Tirages dans une urne

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Tirages dans une urne

Probabilités conditionnelles

Corrigé

31

Ens. spécifique

matT_1200_00_60C

Sujet inédit

Exercice • 4 points

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 3 boules blanches et 7 boules noires.

PARTIE A

Tirages avec remise

Dans cette partie, on effectue des tirages successifs en remettant la boule tirée dans l’urne. On s’arrête dès que l’on a tiré une boule blanche.

>1. Calculer la probabilité de l’événement  : « On n’a pas tiré de boule blanche lors des deux premiers tirages ». (0,5 point)

>2. Calculer la probabilité de l’événement  : « Au plus deux tirages suffisent pour tirer une boule blanche ». (0,5 point)

>3. On note la probabilité de l’événement  : « Au plus tirages suffisent pour tirer une boule blanche ». Démontrer que . (0,5 point)

>4. Quel est le nombre minimal de tirages nécessaires pour avoir au moins 99 % de chances de tirer une boule blanche ? (0,75 point)

PARTIE B

Tirages sans remise

Dans cette partie, on effectue deux tirages successifs sans remettre la première boule tirée dans l’urne.

On note :

 l’événement : « La première boule tirée est blanche » ;

 l’événement : « La deuxième boule tirée est blanche ».

Soit la variable aléatoire qui à deux tels tirages associe le nombre de boules blanches tirées.

On pourra utiliser un arbre de probabilités.

>1. Démontrer que : . (0,5 point)

>2. Déterminer la loi de probabilité de . (0,75 point)

>3. Calculer l’espérance de . (0,5 point)

Durée conseillée : 40 min.

Le thème en jeu

Probabilités conditionnelles • Variable aléatoire discrète.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. Utilisez que les tirages sont indépendants en vous référant à la fiche  C49 

>  2. Remarquez qu’il y a un lien entre les événements et et utilisez la formule incontournable . → fiche  C47 

>  3. Calculez d’abord la probabilité de l’événement comme à la question précédente. → fiche  C47 

>  4. Résolvez l’inéquation . Utilisez pour cela la fonction logarithme népérien.

Partie B

Commencez par construire l’arbre de probabilités associé à la situation.

>  1. Remarquez que l’événement est l’événement , et appliquez la formule des probabilités conditionnelles. → fiche  C48 

>  2. Écrivez les événements et en fonction des événements et .

> 3. Appliquez la formule de la fiche  C50 C 

Corrigé

PARTIE A

>1. Utiliser l’indépendance

Comme, après chaque tirage, on remet la boule tirée dans l’urne, les tirages sont indépendants.

L’événement est réalisé si l’on a tiré deux fois de suite une boule noire dans une urne contenant 7 boules noires pour 10 boules au total :

.

>2. Faire le lien entre deux événements

L’événement contraire de B est « Un ou deux tirages ne suffisent pas pour tirer une boule blanche ». A est donc l’événement contraire de B.

Ainsi : .

Souvenez-vous :

>3. Utiliser l’événement contraire

L’événement est réalisé si l’on a tiré boules noires lors des tirages indépendants. Ainsi : .

>4. Résoudre une inéquation

Pour avoir au moins 99 % de chances de tirer une boule blanche, on doit avoir . On résout l’inéquation :

.

Comme , il faut au moins 13 tirages pour avoir au moins 99 % de chances de tirer une boule blanche.

Pensez à changer le sens de l’inégalité car est négatif.

PARTIE B


L’urne contient 3 boules blanches pour 10 boules au total, donc :

.

Si l’on a tiré une boule blanche au premier tirage, il reste 2 boules blanches pour 9 au total, donc :

.

Si l’on a tiré une boule noire au premier tirage, il reste 3 boules blanches pour 9 au total, donc :

.

On complète l’arbre en utilisant les propriétés d’un arbre de probabilités.

>1. Utiliser un arbre de probabilités

L’événement est réalisé si l’on a tiré deux boules noires, donc :

.

>2. Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire

  • L’événement est réalisé si l’on a tiré une boule blanche puis une boule noire ou une boule noire puis une boule blanche, donc :

.

  • L’événement est réalisé si l’on a tiré deux boules blanches, donc : .
  • La loi de probabilité de la variable X est alors donnée par le tableau ci-contre :


k


0


1


2


P(X = k)