Annale corrigée Exercice

Train à propulsion électromagnétique

Primitives, équations différentielles

Train à propulsion électromagnétique

55 min

5 points

Intérêt du sujet  On résout une équation différentielle pour déterminer la vitesse d'un train à propulsion électromagnétique.

 

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Ph © DR / Alpaca / Andia.fr

Dans le projet Hyperloop, projet de train à très haute vitesse et à propulsion électromagnétique, les wagons ont une forme cylindrique et sont propulsés dans un tube à basse pression afin de réduire les frottements. Les ingénieurs ont fixé comme objectif pour le départ de chaque wagon d'atteindre en moins de 2 minutes une vitesse instantanée de 400 km/h.

On note f(t) la distance parcourue par le wagon depuis son point de départ, en km, à l'instant t en minutes. On suppose que f est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 3].

L'objectif de cet exercice est d'étudier la fonction f afin de vérifier les caractéristiques du départ.

Les deux parties de l'exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A : Résolution d'une équation différentielle

Des premières mesures permettent d'affirmer que la fonction f est solution de l'équation différentielle (E) :

y - 0,2y = 3t

y est une fonction inconnue de la variable réelle t, définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 3], et y la fonction dérivée de y.

1. Résoudre sur [0 ; 3] l'équation différentielle (E0) :

y - 0,2y = 0.

2. a) Vérifier que la fonction ϕ, définie sur [0 ; 3] par

ϕ(t) = - 15t - 75, est solution de l'équation différentielle (E).

b) Montrer qu'une fonction g est solution de (E) sur [0 ; 3] si et seulement si g - ϕ est solution de (E0) sur ce même intervalle.

c) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation (E).

3. Au temps = 0, le wagon est au point de départ.

Déterminer l'expression de f(t) en fonction de t.

Partie B : Étude de fonction et application

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 3] par :

f(t)=75(e0,2 t1)15 t.

On désigne par C sa représentation graphique dans un repère orthogonal.

1. a) Calculer l'expression f(t) de la dérivée de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 3].

b) Résoudre sur l'intervalle [0 ; 3] l'inéquation f(t)0.

c) Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 3].

2. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 2.

3. On rappelle que f(t) correspond à la distance parcourue par le wagon, en km, à l'instant t, en minute.

a) Déterminer le nombre de kilomètres parcourus au bout d'une minute. Arrondir le résultat au dixième.

b) Déterminer une valeur approchée à 10 secondes près du temps nécessaire pour que le wagon parcoure une distance de 6 km.

4. La vitesse du wagon à l'instant t est donnée, en kilomètres par minute, par f(t).

a) Déterminer, en kilomètres par minute, la vitesse du wagon au bout de 2 minutes (arrondir le résultat au centième).

b) L'objectif des ingénieurs est-il atteint ? Justifier la réponse.

 

Les clés du sujet

Partie A

1. Appliquez un résultat du cours.

2. a) Montrez que, pour tout t ∈[0 ; 3], φ(t)0,2φ(t)= 0.

3. On a une « condition initiale ».

Partie B

2. La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse a a pour équation y=f(a)(xa)+ f(a).

3. b) Appliquez le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

4. b) Convertissez les kilomètres par minute en km/h.

Partie A : Résolution d'une équation différentielle

1. Résoudre une équation différentielle

D'après le cours, les solutions de l'équation différentielle (E0) :y0,2y=0 sont les fonctions t k e0,2 t, où k est une constante réelle.

2. a) Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

Soit, pour t ∈[0 ; 3], ϕ(t) = - 15t – 75. ϕ est dérivable sur [0 ; 3] et ϕ′(t) = - 15. On a :

φ(t)0,2 φ(t)=150,2(15t75)

φ(t)0,2 φ(t)=15+3t+15

φ(t)0,2 φ(t)=3t.

φ est donc solution sur [0 ; 3] de l'équation différentielle (E).

b) Déterminer une condition pour les solutions d'une équation différentielle

Soit g une fonction définie et dérivable sur [0 ; 3].

g est solution de (E) sur [0 ; 3] si et seulement si, pour tout t dans cet intervalle :

g(t)0,2 g(t)=3t

g(t)0,2 g(t)=φ(t)0,2 φ(t)

g(t)φ(t)0,2(g(t)φ(t))=0.

C'est-à-dire si et seulement si gφ est solution sur [0 ; 3] de l'équation (E0).

c) Déterminer les solutions d'une équation différentielle

D'après les questions précédentes, les solutions de l'équation (E) sont les fonctions g :t 15t75+k e0,2 t, avec k constante réelle.

3. Déterminer une solution d'une équation différentielle vérifiant une condition initiale donnée

Au temps = 0, le wagon est au point de départ, donc f(0)=0.

D'où f(t)=15t75+k e0,2 t, avec f(0)=0, c'est-à-dire :

- 75 + k = 0, soit k = 75.

Donc, pour t ∈[0 ; 3], f(t)=15t+75(e0,2 t1).

Partie B : Étude de fonction et application

1. a) Calculer la dérivée d'une fonction

Pour tout t ∈[0 ; 3] :

f(t)=15+75×0,2 e0,2t, soit f(t)=15(e0,2t1).

b) Déterminer le signe d'une dérivée

f(t)0e0,2 t10

f(t)00,2 t0

car e0=1 et la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

Donc, pour tout t [; 3], f(t)0.

c) Étudier les variations d'une fonction

De la question précédente, on déduit directement que la fonction f est strictement croissante sur [0 ; 3].

2. Déterminer l'équation réduite d'une tangente à une courbe

La tangente à C au point d'abscisse 2 a pour équation réduite :

y=f(2)(x2)+f(2).

Or, f(2)=30+75(e0,41)=75 e0,4105 et f(2)=15(e0,41).

La tangente à C au point d'abscisse 2 a donc pour équation :

y=15(e0,41)(x2)+75 e0,4105, soit :

y=15(e0,41)x+45 e0,475.

3. a) Déterminer la distance parcourue en une minute

D'après l'énoncé, le nombre de kilomètres parcourus en une minute est f(1).

f(1)=15+75(e0,21)=75 e0,2901,6 .

Au bout d'une minute, le wagon a donc parcouru environ 1,6 km.

b) Déterminer le temps nécessaire pour parcourir 6 km

Le temps nécessaire pour que le wagon parcoure une distance de 6 km est solution de l'équation f(t)=6.

La fonction f est continue et strictement croissante sur [0 ; 3], avec f(0)=0 et f(3)16,66, donc 6[f(0) ; f(3)].

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(t)=6 a une unique solution t0 dans [0 ; 3].

On a par exemple, en utilisant la calculatrice :

f(1,87)5,9656 et f(1,88)6,03>6, donc :

1,87 t0

à noter

En arrondissant, on peut dire ­également que le wagon met entre 112 et 113 secondes pour parcourir 6 km.

Le wagon met donc entre 1,87 et 1,88 minute pour parcourir 6 km.

4. a) Déterminer une vitesse

La vitesse du wagon bout de 2 minutes, en kilomètres par minute, est f(2).

Or, f(2)=15(e0,41)7,38.

Donc au bout de 2 minutes, le wagon a atteint une vitesse d'environ 7,38 kilomètres par minute.

b) Déterminer une vitesse en changeant d'unité

Puisqu'une heure est égale à 60 minutes, une vitesse de 1 kilomètre par minute est égale à 60 km/h.

On en déduit que le wagon étudié a atteint, au bout de 2 minutes, la vitesse d'environ 442,8 km/h.

442,8 > 400, donc l'objectif des ingénieurs est largement atteint.

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