Taux de réussite au baccalauréat suivant le type de diplôme préparé

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Notion de loi à densité
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Pondichéry

Pondichéry • Avril 2016

Exercice 3 • 5 points

Taux de réussite au baccalauréat suivant le type de diplôme préparé

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

partie a

On dispose des renseignements suivants à propos du baccalauréat session 2015 (Source DEEP, juillet 2015) :

49 % des inscrits ont passé un baccalauréat général, 20 % un baccalauréat technologique et les autres un baccalauréat professionnel ;

91,5 % des candidats au baccalauréat général ont été reçus, ainsi que 90,6 % des candidats au baccalauréat technologique.

On choisit au hasard un candidat au baccalauréat de la session 2015 et on considère les événements suivants :

G : « Le candidat s’est présenté au baccalauréat général » ;

T : « Le candidat s’est présenté au baccalauréat technologique » ;

S : « Le candidat s’est présenté au baccalauréat professionnel » ;

R : « Le candidat a été reçu ».

Pour tout événement A, on note P(A) sa probabilité et A¯ son événement contraire. De plus, si B est un autre événement, on note PB(A) la probabilité de A sachant B.

1. Préciser les probabilités P(G), P(T), PT(R) et PG(R). (1 point)

2. Traduire la situation par un arbre pondéré. On indiquera les probabilités trouvées à la question précédente. Cet arbre pourra être complété par la suite. (0,5 point)

3. Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat technologique et l’ait obtenu est égale à 0,1812. (0,5 point)

4. Le ministère de l’Éducation nationale a annoncé un taux global de réussite pour cette session de 87,8 % pour l’ensemble des candidats présentant l’un des baccalauréats.

a) Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat professionnel et l’ait obtenu est égale à 0,24845. (0,75 point)

b) Sachant que le candidat s’est présenté au baccalauréat professionnel, déterminer la probabilité qu’il ait été reçu. On donnera une valeur approchée du résultat au millième. (0,75 point)

partie b

À l’issue des épreuves du baccalauréat, une étude est faite sur les notes obtenues par les candidats en mathématiques et en français.

On admet que la note de mathématiques peut être modélisée par une variable aléatoire XM qui suit la loi normale de moyenne 12,5 et d’écart-type 3,5.

De même, la note de français peut être modélisée par une variable aléatoire XF qui suit la loi normale de moyenne 13,2 et d’écart-type 2,1.

1. Déterminer P(9 XM16) en donnant le résultat arrondi au centième. (0,5 point)

2. Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté en pointillés la fonction densité associée à la variable aléatoire XM. La fonction densité associée à XF est représentée sur un seul de ces graphiques.

Quel est ce graphique ? Expliquer le choix. (1 point)

matT_1604_12_00C_03

Graphique 1

matT_1604_12_00C_04

Graphique 2

matT_1604_12_00C_05

Graphique 3

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

3. et 4. a) Les probabilités demandées sont les probabilités de l’intersection de deux événements.

4. b) La probabilité cherchée est une probabilité conditionnelle.

Partie B

1. Utilisez la calculatrice ou un résultat du cours.

2. La courbe représentative de la fonction densité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne µ a pour axe de symétrie la droite d’équation x=μ. D’autre part, si cette loi normale a pour écart-type σ, plus σ est grand, plus la courbe de la fonction densité est « étalée » de part et d’autre de son axe de symétrie.

Corrigé

Corrigé

partie a

1. Donner à partir de l’énoncé les valeurs de certaines probabilités

Notez bien

On assimile la probabilité d’un événement et le pourcentage d’individus pour lesquels cet événement est réalisé.

D’après l’énoncé, 49 % des inscrits ont passé un baccalauréat général, d’où :

P(G)=0,49.

20 % des inscrits ont passé un baccalauréat technologique, d’où :

P(T)=0,20.

90,6 % des candidats au baccalauréat technologique ont été reçus, d’où :

PT(R)=0,906.

91,5 % des candidats au baccalauréat général ont été reçus, d’où :

PG(R)=0,915.

2. Traduire une situation par un arbre pondéré

D’après les données précédentes :

P(S)=1P(G)P(T)=0,31 (31 % des inscrits ont passé un baccalauréat professionnel) ;

PT(R¯)=1PT(R)=0,094 ; PG(R)=1PG(R)=0,085.

D’où l’arbre :

matT_1604_12_00C_06

3. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

La probabilité considérée est P(TR).

D’après l’arbre précédent :

P(TR)=0,2×0,906=0,1812.

La probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat technologique et l’ait obtenu est égale à 0,1812.

4. a) Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements

Notez bien

G, T et S forment une partition de l’univers car ils sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l’univers entier.

La probabilité considérée est P(SR).

Or, G, T et S forment une partition de l’univers, donc :

P(R)=P(GR)+P(TR)+P(SR).

D’où :

P(SR)=P(R)P(GR)P(TR).

D’après l’énoncé, le taux global de réussite est 87,8 %, d’où :

P(R)=0,878.

D’autre part :

P(GR)=PG(R)×p(G)=0,915×0,49=0,44835.

D’où :

P(SR)=0,8780,448350,1812=0,24845.

La probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat professionnel et l’ait obtenu est égale à 0,24845.

b) Calculer une probabilité conditionnelle

On cherche PS(R). D’après le cours, P(S) étant non nulle :

PS(R)=P(SR)P(S)=0,248450,310,801.

Sachant que le candidat s’est présenté au baccalauréat professionnel, la probabilité qu’il ait été reçu est égale à 0,801 au millième près.

partie B

1. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Info

Cette probabilité peut aussi être obtenue à l’aide de la calculatrice.

La variable aléatoire XM suit la loi normale de moyenne μ=12,5 et d’écart-type σ=3,5.

9=12,53,5=μσ ; 16=12,5+3,5=μ+σ.

D’après le cours, en arrondissant au centième :

P(μσXMμ+σ)0,68

P(9XM16)0,68.

2. Reconnaître la courbe représentative de la fonction densité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La variable aléatoire XF a une moyenne supérieure à celle de la variable aléatoire XM. La courbe représentant la fonction densité associée à XM a pour axe de symétrie la droite d’équation y=12,5, et celle représentant la fonction densité associée à XF pour axe de symétrie la droite d’équation y=13,2 ; la courbe représentative de la fonction densité de XM est donc « décalée vers la droite » par rapport à celle de la fonction densité de XF. Cela exclut donc le graphique 3.

D’autre part, XM a un écart-type supérieur à celui de XF, donc la courbe représentant la fonction densité de XM est « plus étalée » que celle représentant la fonction densité de XF ; cela exclut donc le graphique 1.

Donc la fonction densité associée à XF est représentée sur le graphique 2.