Temps d’attente et pannes des caisses automatiques d’un supermarché

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Notion de loi à densité
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : France métropolitaine

France métropolitaine • Juin 2017

Exercice 1 • 6 points • 55 min

Temps d’attente et pannes des caisses automatiques d’un supermarché

Les thèmes clés

Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale.

 

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième près.

1. Un supermarché dispose de plusieurs caisses. Un client qui se présente à une caisse doit attendre un certain temps T1 avant d’être pris en charge par le caissier. On considère que ce temps d’attente T1, exprimé en minute, est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 12].

a) Quelle est la probabilité qu’un client attende au moins 5 minutes avant d’être pris en charge ? (0,75 point)

b) Quel est le temps moyen d’attente à une caisse ? (0,75 point)

2. Le gérant du magasin décide de mettre à disposition des clients des caisses automatiques de façon à réduire le temps d’attente pour les clients ayant un panier contenant peu d’articles.

Le temps d’attente T2, exprimé en minute, à chacune de ces caisses automatiques, est modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 5 et d’écart-type 1,5.

Calculer la probabilité que le temps d’attente à une caisse automatique soit compris entre 0,75 et 6 minutes. (0,75 point)

3. Ces caisses automatiques tombent souvent en panne. On donne les informations suivantes :

Le nombre de caisses automatiques est n = 10.

La probabilité qu’une caisse automatique tombe en panne pendant une journée donnée est p = 0,1.

Une panne constatée sur une caisse automatique n’influence pas les autres caisses automatiques.

Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de caisses automatiques qui tombent en panne pendant une journée donnée.

a) Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Quels sont ses paramètres ? (1,5 point)

b) Calculer la probabilité pour qu’aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée. (0,75 point)

4. Sur la devanture de son magasin, le gérant du supermarché affiche :

« Plus de 90 % des clients de notre magasin sont satisfaits par la mise en place de nos caisses automatiques. »

Une association de consommateurs souhaite examiner cette affirmation. Pour cela, elle réalise un sondage : 860 clients sont interrogés, et 763 d’entre eux se disent satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques.

Cela remet-il en question l’affirmation du gérant ? (1,5 point)

Les clés du sujet

1. b) Appliquez le résultat du cours donnant l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme.

4. Utilisez un intervalle de fluctuation, après avoir vérifié que les conditions sont remplies.