Ens. spécifique

Conditionnement

matT_1704_12_04C

Pondichéry • Avril 2017

Exercice 2 • 5 points • ⏱ 45 min

Temps pour finir un marathon et âge des coureurs

Les thèmes clés

Probabilité conditionnelle • Loi à densité, loi normale.

Un marathon est une épreuve sportive de course à pied.

Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à $10^{- 3}$ près.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

partie a

Une étude portant sur le marathon de Tartonville montre que :

34 % des coureurs terminent la course en moins de 234 minutes

parmi les coureurs qui terminent la course en moins de 234 minutes, 5 % ont plus de 60 ans

parmi les coureurs qui terminent la course en plus de 234 minutes, 84 % ont moins de 60 ans.

On sélectionne au hasard un coureur et on considère les événements suivants :

A : « le coureur a terminé le marathon en moins de 234 minutes »

B : « le coureur a moins de 60 ans ».

On rappelle que si E et F sont deux événements, la probabilité de l'événement E est notée P(E) et celle de E sachant F est notée PF(E). De plus, $\bar{E}$ désigne l'événement contraire de E.

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▶ 1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-contre associé à la situation de l'exercice : (1 point)

▶ 2. a) Calculer la probabilité que la personne choisie ait terminé le marathon en moins de 234 minutes et soit âgée de plus de 60 ans. (0,5 point)

b) Vérifier que $P (\bar{B}) \approx 0,123$ . (0,25 point)

c) Calculer $P_{\bar{B}} (A)$ et interpréter le résultat dans le cadre de l'exercice. (0,75 point)

partie b

On suppose que le temps en minutes mis par un marathonien pour finir le marathon de Tartonville est modélisé par une variable aléatoire T qui suit une loi normale d'espérance μ = 250 et d'écart-type σ = 39.

▶ 1. Calculer P(210 ≤ T ≤ 270). (0,5 point)

▶ 2. Un coureur est choisi au hasard parmi les coureurs qui ont mis entre 210 minutes et 270 minutes pour finir le marathon.

Calculer la probabilité que ce coureur ait terminé la course en moins de 240 minutes. (0,5 point)

▶ 3. a) Calculer P(T ≤ 300). (0,5 point)

b) Par la méthode de votre choix, estimer la valeur du nombre réel t, arrondi à l'unité, vérifiant $P (T \geq t) = 0,9$ . (0,5 point)

c) Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l'exercice. (0,5 point)

Les clés du sujet

Partie A

▶ 1. Traduisez en probabilités les pourcentages donnés.

▶ 2. a) On demande la probabilité de l'intersection de deux événements.

c) La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle.

Corrigé

partie a

▶ 1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

notez bien

Sur un arbre pondéré représentant une situation probabiliste, les branches « de premier niveau » portent des probabilités simples, celles « de second niveau » portent des probabilités conditionnelles.

D'après l'énoncé, $P (A) = 0,34$ (34 % des coureurs terminent la course en moins de 234 minutes), $P_{A} (\overset{&macr}{B}) = 0,05$ (parmi les coureurs qui terminent la course en moins de 234 minutes, 5 % ont plus de 60 ans) et $P_{\overset{&macr}{A}} (B) = 0,84$ (parmi les coureurs qui terminent la course en plus de 234 minutes, 84 % ont moins de 60 ans), d'où l'arbre suivant.

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▶ 2. a) Calculer la probabilité de l'intersection de deux événements

L'événement « la personne choisie a terminé le marathon en moins de 234 minutes et est âgée de plus de 60 ans » est $A \cap \overset{&macr}{B}$ .

D'après l'arbre ci-dessus $P (A \cap \overset{&macr}{B}) = 0,34 \times 0,05 = 0,017 .$

La probabilité que la personne choisie ait terminé le marathon en moins de 234 minutes et soit âgée de plus de 60 ans est 0,017.

b) Calculer la probabilité d'un événement

notez bien

$\overset{&macr}{B}$ est l'événement « le coureur a plus de 60 ans ».

Puisque A et $\overset{&macr}{A}$ forment une partition de l'univers :

$P (\overset{&macr}{B}) = P (A \cap \overset{&macr}{B}) + P (\overset{&macr}{A} \cap \overset{&macr}{B})$ .

D'après l'arbre :

$P (\overset{&macr}{B}) = 0,34 \times 0,05 + 0,66 \times 0,16 = 0,1226$ .

Donc à $10^{- 3}$ près : $P (\overset{&macr}{B}) \approx 0,123$

c) Calculer une probabilité conditionnelle

D'après la définition d'une probabilité conditionnelle :

$P_{\overset{&macr}{B}} (A) = \frac{P (A \cap \overset{&macr}{B})}{P (\overset{&macr}{B})} = \frac{0,34 \times 0,05}{0,1226}$

À $10^{- 3}$ près : $P_{\overset{&macr}{B}} (A) \approx 0,139$

Cela signifie que la probabilité qu'un coureur termine le marathon en moins de 234 minutes sachant qu'il a plus de 60 ans est environ 0,139, ou encore qu'environ 13,9 % des plus de 60 ans ont terminé le marathon en moins de 234 minutes.

partie b

▶ 1. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

D'après la calculatrice, à $10^{- 3}$ près :

$P (210 \leq T \leq 270) \approx 0,543$

▶ 2. Calculer une probabilité conditionnelle associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité qu'un coureur choisi au hasard parmi ceux qui ont mis entre 210 minutes et 270 minutes pour finir le marathon ait terminé la course en moins de 240 minutes est :

$P_{{210 ≤ T ≤ 270}} (T ≤ 240) = \frac{P (210 \leq T ≤ 270 et T ≤ 240)}{P (210 ≤ T ≤ 270)}$ .

D'où :

$P_{{210 ≤ T ≤ 270}} (T ≤ 240) = \frac{P (210 ≤ T ≤ 240)}{P (210 ≤ T ≤ 270)}$ .

Or, d'après la calculatrice :

$P (210 ≤ T ≤ 240) \approx 0,246$ et $P (210 ≤ T ≤ 270) \approx 0,543 .$

Donc :

$P_{{210 ≤ T ≤ 270}} (T ≤ 240) \approx 0,453 .$

La probabilité qu'un coureur choisi au hasard parmi ceux qui ont mis entre 210 minutes et 270 minutes pour finir le marathon ait terminé la course en moins de 240 minutes est environ 0,453.

▶ 3. a) Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

$P (T ≤ 300) = 0,5 + P (250 ≤ T ≤ 300)$ .

notez bien

T suit une loi normale d'espérance 250, donc $P (T \leq 250) = P (T \geq 250) = 0,5$ .

D'après la calculatrice :

$P (T ≤ 300) \approx 0,9$

b) Estimer un nombre associé à une variable aléatoire suivant une loi normale

$P (T ≥ t) = 0,9$ équivaut à $P (T t)=0,1$ .

D'après la calculatrice, en utilisant la fonction InvNorm ou FracNormale, en arrondissant à l'unité :

$t = 200$

c) Interpréter un résultat associé à une variable aléatoire suivant une loi normale

D'après la question précédente, $P (T ≥ 200) = 0,9$ .

Donc 90 % des coureurs ont terminé le marathon en plus de 200 minutes.

Temps pour finir un marathon et âge des coureurs

partie a

partie b

Partie A

partie a

▶ 1. Représenter une situation probabiliste par un arbre pondéré

▶ 2. a) Calculer la probabilité de l'intersection de deux événements

b) Calculer la probabilité d'un événement

c) Calculer une probabilité conditionnelle

partie b

▶ 1. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

▶ 2. Calculer une probabilité conditionnelle associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

▶ 3. a) Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

b) Estimer un nombre associé à une variable aléatoire suivant une loi normale

c) Interpréter un résultat associé à une variable aléatoire suivant une loi normale

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