Partie A : Résolution d'une équation différentielle

▶ 1. Résoudre une équation différentielle

D'après le cours, les solutions de l'équation différentielle ${\text{(E}}_0) :y^{\prime }-\text{0,2}y=\text{0}$ sont les fonctions $t \mapsto k {\text{e}}^{\text{0,2 }t}$, où k est une constante réelle.

▶ 2. a) Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

Soit, pour t ∈[0 ; 3], ϕ(t) = - 15t – 75. ϕ est dérivable sur [0 ; 3] et ϕ′(t) = - 15. On a :

${\text{φ}}^{\prime }(t)-\text{0,2 }\text{φ}(t)=-15-\text{0,2}(-15t-75)$

${\text{φ}}^{\prime }(t)-\text{0,2 }\text{φ}(t)=-15+3t+15$

${\text{φ}}^{\prime }(t)-\text{0,2 }\text{φ}(t)=3t$.

$\text{φ}$ est donc solution sur [0 ; 3] de l'équation différentielle (E).

b) Déterminer une condition pour les solutions d'une équation différentielle

Soit g une fonction définie et dérivable sur [0 ; 3].

g est solution de (E) sur [0 ; 3] si et seulement si, pour tout t dans cet intervalle :

$g^{\prime }(t)-\text{0,2 }g(t)=3t$

$g^{\prime }(t)-\text{0,2 }g(t)={\text{φ}}^{\prime }(t)-\text{0,2 }\text{φ}(t)$

$g^{\prime }(t)-{\text{φ}}^{\prime }(t)-\text{0,2(}g(t)-\text{φ}(t)\text{)}=0$.

C'est-à-dire si et seulement si $g-\text{φ}$ est solution sur [0 ; 3] de l'équation (E₀).

c) Déterminer les solutions d'une équation différentielle

D'après les questions précédentes, les solutions de l'équation (E) sont les fonctions $g :t \mapsto -15t-75+k {\text{e}}^{\text{0,2 }t}$, avec k constante réelle.

▶ 3. Déterminer une solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale donnée

Au temps t = 0, le wagon est au point de départ, donc $f(0)=0$.

D'où $f(t)=-15t-75+k{\text{ e}}^{\text{0,2 }t}$, avec $f(0)=0$, c'est-à-dire :

- 75 + k = 0, soit k = 75.

Donc, pour t ∈[0 ; 3], $f(t)=-15t+{\text{75(e}}^{\text{0,2 }t}-1\text{)}$.

Partie B : Étude de fonction et application

▶ 1. a) Calculer la dérivée d'une fonction

Pour tout t ∈[0 ; 3] :

$f^{\prime }(t)=-15+75\times {\text{0,2 e}}^{\mathrm{0,2}t}$, soit $f^{\prime }(t)=15({\text{e}}^{\mathrm{0,2}t}-1)$.

b) Déterminer le signe d'une dérivée

$f^{\prime }(t)\ge \text{0}\iff {\text{e}}^{\text{0,2 }t}-1\ge 0$

$f^{\prime }(t)\ge \text{0}\iff \text{0,2 }t\ge 0$

car ${\text{e}}^0=1$ et la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

Donc, pour tout $t\in [\text{0 };\text{ 3}]$, $f^{\prime }(t)\ge 0$.

c) Étudier les variations d'une fonction

De la question précédente, on déduit directement que la fonction f est strictement croissante sur [0 ; 3].

▶ 2. Déterminer l'équation réduite d'une tangente à une courbe

La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 2 a pour équation réduite :

$y=f^{\prime }(2)(x-2)+f(2)$.

Or, $f(2)=-30+75({\text{e}}^{\mathrm{0,4}}-1)={\text{75 e}}^{\mathrm{0,4}}-105$ et $f^{\prime }(2)=15({\text{e}}^{\mathrm{0,4}}-1)$.

La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 2 a donc pour équation :

$y=15({\text{e}}^{\mathrm{0,4}}-1)(x-2)+{\text{75 e}}^{\mathrm{0,4}}-105$, soit :

$y=15({\text{e}}^{\mathrm{0,4}}-1)x+{\text{45 e}}^{\mathrm{0,4}}-75$.

▶ 3. a) Déterminer la distance parcourue en une minute

D'après l'énoncé, le nombre de kilomètres parcourus en une minute est f(1).

$f(1)=-15+{\text{75(e}}^{\mathrm{0,2}}-1\text{)}={\text{75 e}}^{\mathrm{0,2}}-90\approx \text{1,6 }.$

Au bout d'une minute, le wagon a donc parcouru environ 1,6 km.

b) Déterminer le temps nécessaire pour parcourir 6 km

Le temps nécessaire pour que le wagon parcoure une distance de 6 km est solution de l'équation $f(t)=6$.

La fonction f est continue et strictement croissante sur [0 ; 3], avec $f(0)=0$ et $f(3)\approx \mathrm{16,66}$, donc $6\in [f(0) ; f(3)]$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(t)=6$ a une unique solution t₀ dans [0 ; 3].

On a par exemple, en utilisant la calculatrice :

$f(\mathrm{1,87})\approx \mathrm{5,965}<mn>6</mn>$ et $f(\mathrm{1,88})\approx \mathrm{6,03}>6$, donc :

1,87 t₀

Le wagon met donc entre 1,87 et 1,88 minute pour parcourir 6 km.

▶ 4. a) Déterminer une vitesse

La vitesse du wagon bout de 2 minutes, en kilomètres par minute, est $f^{\prime }(2)$.

Or, $f^{\prime }(2)={\text{15(e}}^{\mathrm{0,4}}-1\text{)}\approx \mathrm{7,38}$.

Donc au bout de 2 minutes, le wagon a atteint une vitesse d'environ 7,38 kilomètres par minute.

b) Déterminer une vitesse en changeant d'unité

Puisqu'une heure est égale à 60 minutes, une vitesse de 1 kilomètre par minute est égale à 60 km/h.

On en déduit que le wagon étudié a atteint, au bout de 2 minutes, la vitesse d'environ 442,8 km/h.

442,8 > 400, donc l'objectif des ingénieurs est largement atteint.