Annale corrigée Exercice Ancien programme

Temps d'attente et pannes des caisses automatiques d'un supermarché

France métropolitaine • Juin 2017

Exercice 1 • 6 points • 55 min

Temps d'attente et pannes des caisses automatiques d'un supermarché

Les thèmes clés

Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale.

 

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième près.

1. Un supermarché dispose de plusieurs caisses. Un client qui se présente à une caisse doit attendre un certain temps T1 avant d'être pris en charge par le caissier. On considère que ce temps d'attente T1, exprimé en minute, est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [0  12].

a) Quelle est la probabilité qu'un client attende au moins 5 minutes avant d'être pris en charge ? (0,75 point)

b) Quel est le temps moyen d'attente à une caisse ? (0,75 point)

2. Le gérant du magasin décide de mettre à disposition des clients des caisses automatiques de façon à réduire le temps d'attente pour les clients ayant un panier contenant peu d'articles.

Le temps d'attente T2, exprimé en minute, à chacune de ces caisses automatiques, est modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 5 et d'écart-type 1,5.

Calculer la probabilité que le temps d'attente à une caisse automatique soit compris entre 0,75 et 6 minutes. (0,75 point)

3. Ces caisses automatiques tombent souvent en panne. On donne les informations suivantes :

Le nombre de caisses automatiques est n = 10.

La probabilité qu'une caisse automatique tombe en panne pendant une journée donnée est p = 0,1.

Une panne constatée sur une caisse automatique n'influence pas les autres caisses automatiques.

Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de caisses automatiques qui tombent en panne pendant une journée donnée.

a) Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Quels sont ses paramètres ? (1,5 point)

b) Calculer la probabilité pour qu'aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée. (0,75 point)

4. Sur la devanture de son magasin, le gérant du supermarché affiche :

« Plus de 90 % des clients de notre magasin sont satisfaits par la mise en place de nos caisses automatiques. »

Une association de consommateurs souhaite examiner cette affirmation. Pour cela, elle réalise un sondage : 860 clients sont interrogés, et 763 d'entre eux se disent satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques.

Cela remet-il en question l'affirmation du gérant ? (1,5 point)

Les clés du sujet

1. b) Appliquez le résultat du cours donnant l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme.

4. Utilisez un intervalle de fluctuation, après avoir vérifié que les conditions sont remplies.

Corrigé

Commun à tous les candidats

1. a) Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi uniforme

La probabilité qu'un client attende au moins 5 minutes avant d'être pris en charge est la probabilité que son temps d'attente soit supérieur ou égal à 5 minutes, soit P(T15).

notez bien

T1 suit la loi uniforme sur [0  12], donc T1 ne prend que des valeurs entre 0 et 12.

P(T15)=P(5T112)

P(T15)=125120

P(T15)=712

b) Calculer l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme

Le temps moyen d'attente à une caisse est l'espérance E(T1) de la variable aléatoire T1.

E(T1)=0+122

E(T1)=6.

Le temps moyen d'attente à une caisse est égal à 6 minutes.

2. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité que le temps d'attente à une caisse automatique soit compris entre 0,75 et 6 minutes est P(0,75T26).

D'après la calculatrice, en arrondissant au millième :

P(0,75T26)0,745.

La probabilité que le temps d'attente à une caisse automatique soit compris entre 0,75 et 6 minutes est environ 0,745.

3. a) Déterminer la loi d'une variable aléatoire

L'expérience est la répétition de 10 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. On appelle « succès » l'événement « la caisse automatique considérée tombe en panne pendant une journée donnée »  la probabilité de succès est p = 0,1.

X est égale au nombre de succès lors de ces 10 répétitions, donc X suit la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0,1.

b) Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi binomiale

La probabilité qu'aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée est :

P(X=0)=0,910 0,349 (en arrondissant au millième).

La probabilité qu'aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée est environ 0,349.

4. Utiliser le résultat d'un échantillonnage pour valider ou non une affirmation

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de clients satisfaits dans un échantillon de taille n est :

[p1,96p(1p)n  p+1,96p(1p)n]

avec ici n = 860, p = 0,9, puisque le gérant affirme que plus de 90 % des clients sont satisfaits.

n = 860  30  n × p = 860 × 0,9 = 774  5  n × (1 - p) = 860 × 0,1 = 86  5.

Les conditions étant remplies, on peut utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique.

À l'aide de la calculatrice, on obtient que I=[0,8790,921] est un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de clients satisfaits dans un échantillon de taille 860.

La fréquence de clients satisfaits dans l'échantillon de taille 860 considéré est :

f=763860 0,8872.

f I, donc le résultat du sondage ne remet pas en cause l'affirmation du gérant.

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