Partie A : étude d’un modèle discret

▶ 1. Passer d’une quantité à un taux

Alain ajoute chaque jour 15 g de chlore, soit 15 000 mg, dans 50 m³ d’eau.

Or 50 m³ = 50 × 1 000 L = 50 000 L.

L’augmentation du taux de chlore suite à cet ajout est donc $\frac{\text{15 000}}{\text{50 000}}$ mg ⋅ L⁻¹, soit 0,3 mg ⋅ L⁻¹.

▶ 2. a) Montrer une inégalité par récurrence

Initialisation

On a v₀ = 0,7 et v₁ = 0,92 × 0,7 + 0,3, soit v₁ = 0,944.

v₀ ≤ v₁ ≤ 4 ; la propriété est vraie pour n = 0.

Hérédité

Soit n un entier naturel tel que v_n ≤ v_n+1 ≤ 4 ; alors :

0,92v_n ≤ 0,92v_n+1 ≤ 4 × 0,92, soit 0,92v_n ≤ 0,92v_n+1 ≤ 3,68.

0,92v_n + 0,3 ≤ 0,92v_n+1 + 0,3 ≤ 3,68 + 0,3, soit v_n+1 ≤ v_n+2 ≤ 3,98, qui entraîne v_n+1 ≤ v_n+2 ≤ 4.

La propriété est vraie pour n + 1 si elle est vraie pour n, elle est héréditaire.

Conclusion

La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire, donc par principe de récurrence elle est vraie pour tout entier naturel n.

Pour tout $n\in \text{ℕ}$, $v_n\le v_{n+1}\le 4$.

b) Étudier la convergence et la limite d’une suite

D’après le résultat établi à la question précédente, la suite (v_n) est croissante et majorée par 4. D’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite $\mathcal{l}$ telle que $\mathcal{l}\le 4$.

On a également $\underset{n\to +\text{∞}}{\lim }{v}_{n+1}=\mathcal{l}$ et v_n+1 = 0,92v_n + 0,3, donc

l = 0,92l + 0,3. On résout cette équation, qui a pour solution l = 3,75.

La suite $(v_n)$ converge vers 3,75.

▶ 3. Déterminer si les termes d’une suite vérifient une condition donnée

La suite (v_n) converge vers 3,75, donc, par définition de la limite d’une suite, pour n suffisamment grand, v_n > 3. À long terme, le taux de chlore ne sera donc pas conforme à la préconisation des piscinistes.

▶ 4. Compléter un algorithme

▶ 5. Déterminer et interpréter le résultat donné par un algorithme

La valeur renvoyée par l’instruction alerte_chlore(3) est 17.

En effet, d’après la calculatrice, v₁₆ < 3 et v₁₇ > 3.

Cela signifie que le 17^e jour, le taux de chlore dans la piscine dépasse 3 mg ⋅ L⁻¹, donc ce taux n’est plus conforme à la préconisation des piscinistes.

Partie B : étude d’un modèle continu

▶ 1. Justifier l’expression d’une fonction

L’équation différentielle $y^{\prime }=-\mathrm{0,08}y+\frac{q}{50}$ est de la forme $y^{\prime }=ay+b$ avec a = - 0,08 et $b=\frac{q}{50}$. D’après le cours, ses solutions sont les fonctions $x \mapsto C{\text{e}}^{ax}-\frac{b}{a}$ avec C constante réelle.

On a donc bien $f(x)=C{\text{e}}^{-\mathrm{0,08}x}+\frac{q}{4}$ avec C constante réelle.

▶ 2. a) Déterminer la limite d’une fonction en + ∞

D’après le cours, $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\text{e}}^x=0$, donc par composée, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\text{e}}^{-\mathrm{0,08}x}=0$ et par opérations, $\boxed{\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\frac{q}{4}}$.

b) Déterminer deux paramètres de l’expression d’une fonction

Puisque le taux de chlore le 19 juin est égal à 0,7 mg ⋅ L⁻¹, on a $f(0)=\mathrm{0,7}$, c’est-à-dire $C+\frac{q}{4}=\mathrm{0,7}$.

On veut également qu’à long terme, le taux de chlore se stabilise autour de 2 mg ⋅ L⁻¹, c’est-à-dire que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=2$. On a donc $\frac{q}{4}=2$, soit $\boxed{q=8}$.

En remplaçant dans l’équation $C+\frac{q}{4}=\mathrm{0,7}$, on en déduit $\boxed{C=-\mathrm{1,3}}$.