Un marathon est une épreuve sportive de course à pied.

Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à ${10}^{-3}$ près.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

partie a

Une étude portant sur le marathon de Tartonville montre que :

34 % des coureurs terminent la course en moins de 234 minutes ;

parmi les coureurs qui terminent la course en moins de 234 minutes, 5 % ont plus de 60 ans ;

parmi les coureurs qui terminent la course en plus de 234 minutes, 84 % ont moins de 60 ans.

On sélectionne au hasard un coureur et on considère les événements suivants :

A : « le coureur a terminé le marathon en moins de 234 minutes » ;

B : « le coureur a moins de 60 ans ».

On rappelle que si E et F sont deux événements, la probabilité de l’événement E est notée P(E) et celle de E sachant F est notée PF(E). De plus, $\overline{E}$désigne l’événement contraire de E.

▶ 1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-contre associé à la situation de l’exercice : (1 point)

▶ 2. a) Calculer la probabilité que la personne choisie ait terminé le marathon en moins de 234 minutes et soit âgée de plus de 60 ans. (0,5 point)

b) Vérifier que $P(\overline{B})\approx \mathrm{0,123}$. (0,25 point)

c) Calculer $P_{\overline{B}}(A)$ et interpréter le résultat dans le cadre de l’exercice. (0,75 point)

partie b

On suppose que le temps en minutes mis par un marathonien pour finir le marathon de Tartonville est modélisé par une variable aléatoire T qui suit une loi normale d’espérance μ = 250 et d’écart-type σ = 39.

▶ 1. Calculer P(210 ≤ T ≤ 270). (0,5 point)

▶ 2. Un coureur est choisi au hasard parmi les coureurs qui ont mis entre 210 minutes et 270 minutes pour finir le marathon.

Calculer la probabilité que ce coureur ait terminé la course en moins de 240 minutes. (0,5 point)

▶ 3. a) Calculer P(T ≤ 300). (0,5 point)

b) Par la méthode de votre choix, estimer la valeur du nombre réel t, arrondi à l’unité, vérifiant $P(T\ge t)=\mathrm{0,9}$. (0,5 point)

c) Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l’exercice. (0,5 point)