

▶ 2. Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus corpulente. Justifier le choix effectué.

▶ 3. Une personne à jeun absorbe de l’alcool. On admet que la concentration C d’alcool dans son sang peut être modélisée par la fonction f définie sur [0 ; + [ par :

f (t= At et

A est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d’alcool absorbée.

a) On note f la fonction dérivée de la fonction f. Déterminer f(0).

b) L’affirmation suivante est-elle vraie ?

« À quantité d’alcool absorbée égale, plus A est grand, plus la personne est corpulente. »

Partie B : Un cas particulier

Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de rhum. La concentration C d’alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps t, exprimé en heures, par la fonction f définie sur [0 ; + [ par :

f (t= 2t et.

▶ 1. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; + [.

2. À quel instant la concentration d’alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle est alors sa valeur ? Arrondir à 10−2 près.

▶ 3. Rappeler la limite de ett lorsque t tend vers +  et en déduire celle de f (t) en + .

Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

▶ 4. Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle que la législation autorise une concentration maximale d’alcool dans le sang de 0,2 g ⋅ L−1 pour un jeune conducteur.

a) Démontrer qu’il existe deux nombres réels t1 et t2 tels que f(t1= f(t2= 0,2.

b) Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant en toute légalité ?

Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.

▶ 5. La concentration minimale d’alcool détectable dans le sang est estimée à 5 × 10−3⋅ L−1.

a) Justifier qu’il existe un instant T à partir duquel la concentration d’alcool dans le sang n’est plus détectable.

b) On donne l’algorithme suivant où f est la fonction définie par f(t= 2t et.

Initialisation

t prend la valeur 3,5

p prend la valeur 0,25

C prend la valeur 0,21

Traitement

Tant que C > 5 × 10−3 faire :

t prend la valeur t + p

C prend la valeur f (t)

Fin Tant que

Sortie

Afficher t

Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en exécutant cet algorithme. Arrondir les valeurs à 10−2 près.

Initialisation

Étape 1

Étape 2

p

0,25

t

3,5

C

0,21

Que représente la valeur affichée par cet algorithme ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Dérivation • Continuité • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Dérivation  E6  Partie A ; Partie B, 1. et 2.

Continuité  E7b • E7c  Partie B, 4. a) et 5. a)

Fonction exponentielle  E8c • E8d• E8e  Parties A, 3. a) et B, 1. à 3.

Nos coups de pouce

Partie A

 1. Pensez à relier le nombre dérivé en un réel t à la notion de coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de C au point d’abscisse t. Essayez de déterminer pour quelle valeur de t le coefficient directeur d’une telle tangente est maximal.

 2. Tracez la tangente à l’origine pour chacune des courbes proposées et comparez leurs coefficients directeurs.

Partie B

 4. a) et 5. a) Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.