▶ 1. Étudier et interpréter le sens de variation d’une fonction

La fonction f est dérivable sur l’intervalle [0 ; + ∞[. Pour tout t dans cet intervalle, $f^{\prime }(t)=-\mathrm{0,065}\times 1 {\text{370 e}}^{-\mathrm{0,065}t}=-{\text{89,05 e}}^{-\mathrm{0,065}t}$.

On sait que la fonction exponentielle ne prend que des valeurs stric­tement positives, donc, pour tout t dans [0 ; + ∞[, ${\text{e}}^{-\mathrm{0,065}t}>0$ et $f^{\prime }(t)<0$.

On en déduit que f est strictement décroissante sur [0 ; + ∞[.

Ce résultat était prévisible ; en effet, une pièce sort du four à une température de 1 400 °C et est entreposée dans un local où la température est de 30 °C, il est normal qu’elle refroidisse, que sa température diminue.

▶ 2. a) Déterminer et interpréter la limite d’une fonction en + ∞

On sait que $\underset{t\to +\text{∞}}{\lim }(-\text{0,065 }t)=-\text{∞ et }\underset{X\to -\text{∞}}{\lim }{\text{e}}^X=0,$ donc :

$\underset{t\to +\text{∞}}{\lim }{\text{e}}^{-\mathrm{0,065}t}=0$ et $\underset{t\to +\text{∞}}{\lim }f(t)=30$.

Au fil du temps, la température de la pièce de fonte se rapproche de 30 °C, c’est-à-dire de la température du local où elle est entreposée.

b) Donner une conséquence d’une limite

D’après les questions précédentes, puisque f est décroissante sur [0 ; + ∞[ et a pour limite 30 en + ∞, il existe un réel T appartenant à [0 ; + ∞[ tel que, pour t ≥ T, $f(t)\le 650$, donc un nombre d’heures T à partir duquel la pièce peut être démoulée.

▶ 3. Déterminer si l’image d’un nombre par une fonction atteint une valeur donnée

Pour savoir si la pièce de fonte peut être démoulée 5 heures après sa sortie du four, on calcule f(5) :

$f(5)=1{\text{ 370 e}}^{-\mathrm{0,065}\times 5}+30\approx \text{1 020}$.

Comme f(5) > 650, on en déduit que 5 heures après sa sortie du four, la pièce ne peut pas être démoulée, sa température est encore largement supérieure à 650 °C.

▶ 4. a) Interpréter le résultat d’un programme Python

Le programme donné permet d’obtenir un encadrement de h d’amplitude 0,25, c’est-à-dire un quart d’heure. On en déduit qu’il faut attendre entre 12 heures et 12 heures et 15 minutes pour que la température de la pièce de fonte soit descendue à 650 °C.

b) Déterminer une valeur approchée des solutions d’une inéquation

Pour obtenir une approximation plus précise de h, on peut résoudre l’inéquation : $1 {\text{370 e}}^{-\text{0,065 }t}+30\le 650$.

Cette inéquation équivaut successivement à :

$1{\text{ 370 e}}^{-\text{0,065}t}\le 620$

${\text{ e}}^{-\text{0,065 }t}\le \frac{620}{1370}$

$-\text{0,065 }t\le \ln \left(\frac{620}{1370}\right)$

$t\ge -\frac{\ln \left(\frac{620}{1370}\right)}{\mathrm{0,065}}$.

Or $-\frac{\ln \left(\frac{620}{1370}\right)}{\mathrm{0,065}}\approx \mathrm{12,198}$, d’où h ≈ 12,2.

On en déduit qu’au bout de 12,2 heures, soit 12 heures et 12 minutes, on pourra démouler la pièce.

▶ 5. Résoudre et interpréter une inéquation

On résout l’inéquation $1 {\text{370 e}}^{-\text{0,065 }t}+30\le 325$.

Cette inéquation équivaut successivement à :

$1{\text{ 370 e}}^{-\text{0,065 }t}\le 295$

${\text{ e}}^{-\text{0,065 }t}\le \frac{295}{1370}$

$-\text{0,065 }t\le \ln \left(\frac{295}{1370}\right)$

$t\ge -\frac{\ln \left(\frac{295}{1370}\right)}{\mathrm{0,065}}$.

Or $-\frac{\ln \left(\frac{295}{1370}\right)}{\mathrm{0,065}}\approx \mathrm{23,6245}$ et 23,6245 < 2 × 12,2.

Le temps nécessaire pour que la température de la pièce de fonte devienne inférieure à 325 ^oC est strictement inférieur au double du temps nécessaire pour que cette température devienne inférieure à 650 ^oC, il ne faut donc pas attendre exactement deux fois plus de temps que précédemment.