Taux d’alcoolémie

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Polynésie française

Polynésie française • Juin 2016

Exercice 1 • 7 points

Taux d’alcoolémie

Partie A

Voici deux courbes C1 et C2 qui donnent pour deux personnes P1 et P2 de corpulences différentes la concentration C d’alcool dans le sang (taux d’alcoolémie) en fonction du temps t après ingestion de la même quantité d’alcool. L’instant = 0 correspond au moment où les deux individus ingèrent l’alcool.

C est exprimée en grammes par litre et t en heures.

Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps.

matT_1606_13_00C_01

▶ 1. La fonction C est définie sur l’intervalle [0 ; + [ et on note C sa fonction dérivée. À un instant t positif ou nul, la vitesse d’apparition d’alcool dans le sang est donnée par C(t).

À quel instant cette vitesse est-elle maximale ?

On dit souvent qu’une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l’alcool.

▶ 2. Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus corpulente. Justifier le choix effectué.

▶ 3. Une personne à jeun absorbe de l’alcool. On admet que la concentration C d’alcool dans son sang peut être modélisée par la fonction f définie sur [0 ; + [ par :

f (t= At et

A est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d’alcool absorbée.

a) On note f la fonction dérivée de la fonction f. Déterminer f(0).

b) L’affirmation suivante est-elle vraie ?

« À quantité d’alcool absorbée égale, plus A est grand, plus la personne est corpulente. »

Partie B : Un cas particulier

Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de rhum. La concentration C d’alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps t, exprimé en heures, par la fonction f définie sur [0 ; + [ par :

f (t= 2t et.

▶ 1. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; + [.

2. À quel instant la concentration d’alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle est alors sa valeur ? Arrondir à 10−2 près.

▶ 3. Rappeler la limite de ett lorsque t tend vers +  et en déduire celle de f (t) en + .

Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

▶ 4. Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle que la législation autorise une concentration maximale d’alcool dans le sang de 0,2 g ⋅ L−1 pour un jeune conducteur.

a) Démontrer qu’il existe deux nombres réels t1 et t2 tels que f(t1= f(t2= 0,2.

b) Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant en toute légalité ?

Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.

▶ 5. La concentration minimale d’alcool détectable dans le sang est estimée à 5 × 10−3⋅ L−1.

a) Justifier qu’il existe un instant T à partir duquel la concentration d’alcool dans le sang n’est plus détectable.

b) On donne l’algorithme suivant où f est la fonction définie par f(t= 2t et.

Initialisation

t prend la valeur 3,5

p prend la valeur 0,25

C prend la valeur 0,21

Traitement

Tant que C > 5 × 10−3 faire :

t prend la valeur t + p

C prend la valeur f (t)

Fin Tant que

Sortie

Afficher t

Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en exécutant cet algorithme. Arrondir les valeurs à 10−2 près.

Initialisation

Étape 1

Étape 2

p

0,25

t

3,5

C

0,21

Que représente la valeur affichée par cet algorithme ?

Les clés du sujet

Durée conseillée : 75 minutes.

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Dérivation • Continuité • Algorithmique.

Les outils dont vous avez besoin

Dérivation  E6  Partie A ; Partie B, 1. et 2.

Continuité  E7b • E7c  Partie B, 4. a) et 5. a)

Fonction exponentielle  E8c • E8d• E8e  Parties A, 3. a) et B, 1. à 3.

Nos coups de pouce

Partie A

 1. Pensez à relier le nombre dérivé en un réel t à la notion de coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de C au point d’abscisse t. Essayez de déterminer pour quelle valeur de t le coefficient directeur d’une telle tangente est maximal.

 2. Tracez la tangente à l’origine pour chacune des courbes proposées et comparez leurs coefficients directeurs.

Partie B

 4. a) et 5. a) Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Corrigé

Corrigé

partie a

▶ 1. Identifier une vitesse maximale

C(t) est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse t à la courbe représentative de la fonction C. Pour chacune des courbes C1 et C2, le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse t semble maximal lorsque t=0.

Par conséquent, la vitesse d’apparition de l’alcool dans le sang est maximale à t = 0.

▶ 2. Identifier une courbe sous contrainte

Pour identifier la personne la plus corpulente, il suffit de s’intéresser à la vitesse d’apparition de l’alcool dans le sang à l’instant t=0.

Si l’on trace les tangentes T1 et T2 au point d’abscisse 0 respectivement pour les courbes C1 et C2, la tangente qui semble avoir le coefficient directeur le plus élevé est la tangente T1.

matT_1606_13_00C_04

La vitesse maximale d’apparition de l’alcool dans le sang est donc plus élevée pour la personne P1 que pour la personne P2. La personne P2 subit donc moins vite les effets de l’alcool que la personne P1. Par conséquent, la personne P2 est celle qui a la plus forte corpulence.

▶ 3. a) Calculer un nombre dérivé

Notez bien

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors la fonction u×v est dérivable sur I et (u×v)=u×v+u×v.

f est un produit de fonctions dérivables sur [0;+[ donc f est dérivable sur [0;+[.

Pour tout t[0;+[ :

f(t)=A×et+At×(et)=A(1t)et.

Par conséquent, f(0)=A×(10)×e0=1=A.

b) Étudier une affirmation

Considérons deux personnes P1 et P2 qui absorbent à jeun une même quantité d’alcool et notons f1 etf2 les fonctions qui modélisent la concentration d’alcool dans le sang, associées respectivement à P1 et P2 avec f1(t)=A1tet et f2(t)=A2tet pour t[0;+[. Notons ensuite V(P1) et V(P2) les corpulences respectives des personnes P1 et P2.

Supposons que A1<A2. Cela donne, d’après la question A 3. a), f1(0)<f2(0). La vitesse initiale d’apparition de l’alcool dans le sang de la personne P1 est donc moins élevée que celle de la personne P2. La personne P1 subit donc, juste après l’absorption, moins vite les effets de l’alcool. Elle est donc plus corpulente que la personne P2. Ainsi, V(P1)>V(P2).

En résumé, si A augmente, la corpulence diminue. L’affirmation est donc fausse.

partie b : un cas particulier

▶ 1. Étudier les variations d’une fonction

En reprenant les résultats de la question A 3. a) avec A=2, on obtient, pour tout t[0;+[ :

f(t)=2(1t)et.

Pour tout t[0;+[, et>0 (une exponentielle est toujours positive) donc le signe de f(t) est celui de (1t). Or 1t>0t<1.

Par conséquent :

Si t[0;1[ alors f(t)>0 donc f est strictement croissante sur [0 ; 1].

Si t]1;+[ alors f(t)<0 donc f est strictement décroissante sur [1 ; +[.

▶ 2. Identifier un maximum

Puisque fest strictement croissante sur [0;1] et strictement décroissante sur [1;+[, f admet un maximum en t=1. La concentration d’alcool dans le sang de Paul est donc maximale au bout d’une heure.

Cette concentration maximale est égale à :f(1)=2×1×e1=2e0,74 gL1.

▶ 3. Calculer et interpréter une limite

Pour rappel, nous avons :limt+ett=+. Comme, pour tout t>0, f(t)=2tet=2×tet=2×1ett, par quotient, on obtient limt+f(t)=0. Au bout d’un certain temps, la concentration d’alcool dans le sang de Paul sera proche de 0 : l’alcool ingéré aura été éliminé par le corps.

▶ 4. a) Déterminer les solutions d’une équation

D’après la question A 3. a), f est dérivable sur [0;+[ donc f est continue sur [0;+[ et a fortiori sur [0;1] et sur [1;+[.

D’après la question B 1., f est strictement croissante sur [0;1].

f(0)=0 et f(1)=2e0,74 (voir question B 2.). Par conséquent, 0,2 est compris entref(0) et f(1).

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(t)=0,2 admet une unique solution t1[0;1].

D’après la question B 1., f est strictement décroissante sur [1;+[.

f(1)=2e0,74 et limt+f(t)=0 (voir question B 3.). Par conséquent, 0,2]0 ; 2e].

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(t)=0,2 admet une unique solution t2[1;+[.

Il existe donc deux nombres réels t1 et t2 tels que f(t1)=f(t2)=0,2.

b) Déterminer une durée minimale

Paul pourra prendre le volant lorsque son taux d’alcoolémie sera à nouveau en dessous de 0,2 gL1. Cela se produira pour t=t2. À la calculatrice, on obtient t23,577h3h35min.

Paul devra donc attendre 3 h 35 min avant de pouvoir prendre le volant.

▶ 5. a) Déterminer une valeur seuil

En reprenant les éléments de rédaction de la question B 4. a) :

f est continue sur [1;+[ et f est strictement décroissante sur [1;+[.

f(1)=2e0,74 et limt+f(t)=0. Par conséquent, 5×103]0;2e].

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(t)=5×103 admet une unique solution T[1;+[.

Puisque f est strictement décroissante sur [1;+[ et que f(T)=5×103, on a, pour tout t>T, f(t)<5×103.

Il existe donc un instant T à partir duquel la concentration d’alcool dans le sang n’est plus détectable.

b) Exécuter un algorithme et identifier son rôle

 

Initialisation

Étape 1

Étape 2

p

0,25

0,25

0,25

t

3,5

t=3,5+0,25=3,75

t=3,75+0,25=4

C

0,21

f(3,75)0,18

f(4)0,15

C > 5 × 10–3

Vrai

Vrai

Vrai

La concentration d’alcool dans le sang de Paul au bout de 3,5 heures est f(3,5)0,21gL1.

Cet algorithme permet de déterminer l’heure (à 15 minutes près car p = 0,25) à partir de laquelle la concentration d’alcool dans le sang de Paul n’est plus détectable.