partie a

▶ 1. Identifier une vitesse maximale

$C^{\prime }\left(t\right)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $t$ à la courbe représentative de la fonction $C.$ Pour chacune des courbes C₁ et C₂, le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $t$ semble maximal lorsque $t=0.$

Par conséquent, la vitesse d'apparition de l'alcool dans le sang est maximale à t = 0.

▶ 2. Identifier une courbe sous contrainte

Pour identifier la personne la plus corpulente, il suffit de s'intéresser à la vitesse d'apparition de l'alcool dans le sang à l'instant $t=0.$

Si l'on trace les tangentes $T_1$ et $T_2$ au point d'abscisse 0 respectivement pour les courbes C₁ et C₂, la tangente qui semble avoir le coefficient directeur le plus élevé est la tangente $T_1.$

La vitesse maximale d'apparition de l'alcool dans le sang est donc plus élevée pour la personne P₁ que pour la personne P₂. La personne P₂ subit donc moins vite les effets de l'alcool que la personne P₁. Par conséquent, la personne P₂ est celle qui a la plus forte corpulence.

▶ 3. a) Calculer un nombre dérivé

$f$ est un produit de fonctions dérivables sur $\left[0;+\infty \right[$ donc $f$ est dérivable sur $\left[0;+\infty \right[$.

Pour tout $t\in \left[0;+\infty \right[$ :

$f\prime (t)=A\times {\text{e}}^{-t}+At\times \left(-{\text{e}}^{-t}\right)=A(1-t){\text{e}}^{-t}$.

Par conséquent, $f^{\prime }(0)=A\times (1-0)\times \underset{=1}{\underbrace{{\text{e}}^{-0}}}=A$.

b) Étudier une affirmation

Considérons deux personnes P₁ et P₂ qui absorbent à jeun une même quantité d'alcool et notons $f_1$ et$f_2$ les fonctions qui modélisent la concentration d'alcool dans le sang, associées respectivement à P₁ et P₂ avec $f_1(t)=A_{1}t{\text{e}}^{-t}$ et $f_2(t)=A_{2}t{\text{e}}^{-t}$ pour $t\in \left[0;+\infty \right[$. Notons ensuite $V({\text{P}}_1)$ et $V({\text{P}}_2)$ les corpulences respectives des personnes P₁ et P₂.

Supposons que Cela donne, d'après la question A 3. a), . La vitesse initiale d'apparition de l'alcool dans le sang de la personne P₁ est donc moins élevée que celle de la personne P₂. La personne P₁ subit donc, juste après l'absorption, moins vite les effets de l'alcool. Elle est donc plus corpulente que la personne P₂. Ainsi, $V({\text{P}}_1)>V({\text{P}}_2).$

En résumé, si A augmente, la corpulence diminue. L'affirmation est donc fausse.

partie b : un cas particulier

▶ 1. Étudier les variations d'une fonction

En reprenant les résultats de la question A 3. a) avec $A=2$, on obtient, pour tout $t\in \left[0;+\infty \right[$ :

$f^{\prime }(t)=2(1-t){\text{e}}^{-t}$.

Pour tout $t\in \left[0;+\infty \right[$, ${\text{e}}^{-t}>0$ (une exponentielle est toujours positive) donc le signe de $f^{\prime }(t)$ est celui de $(1-t)$. Or $1-t>0\iff t<mn>1</mn>$.

Par conséquent :

Si $t\in \left[0;1\right[$ alors $f^{\prime }(t)>0$ donc f est strictement croissante sur $\left[0 ;1\right]$.

Si $t\in \left]1;+\infty \right[$ alors $f^{\prime }(t)<mn>0</mn>$ donc f est strictement décroissante sur $[1 ; +\infty [$.

▶ 2. Identifier un maximum

Puisque $f$est strictement croissante sur $\left[0;1\right]$ et strictement décroissante sur $\left[1;+\infty \right[$, $f$ admet un maximum en $t=1$. La concentration d'alcool dans le sang de Paul est donc maximale au bout d'une heure.

Cette concentration maximale est égale à : $f\left(1\right)=2\times 1\times {\text{e}}^{-1}=\frac{2}{\text{e}}\approx$$\mathrm{0,74} \text{g}\cdot {\text{L}}^{-1}$.

▶ 3. Calculer et interpréter une limite

Pour rappel, nous avons :$\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{{\text{e}}^t}{t}=+\infty$. Comme, pour tout $t>0$, $f(t)=2t{\text{e}}^{-t}=2\times \frac{t}{{\text{e}}^t}=2\times \frac{1}{\frac{{\text{e}}^t}{t}}$, par quotient, on obtient $\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)=0$. Au bout d'un certain temps, la concentration d'alcool dans le sang de Paul sera proche de 0 : l'alcool ingéré aura été éliminé par le corps.

▶ 4. a) Déterminer les solutions d'une équation

D'après la question A 3. a), $f$ est dérivable sur $\left[0;+\infty \right[$ donc $f$ est continue sur $\left[0;+\infty \right[$ et a fortiori sur $\left[0;1\right]$ et sur $\left[1;+\infty \right[$.

D'après la question B 1., $f$ est strictement croissante sur $\left[0;1\right]$.

$f(0)=0$ et $f(1)=\frac{2}{\text{e}}\approx \mathrm{0,74}$ (voir question B 2.). Par conséquent, $\mathrm{0,2}$ est compris entre$f(0)$ et $f(1)$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(t)=\mathrm{0,2}$ admet une unique solution $t_1\in \left[0;1\right]$.

D'après la question B 1., $f$ est strictement décroissante sur $\left[1;+\infty \right[$.

$f(1)=\frac{2}{\text{e}}\approx \mathrm{0,74}$ et $\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)=0$ (voir question B 3.). Par conséquent, $\mathrm{0,2}\in \left]0;\frac{2}{\text{e}}\right]$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(t)=\mathrm{0,2}$ admet une unique solution $t_2\in \left[1;+\infty \right[$.

Il existe donc deux nombres réels $t_1$ et $t_2$ tels que $f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)=\mathrm{0,2}$.

b) Déterminer une durée minimale

Paul pourra prendre le volant lorsque son taux d'alcoolémie sera à nouveau en dessous de 0,2 $\text{g}\cdot {\text{L}}^{-1}$. Cela se produira pour $t=t_2$. À la calculatrice, on obtient $t_2\approx \mathrm{3,577}\text{h}\approx 3\text{h}35\text{min}$.

Paul devra donc attendre 3 h 35 min avant de pouvoir prendre le volant.

▶ 5. a) Déterminer une valeur seuil

En reprenant les éléments de rédaction de la question B 4. a) :

$f$ est continue sur $\left[1;+\infty \right[$ et $f$ est strictement décroissante sur $\left[1;+\infty \right[$.

$f(1)=\frac{2}{\text{e}}\approx \mathrm{0,74}$ et $\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)=0$. Par conséquent, $5\times {10}^{-3}\in \left]0;\frac{2}{\text{e}}\right]$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(t)=5\times {10}^{-3}$ admet une unique solution $T\in \left[1;+\infty \right[$.

Puisque $f$ est strictement décroissante sur $\left[1;+\infty \right[$ et que $f(T)=5\times {10}^{-3}$, on a, pour tout $t>T$, .

Il existe donc un instant T à partir duquel la concentration d'alcool dans le sang n'est plus détectable.

b) Exécuter un algorithme et identifier son rôle

La concentration d'alcool dans le sang de Paul au bout de 3,5 heures est $f(\mathrm{3,5})\approx \mathrm{0,21}\text{g}\cdot {\text{L}}^{-1}$.

Cet algorithme permet de déterminer l'heure (à 15 minutes près car p = 0,25) à partir de laquelle la concentration d'alcool dans le sang de Paul n'est plus détectable.