Temps pour finir un marathon et âge des coureurs
Probabilité conditionnelle • Loi à densité, loi normale.
Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à près.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
partie a
34 % des coureurs terminent la course en moins de 234 minutes
parmi les coureurs qui terminent la course en moins de 234 minutes, 5 % ont plus de 60 ans
parmi les coureurs qui terminent la course en plus de 234 minutes, 84 % ont moins de 60 ans.
On sélectionne au hasard un coureur et on considère les événements suivants :
A : « le coureur a terminé le marathon en moins de 234 minutes »
B : « le coureur a moins de 60 ans ».
On rappelle que si E et F sont deux événements, la probabilité de l'événement E est notée P(E) et celle de E sachant F est notée PF(E). De plus, désigne l'événement contraire de E.
c) Calculer et interpréter le résultat dans le cadre de l'exercice. (0,75 point)
partie b
▶ 2. Un coureur est choisi au hasard parmi les coureurs qui ont mis entre 210 minutes et 270 minutes pour finir le marathon.
c) Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l'exercice. (0,5 point)
Partie A
▶ 2. a) On demande la probabilité de l'intersection de deux événements.
c) La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle.
partie a
▶ 1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré
Sur un arbre pondéré représentant une situation probabiliste, les branches « de premier niveau » portent des probabilités simples, celles « de second niveau » portent des probabilités conditionnelles.
▶ 2. a) Calculer la probabilité de l'intersection de deux événements
D'après l'arbre ci-dessus
La probabilité que la personne choisie ait terminé le marathon en moins de 234 minutes et soit âgée de plus de 60 ans est 0,017.
b) Calculer la probabilité d'un événement
est l'événement « le coureur a plus de 60 ans ».
.
D'après l'arbre :
.
Donc à près :
c) Calculer une probabilité conditionnelle
À près :
Cela signifie que la probabilité qu'un coureur termine le marathon en moins de 234 minutes sachant qu'il a plus de 60 ans est environ 0,139, ou encore qu'environ 13,9 % des plus de 60 ans ont terminé le marathon en moins de 234 minutes.
partie b
▶ 1. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
▶ 2. Calculer une probabilité conditionnelle associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
.
D'où :
.
Or, d'après la calculatrice :
et
Donc :
La probabilité qu'un coureur choisi au hasard parmi ceux qui ont mis entre 210 minutes et 270 minutes pour finir le marathon ait terminé la course en moins de 240 minutes est environ 0,453.
▶ 3. a) Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
T suit une loi normale d'espérance 250, donc .
D'après la calculatrice :
b) Estimer un nombre associé à une variable aléatoire suivant une loi normale
D'après la calculatrice, en utilisant la fonction InvNorm ou FracNormale, en arrondissant à l'unité :
c) Interpréter un résultat associé à une variable aléatoire suivant une loi normale
Donc 90 % des coureurs ont terminé le marathon en plus de 200 minutes.