Tomographie par émission de positons

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Synthétiser des molécules et fabriquer de nouveaux matériaux
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Nouvelle-Calédonie


Nouvelle-Calédonie • Mars 2017

Exercice 2 • 10 points • 1 h 40

Tomographie par émission de positons

Les thèmes clés

Représentation spatiale des molécules 
Transformation en chimie organique 
Temps, cinématique et dynamique newtoniennes

 

Le 18F-FDG (FluoroDésoxyGlucose) est un dérivé du D-glucose contenant du fluor 18, isotope radioactif du fluor. Injecté à un patient juste avant un examen appelé PET-scan (Tomographie par Émission de Positons), le 18F-FDG permet de localiser en direct les zones de l’organisme qui consomment le plus de D-glucose, comme les cellules du cerveau en activité.

Cet exercice se propose d’étudier la synthèse du 18F-FDG à partir de l’isotope 18 du fluor et son utilisation comme marqueur radioactif lors de l’examen du PET-scan. Dans tout ce qui suit, le 18F-FDG sera noté plus simplement FDG.

Données

La valeur de la célérité c de la lumière dans le vide est supposée connue du candidat.

Charge électrique du proton : e = 1,6 × 10–19 C.

Masse du proton : mp = 1,67 × 10–27 kg.

1 eV = 1,60 × 10–19 J.

Constante de Planck : h = 6,63 × 10–34 J ∙ s.

Constante d’Avogadro : NA = 6,02 × 1023 mol–1.

1. synthèse du FDG 15 min

Le FDG est un dérivé du D-glucose dans lequel l’un des groupes hydroxyle (–OH) est remplacé par un atome de fluor 18 radioactif. La similitude de la structure du FDG et du D-glucose fait que le FDG est absorbé par les cellules biologiques de la même façon que le D-glucose. Cependant, la présence de fluor empêche ces cellules de le dégrader pour produire de l’énergie. Le FDG demeure donc plus longtemps dans les cellules.

pchT_1703_11_01C_01

Le FDG est produit au sein même des hôpitaux qui en ont besoin par réaction des ions fluorure 18 avec un composé A représenté ci-dessous. La réaction se déroule en deux étapes.

Étape 1

pchT_1703_11_01C_02

pchT_1703_11_01C_02bis

On obtient ensuite, lors d’une deuxième étape (non décrite ici), le FDG à partir du produit B.

1 L’étape 1 est-elle une addition, une élimination ou une substitution ? Justifier. (0,5 point)

2 À l’aide du formalisme des flèches courbes, matérialiser la formation et la rupture de liaisons de l’étape 1 sur la figure A suivante. (0,5 point)

pchT_1703_11_01C_03

Figure A

3 Sur la figure B ci-contre, indiquer par un astérisque le(s) atome(s) de carbone asymétrique(s) de la molécule de FDG. (0,5 point)

pchT_1703_11_01C_04

Figure B

2. utilisation du FDG pour un diagnostic médical 25 min

La tomographie par émission de positons (TEP) est un examen pour le diagnostic médical, reposant sur la détection de positons produits par le FDG. Ce dernier est injecté au patient sous forme d’une solution aqueuse par voie intraveineuse.

Préparation de l’injection

À l’issue de la synthèse, on obtient une solution aqueuse de FDG de concentration molaire 5,0 × 10–8 mol ∙ L–1 qu’il faut diluer pour pouvoir l’injecter au patient. Pour cela, on prélève 2,5 mL de solution aqueuse de FDG que l’on introduit dans un flacon. On complète avec une solution saline pour obtenir 15 mL de solution diluée.

1 Déterminer la concentration molaire de FDG de la solution contenue dans le flacon. (0,75 point)

2 Pour des raisons de sécurité, l’activité d’un flacon de 15 mL ne doit pas dépasser Amax = 1,0 × 1010 Bq. L’activité A d’un flacon de FDG est proportionnelle au nombre N de molécules de FDG qu’il contient. On a A = λ × NA est exprimée en becquerel (Bq) et λ = 1,05 × 10–4 s–1.

Vérifier que le flacon préparé précédemment respecte les consignes de sécurité. (0,75 point)

3 On souhaite utiliser un flacon de 15 mL ayant une activité A de 7,9 × 109 Bq pour réaliser un examen sur plusieurs patients. Le protocole médical impose qu’on injecte à chaque patient une quantité de FDG dépendant de sa masse corporelle (exprimée en kg). La dose recommandée pour l’examen envisagé est de 3,7 MBq kg–1.

Estimer le nombre de patients adultes à qui l’on pourra injecter la dose recommandée avec un flacon. (0,5 point)

Le candidat pourra être amené à estimer la valeur d’une donnée manquante.

3. production des ions 18F 
au moyen d’un cyclotron 60 min

Le fluor 18, 18F, nécessaire pour synthétiser le FDG doit être produit artificiellement à l’hôpital. Pour cela, on bombarde, au moyen d’un cyclotron, des noyaux d’oxygène 18, 18O, par des protons dont l’énergie cinétique est de 16 MeV.

pchT_1703_11_01C_05

Figure 1. Schéma du cyclotron vu de dessus

Le cyclotron est un appareil constitué de deux demi-cylindres creux appelés dees. Entre les plaques G et D règne un champ électrique E uniforme perpendiculaire à ces plaques. On fait l’hypothèse que le proton n’est pas relativiste et on admettra que son poids est négligeable devant la force électrique. Les protons placés au point O sont accélérés jusqu’au point O où ils pénètrent dans le dee D.

L’objectif de cette partie est d’étudier le fonctionnement du cyclotron.

Données

L’intensité E du champ électrique entre les deux plaques D et G, aux bornes desquelles est appliquée une tension U, est donnée par :

E = |U|d où d est la distance entre les plaques.

E s’exprime en V ∙ m–1, U en volt (V) et d en mètre (m).

Distance d entre les plaques D et G : d = 2 mm.

À t = 0, un proton est introduit dans le cyclotron au point O sans vitesse initiale. La tension accélératrice vaut U = 30 kV. On se place sur l’axe Ox horizontal, centré sur O et dirigé vers la droite.

1 Sachant que le proton doit être accéléré, compléter le schéma suivant en y faisant figurer, sans souci d’échelle :

le vecteur F modélisant la force électrique exercée sur le proton en O ;

un vecteur champ électrique E entre les plaques D et G.

Justifier. (0,5 point)

pchT_1703_11_01C_06

2 Établir l’expression du vecteur accélération a du proton entre O et O en fonction de E. (0,5 point)

3 Montrer que l’abscisse x du proton sur son trajet OO est donnée par la relation : x(t)=e|U|2mpdt2. (1 point)

4 En déduire la valeur de la durée Δt1 mise par le proton pour aller de O à O. (1 point)

5 Dans le dee D, le proton, soumis à un champ magnétique uniforme d’intensité B = 1,6 T, a un mouvement circulaire uniforme jusqu’au point A. Lorsque le proton arrive au point A, le sens du champ électrique E est inversé. Le proton subit alors une nouvelle accélération jusqu’au point A. Le processus d’accélération et de demi-tour successifs se répète un grand nombre de fois jusqu’à ce que le proton sorte de l’accélérateur avec la vitesse souhaitée pour bombarder la cible. Une dizaine de microsecondes est nécessaire pour atteindre une telle vitesse.

pchT_1703_11_01C_07

Figure 2. Principe de fonctionnement du cyclotron

Le mouvement du proton entre O et A est circulaire uniforme. En déduire la relation entre la vitesse v du proton, le rayon R de sa trajectoire et la durée Δt2 de ce premier demi-tour. (0,5 point)

6 Le rayon R de la trajectoire d’un proton dans un dee est donné par la relation : R = mpveB où v est la vitesse du proton.

Montrer, à partir des résultats des questions précédentes, que la durée Δt2 peut s’exprimer sous la forme Δt2 = πmpeB.

En déduire que tous les demi-tours suivants ont la même durée. (0,5 point)

7 En considérant que la durée Δt1 d’une phase d’accélération est de l’ordre de 2 ns, montrer que la durée Δt2 d’un demi-tour est environ dix fois plus grande. (0,5 point)

8 Par la suite on considérera que la durée Δt1 est négligeable devant la durée Δt2. La variation d’énergie cinétique du proton à chaque passage d’un dee à l’autre est égale au travail W de la force électrique F exercée sur le proton lors de ce passage.

Évaluer le nombre de tours que doit faire le proton pour qu’il atteigne, à la sortie du cyclotron, une énergie de 16 MeV. Évaluer la durée pour que le proton sorte du cyclotron et comparer la valeur obtenue avec celle du texte décrivant le principe de fonctionnement du cyclotron. (0,5 point)

Les clés du sujet

Partie 2

1 Il faut comprendre la question comme un calcul de concentration après dilution.

3 La donnée manquante est la masse moyenne d’un être humain.

Partie 3

1 Pensez que le proton a une charge électrique e positive.

8 Il va falloir raisonner par étapes : évaluer la distance parcourue dans les phases d’accélération, en déduire le nombre de tours de cyclotron pour réussir à trouver la durée de présence dans la machine.

Corrigé

Corrigé

1. synthèse du FDG

1 Caractériser un type de réaction

Dans la molécule, le radical O – Tf est replacé par un atome de fluor 18. Cette réaction est donc une substitution.

2 Décrire un mécanisme réactionnel

pchT_1703_11_01C_08

pchT_1703_11_01C_09

3 Reconnaître un carbone asymétrique

Un carbone asymétrique est un carbone relié à quatre substituants de nature différente. Les cinq carbones constituant le cycle ci-contre sont tétraédriques et reliés à des substituants différents. Ils sont tous les cinq asymétriques.

Le carbone situé en haut ne l’est pas. Il est relié à deux –H identiques.

2. utilisation du FDG pour un diagnostic médical

1 Déterminer une concentration molaire

La solution préparée a une concentration C0 = 5,0 × 10-8 mol L–1.

Le prélèvement a un volume V0 = 2,5 mL.

Cela correspond à une quantité de matière :

n0=C0×V0=5,0×108×2,5×103=1,25×1010 mol 

Le volume de la solution diluée est V1 = 15 mL.

Cela correspond donc à une concentration :

C1=n0V1=1,25×10101,5×102=8,3×109 molL1

2 Calculer une activité radioactive

Notez bien

En radioactivité, les calculs se font à partir du nombre de noyaux, d’atomes ou de molécules. En chimie, les données sont en moles. Il faut donc convertir à l’aide du nombre d’Avogadro (NA).

Par définition de l’activité radioactive, A = λ × N avec N le nombre de molécules contenues dans l’échantillon. Dans la réponse à la question précédente, nous avons calculé la quantité de matière de FDG contenue dans l’échantillon : n0. Nous avons donc la relation suivante :

Aflacon = λ × n0 × NA = 1,05 × 10–4 × 1,25 × 10–10 × 6,02 × 1023 = 7,9 × 109 Bq

Cette activité ne doit pas dépasser la valeur Amax = 1,0 × 1010 Bq.

On a bien Aflacon < Amax, ce qui signifie que l’activité radioactive du flacon préparé est bien dans les normes de sécurité.

3 Calculer un nombre d’injections possible

La dose recommandée est de 3,7 MBq ∙ kg–1.

Un patient adulte a une masse corporelle moyenne m = 80 kg.

La dose par patient est donc A = 3,7 × 106 × 80 = 3,0 × 108 Bq. Notre flacon peut donc servir à un nombre n de patients :

n = AflaconA=7,9×1093,0×108=26 patients

3. production des ions 18F au moyen d’un cyclotron

pchT_1703_11_01C_10

1 Représenter une force et un champ électriques

Gagnez des points !

Une force possède un point d’application. Un champ vectoriel n’en possède pas : vous pouvez le dessiner où vous le souhaitez entre les deux plaques.

La force F s’applique en O sur le proton. Elle doit permettre l’accélération du proton entre O et O. Elle est donc horizontale et orientée vers la droite.

Le proton a une charge positive. Le champ électrique E est donc dirigé lui aussi de la gauche vers la droite.

2 Déterminer la valeur d’une accélération

Dans le cyclotron, le proton (de masse mp et de charge e) n’est soumis qu’à la force électrique. On peut donc appliquer la 2e loi de Newton :

F=dpdt=mpa puisque la masse du proton ne change pas.

Par définition, F=qE=eE donc a= empE.

3 Déterminer une équation horaire

Le mouvement se fait suivant l’axe (Ox). L’accélération est :

a=empE=e×|U|mp×d

Par définition, la vitesse est telle que a= dvdt. Par intégration, on a donc : v=at=e×|U|mp×d×t

Par définition la position est telle que v= dxdtx est l’abscisse du proton.

Par intégration, on a donc : x=12at2=e|U|2mpdt2

4 Calculer une durée de parcours

Puisque l’abscisse du proton est donnée par la relation :

x=e×|U|2×mp×d×t2

on a la relation suivante entre la distance parcourue Δx et la durée de parcours Δt :

Δx=e×|U|2×mp×d(Δt1)2

La distance entre les deux plaques vaut d. La relation devient :

d=e×|U|2×mp×d(Δt1)2

Soit : d2=e×|U|2×mp(Δt1)2 d’où d=e×|U|2×mpΔt1

et donc :

Δt1=d2×mpe×|U|=2×103×2×1,67×10271,6×1019×30×103 = 1,67 × 10–9 s

Δt1=1,67 ns

5 Déduire une relation entre vitesse et durée de parcours

Le proton a une vitesse uniforme. On peut donc appliquer la relation suivante :

v=dparcourueΔt2

Le proton parcourt un demi-cercle de rayon R. On a donc :

dparcourue=2πR2=πR

La relation devient donc v= πRΔt2

6 Déduire une relation entre durée de parcours et valeur du champ magnétique

D’après l’énoncé, nous avons la relation suivante : R= mpveB

La relation précédente devient : v= πmpvΔt2eB

Ce qui donne bien : Δt2= πmpeB

On s’aperçoit que, pour un proton, cette durée ne dépend que du champ magnétique : si celui-ci est constant, la durée est la même pour tous les demi-tours.

7 Comparer deux durées

Par application numérique :

Δt2=πmpeB=π×1,67×10271,6×1019×1,6=2,0×108 s=20 ns

Δt2 est donc bien 10 fois plus grand que Δt1.

8 Évaluer la durée nécessaire pour l’énergie demandée

Le proton doit sortir avec une énergie cinétique :

Ec = 16 MeV = 16 × 1,6 × 10–13 = 2,56 × 10–12 J

Il est entré dans le cyclotron avec une vitesse nulle donc une énergie cinétique nulle. La variation d’énergie cinétique est donc :

ΔEc = 2,56 × 10–12 J.

Cette variation est égale au travail W de la force F. Par définition,

W = F × DD est la distance parcourue par le proton ; donc :

D=WF

Attention

Lors d’un tour de cyclotron, le proton passe deux fois entre les deux plaques.

Le proton effectue N tours de cyclotron. La distance parcourue est donc D = 2Nd. Le nombre de tours est donc :

N=D2d=W2dF=ΔEc2deE=ΔEc×d2de|U|=2,56×10122×1,6×1019×30×103N=267 tours

La durée d’un tour vaut :

Δt = 2Δt1 + 2Δt2 = 44 ns

La durée de présence dans le cyclotron vaut donc :

ΔT=267×Δt=12×103 ns=12 µs

Cela est cohérent avec la donnée du texte : « une dizaine de micro­secondes est nécessaire […] ».