Utiliser les probabilités
mat3_1311_03_05C
Maths
22
CORRIGE
D'après Amérique du Sud • Novembre 2013
Exercice 5 • 7 points
Un jeu (d'après « Géométrie à l'École » de François Boule, Savoir dire et savoir-être, IREM de Bourgogne) est constitué des dix étiquettes suivantes toutes identiques au toucher qui sont mélangées dans un sac totalement opaque.
| Deux angles droits seulement | Quatre angles droits | |
| Côtés égaux deux à deux | Deux côtés égaux seulement | |
| Quatre côtés égaux | Côtés opposés parallèles | |
| Deux côtés parallèles seulement | Diagonales égales | |
| Diagonales qui se coupent en leur milieu | Diagonales perpendiculaires |
▶ 1. On choisit au hasard une étiquette parmi les dix.
a) Quelle est la probabilité de tirer l'étiquette « Diagonales égales » ?
b) Quelle est la probabilité de tirer une étiquette sur laquelle est inscrit le mot « diagonales » ?
c) Quelle est la probabilité de tirer une étiquette qui porte à la fois le mot « côtés » et le mot « diagonales » ?
▶ 2. On choisit cette fois au hasard deux étiquettes parmi les dix et on doit essayer de dessiner un quadrilatère qui a ces deux propriétés.
a) Madjid tire les deux étiquettes suivantes :
| Diagonales perpendiculaires | Diagonales égales |
Julie affirme que la figure obtenue est toujours un carré. Madjid a des doutes. Qui a raison ? Justifier la réponse.
b) Julie tire les deux étiquettes suivantes :
| Côtés opposés parallèles | Quatre côtés égaux |
Quel type de figure Julie est-elle sûre d'obtenir ?
▶ 3. Lionel tire les deux étiquettes suivantes :
| Deux côtés égaux seulement | Quatre angles droits |
Lionel est déçu. Expliquer pourquoi.
Les clés du sujet
Points du programme
Probabilités • Propriétés des quadrilatères usuels.
Nos coups de pouce
Dans tout cet exercice, appliquer la définition suivante : si E est un événement et si les résultats d'une expérience ont tous la même probabilité, alors :
.
Corrigé
▶ 1. a) Notons 
l'événement « tirer l'étiquette “Diagonales égales” ».
Il existe 10 choix possibles et 1 est favorable à l'obtention de l'événement 
.
soit 
.
b) Notons 
l'événement « le mot “diagonales” existe sur l'étiquette tirée ».
Il existe 10 choix possibles et 3 sont favorables à l'obtention de l'événement 
.
soit 
.
c) Notons 
l'événement « tirer une étiquette portant à la fois le mot “côtés” et le mot “diagonales” ».
Il existe 10 choix possibles et aucun choix n'est favorable à l'obtention de l'événement 
.
soit 
.
L'événement 
est impossible.
▶ 2. a) Un carré possède effectivement des diagonales perpendiculaires et de même longueur. Mais ses diagonales doivent se couper en leur milieu… et cela n'est pas indiqué sur les étiquettes tirées par Madjid.
Majid a raison.
b) Il existe deux quadrilatères dont les côtés opposés sont parallèles et dont les quatre côtés sont égaux. Il s'agit du losange et du carré.
Julie est sûre d'obtenir au moins un losange.
Rappel
Si un quadrilatère possède 4 angles droits, alors il s'agit d'un rectangle ou d'un carré.
Mais un carré a 4 côtés égaux et un rectangle possède ses côtés égaux 2 à 2.
▶ 3. Il n'existe aucun quadrilatère possédant seulement 2 côtés égaux et quatre angles droits.
Lionel est déçu, car il ne peut dessiner un quadrilatère possédant ces deux propriétés.