Temps d’attente dans un parc

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Temps d’attente dans un parc

Lois de probabilité à densité

Corrigé

35

Ens. spécifique

matT_1200_00_64C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Dans un parc à ciel ouvert, la marmotte n’est pas toujours de sortie. Le but de cet exercice est d’estimer pendant combien de temps attendre devant la sortie du terrier pour pouvoir l’observer. Le temps d’attente, exprimé en heures, est une variable aléatoire X.

PARTIE A

Modélisation à l’aide d’une loi uniforme

Dans cette partie, on suppose que suit la loi uniforme sur .

>1.a) Calculer la probabilité d’attendre moins d’une heure. (0,5 point)

b) Calculer . Que représente cette probabilité ? (0,75 point)

>2. Calculer le temps nécessaire pour avoir 95 % de chance d’observer la marmotte. On exprimera le résultat en heures et en minutes. (0,5 point)

PARTIE B

Modélisation à l’aide d’une loi exponentielle

Dans cette partie, on suppose que X suit une loi exponentielle de paramètre , étant un réel strictement positif.

>1. Montrer que . (0,5 point)

>2. Déterminer pour que la probabilité d’attendre moins d’une heure soit de 0,5.

On donnera sa valeur exacte puis une valeur approchée à près. Dans la suite de l’exercice on prendra . (0,5 point)

>3. Calculer . (0,5 point)

>4. Calculer la probabilité conditionnelle .

Pouvait-on prévoir ce résultat ? (1 point)

>5. Calculer le temps t nécessaire pour avoir 95 % de chance d’observer la marmotte. On donnera une valeur approchée du résultat en heures et en minutes. (0,75 point)

Durée conseillée : 40 min.

Les thèmes en jeu

Probabilités • Lois uniforme et exponentielle.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. Traduisez l’énoncé en termes d’événements : un temps d’attente de moins d’une heure correspond à l’événement . Utilisez la densité de la loi uniforme pour calculer les probabilités. → fiche  C52 B 

>  2. Résolvez l’équation après avoir exprimé en fonction de .

Partie B

>  1. Exprimez la probabilité à calculer à l’aide de la densité de la loi exponentielle, puis calculez la probabilité en trouvant une primitive. → fiche  C52 C 

>  3. Utilisez le fait que et sont des événements contraires puis calculez la probabilité comme dans la question 1.→ fiche  C47 A 

>  4. Utilisez la formule d’une probabilité conditionnelle. → fiche  C48 

>  5. Reprenez le raisonnement de la question 2. de la partie A puis résolvez l’équation comme dans la question 2. de la partie B.

Corrigé

PARTIE A

>1. Calculer une probabilité avec la loi uniforme

a) La probabilité qu’une personne attende moins d’une heure pour observer la marmotte est la probabilité de l’événement ().

Par définition, cette probabilité est l’aire du domaine D1 : ensemble des points du plan qui se situent dans la partie du plan délimitée par la courbe Cf de la densité associée à la variable aléatoire X, l’axe des abscisses, et qui ont une abscisse inférieure ou égale à 1.


La densité est ici définie sur par

Par conséquent,

b) La probabilité que la variable aléatoire prenne ses valeurs dans l’intervalle [0,25 ; 0,75] est par définition l’aire du domaine  délimité par l’axe des abscisses, la courbe de la densité associée à la variable aléatoire et les droites d’équation et .


Par suite,

Ainsi, la probabilité d’attendre la marmotte entre un quart d’heure et trois quarts d’heure est de 0,25.

>2. Résoudre une équation

Comme la densité a pour support l’intervalle [0 ; 2], autrement dit la densité est nulle en dehors de cet intervalle, le nombre réel est nécessairement compris entre 0 et 2.

La probabilité de l’événement est l’aire du domaine  : ensemble des points du plan qui se situent dans la partie du plan délimitée par la courbe de la densité associée à la variable aléatoire X, l’axe des abscisses, et qui ont une abscisse inférieure ou égale à t.

L’aire de ce domaine est : .

La condition imposée implique que .

Il faudra donc attendre 1,9 heures soit 1 h 54 min.

PARTIE B

>1. Calculer une probabilité avec la loi exponentielle

La densité est ici définie sur par

La probabilité de l’événement est l’aire du domaine  : ensemble des points du plan qui se situent dans la partie du plan délimitée par la courbe de la densité associée à la variable aléatoire X, l’axe des abscisses, et qui ont une abscisse inférieure ou égale à 1.



.

Souvenez-vous d’une primitive de la fonction .

>2. Résoudre une équation

La probabilité d’attendre moins d’une heure étant , on résout :

.

La valeur exacte est dont une valeur approchée à près est 0,69.

>3. Calculer une probabilité avec la loi exponentielle

La probabilité de l’événement est l’aire du domaine  : ensemble des points du plan qui se situent dans la partie du plan délimitée par la courbe de la densité associée à la variable aléatoire X, l’axe des abscisses, et qui ont une abscisse strictement supérieure à 2.


.

>4. Calculer une probabilité conditionnelle

Souvenez-vous :

Remplacez par 0,69 obtenu à la question 2.

.

On remarque que : .

Cela signifie que la probabilité d’attendre moins de 3 heures pour observer la marmotte sachant qu’on a attendu 2 heures sans la voir est la même que la probabilité d’attendre moins d’une heure pour la voir : on retrouve la propriété de la loi exponentielle qui est une loi sans vieillissement.

>5. Résolution d’équation avec la fonction exponentielle

On cherche tel que . On résout donc :

.

Comme , il faudra attendre 4 heures et environ 0,34 heure c’est-à-dire environ 4 h 20 min.