Tirages dans une urne

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Tirages dans une urne

Probabilités conditionnelles

Corrigé

31

Ens. spécifique

matT_1200_00_60C

Sujet inédit

Exercice • 4 points

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher  : 3 boules blanches et 7 boules noires.

PARTIE A

Tirages avec remise

Dans cette partie, on effectue des tirages successifs en remettant la boule tirée dans l’urne. On s’arrête dès que l’on a tiré une boule blanche.

>1.  Calculer la probabilité de l’événement   :  «  On n’a pas tiré de boule blanche lors des deux premiers tirages  ». (0,5 point)

>2.  Calculer la probabilité de l’événement   :  «  Au plus deux tirages suffisent pour tirer une boule blanche  ». (0,5  point)

>3.  On note la probabilité de l’événement   :  «  Au plus tirages suffisent pour tirer une boule blanche  ». Démontrer que . (0,5  point)

>4.  Quel est le nombre minimal de tirages nécessaires pour avoir au moins 99  % de chances de tirer une boule blanche  ? (0,75 point)

PARTIE B

Tirages sans remise

Dans cette partie, on effectue deux tirages successifs sans remettre la première boule tirée dans l’urne.

On note  :

  l’événement  : «  La première boule tirée est blanche  » 

  l’événement  : «  La deuxième boule tirée est blanche  ».

Soit la variable aléatoire qui à deux tels tirages associe le nombre de boules blanches tirées.

On pourra utiliser un arbre de probabilités.

>1.  Démontrer que  : . (0,5  point)

>2.  Déterminer la loi de probabilité de . (0,75 point)

>3.  Calculer l’espérance de . (0,5 point)

Durée conseillée  : 40  min.

Le thème en jeu

Probabilités conditionnelles • Variable aléatoire discrète.

Les conseils du correcteur

Partie A

>    1.  Utilisez que les tirages sont indépendants en vous référant à la fiche    C49 

>    2.  Remarquez qu’il y a un lien entre les événements et et utilisez la formule incontournable . →  fiche    C47 

>    3.  Calculez d’abord la probabilité de l’événement comme à la question précédente. →  fiche    C47 

>    4.  Résolvez l’inéquation . Utilisez pour cela la fonction logarithme népérien.

Partie B

Commencez par construire l’arbre de probabilités associé à la situation.

>    1.  Remarquez que l’événement est l’événement , et appliquez la formule des probabilités conditionnelles. →  fiche    C48 

>    2.  &Eacute crivez les événements et en fonction des événements et .

> 3. Appliquez la formule de la fiche    C50 C