Terminale générale Physique-chimie Écoulement d'un fluide

pchT_2505_02_02C

Amérique du Nord, mai 2025 • Jour 1

SPRINT FINAL

Amérique du Nord, mai 2025 • Jour 1

exercice 3

Traitement des eaux d’un bassin d’orage

60 min

6 points

Intérêt du sujet • Dans un bassin de rétention d’eau pluviale, le taux d’oxygénation de l’eau est surveillé par un capteur flottant, et ajusté grâce à un aérateur. Ce sujet s’intéresse à la flottabilité du capteur et au fonctionnement de l’aérateur.

En France, les eaux pluviales excédentaires produites par les orages sont parfois stockées dans des bassins de rétention. Mais, sous l’effet de la chaleur, ces eaux de bassin voient leur taux de dioxygène diminuer. Pour assurer le rejet des eaux de bassin en milieu naturel, le taux de dioxygène est surveillé. Cette fonction peut être assurée par des capteurs installés sur une bouée autonome. Quant à l’oxygénation, elle peut être assurée par un aérateur à jet. L’objectif de cet exercice est d’étudier la flottabilité d’une telle bouée, puis d’évaluer le temps nécessaire à l’amélioration de la qualité de l’eau par un aérateur à jet.

Partie 1. Surveillance de la qualité de l’eau ⏱ 15 min

Une bouée autonome instrumentée est constituée de deux parties principales : le capteur et le flotteur qui contient les instruments de communication. L’immersion de la bouée ne doit pas dépasser 20 % de son volume total pour maintenir les instruments hors de l’eau et faciliter la communication avec l’extérieur.

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Source : ijinus.com

Figure 1. Bouée autonome instrumentée

Données

Volume de la bouée V_bouée = 6,7 × 10^–3 m³

Masse totale de la bouée m = 1,0 kg

Masse volumique de l’eau ρ_eau = 1,00 × 10³ kg · m^–3

Intensité de la pesanteur terrestre g = 9,81 N kg^–1

Expression de la poussée d’Archimède : π_A = ρ_f × V_f × g avec V_f le volume de fluide déplacé et ρ_f la masse volumique du fluide déplacé

▶ 1. Nommer les deux forces exercées sur la bouée supposée à l’équilibre puis les représenter sans souci d’échelle sur un schéma annoté. (0,5 point)

▶ 2. Déterminer la valeur de V_imm, le volume immergé de la bouée à l’équilibre. (0,5 point)

▶ 3. En déduire la proportion du volume immergé par rapport au volume total de la bouée. Commenter. (0,5 point)

Partie 2. Traitement de l’eau ⏱ 45 min

La bouée autonome mesure le taux de dioxygène dissous dans l’eau dans l’eau du bassin d’orage. La norme impose que le taux en dioxygène soit compris entre 6 et 8 mg · L^–1. Sous l’effet de la chaleur, ce taux diminue et atteint 4 mg · L^–1 : il faut l’augmenter. Pour cela, un aérateur à jet immergé est utilisé pour injecter de l’air (et donc du dioxygène) dans l’eau. L’aérateur aspire de l’eau et la fait circuler dans une conduite horizontale présentant un rétrécissement d’une section circulaire de diamètre d_A vers une section de diamètre d_B. C’est au niveau de cette partie rétrécie que l’eau et l’air (aspiré depuis l’entrée d’air) se mélangent.

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Figure 2. Plan de l’aérateur à jet immergé et zoom sur le rétrécissement

Données

Diamètre de la canalisation en A, d_A = 55 mm

Diamètre de la canalisation en B, d_B = 33 mm

Vitesse de l’eau en A, v_A = 5,6 m · s^–1

Volume d’eau dans le bassin d’orage, V_eau = 172 m³

Masse volumique de l’eau dans le bassin d’orage, ρ_eau = 1,00 × 10³ kg · m^–3

Relation de Bernoulli dans la conduite horizontale :

$p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g z = constante$

avec p : pression ; ρ : masse volumique du fluide ; g : intensité de la pesanteur ; z : coordonnée verticale de la position ; v : valeur de la vitesse du fluide

On considère que l’eau est un fluide incompressible et que le régime est permanent. Le débit volumique D_V d’un fluide dans une canalisation dépend de la vitesse v de déplacement du fluide et de la section S de la canalisation.

▶ 4. Recopier la formule permettant de calculer le débit volumique D_V, en justifiant la réponse par une analyse dimensionnelle ou une analyse des unités. (0,5 point)

D_V $= \frac{V}{S}$ D_V = S · v D_V = v² · S

▶ 5. Montrer, par un calcul, que la valeur du débit volumique de l’eau dans la canalisation est D_V = 1,3 × 10^–2 m³ · s^–1. (0,5 point)

▶ 6. Exploiter la conservation du débit volumique pour montrer que la valeur de la vitesse de l’eau au point B vaut 16 m · s^–1. (0,5 point)

▶ 7. Nommer le phénomène physique observé au point B responsable de l’aspiration de l’air. (0,25 point)

▶ 8. Montrer que l’expression de la variation de la pression entre les points A et B Δp = p_B – p_A peut s’exprimer : Δp = $\frac{1}{2} ρ (v_{A}^{2} - v_{B}^{2})$ . (0,5 point)

▶ 9. Calculer la valeur numérique de Δp. Commenter. (0,5 point)

L’eau contenue dans ce bassin d’orage, dont le taux en dioxygène est de 4 mg · L^–1, doit être évacuée, en moins de deux heures, dans une rivière voisine. Elle doit être traitée avant son évacuation. L’aérateur est mis en marche. On considère que l’oxygénation est constante tout au long du processus et que le bassin est un système fermé (pas d’échanges avec l’extérieur).

▶ 10. Montrer qu’il faut ajouter 344 g de dioxygène à l’eau du bassin pour atteindre un taux de dioxygène de 6 mg · L^–1. L’aérateur permet l’assimilation de 6 mg de dioxygène par litre d’eau brassé. (0,5 point)

▶ 11. Calculer le volume d’eau qui doit être brassé par l’aérateur pour assimiler la masse de dioxygène nécessaire. (0,5 point)

▶ 12. Déterminer si l’oxygénation de l’eau peut être faite en moins de deux heures dans ces conditions. (0,75 point)

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

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Les conseils du correcteur

Partie 1. Surveillance de la qualité de l’eau

▶ 1 et 2. Utilisez la condition d’équilibre de la bouée.

Partie 2. Traitement de l’eau

▶ 8. Utilisez la loi de Bernoulli sachant que l’eau circule entre A et B dans une conduite horizontale.

▶ 12. Définissez le débit volumique et utilisez sa valeur calculée à la question 5.

Partie 1. Surveillance de la qualité de l’eau

▶ 1. Nommer les forces appliquées à la bouée et les représenter

La bouée est soumise à son poids $\vec{P}$ qui est vertical descendant et à la poussée d’Archimède $\vec{π_{A}}$ qui est verticale ascendante.

La bouée est à l’équilibre donc la somme des forces est nulle : $\vec{P} + \vec{π_{A}} = \vec{0}$ .

Les deux forces sont donc de même intensité et de sens opposés.

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▶ 2. Déterminer le volume immergé V_imm de la bouée à l’équilibre

Les deux forces auxquelles est soumise la bouée ont la même intensité donc π_A = P. On peut donc écrire : ρ_f × V_f × g = m × g.

En simplifiant par g, on obtient : ρ_f × V_f = m donc $V_{f} = \frac{m}{ρ_{f}}$ .

Le volume V_f de fluide déplacé et le volume immergé V_imm de la bouée sont deux noms différents pour désigner un même volume. Et le fluide est ici l’eau donc $V_{imm} = V_{f} = \frac{m}{ρ_{eau}}$ .

Ainsi, volume immergé est : V_imm = $\frac{1,0}{1,00 \times 10^{3}} =$ 1,0 × 10^–3 m³.

▶ 3. En déduire la proportion du volume immergé

La proportion du volume immergé par rapport au volume total de la bouée est : $\frac{V_{imm}}{V_{bouée}} = \frac{1,0 \times 10^{- 3}}{6,7 \times 10^{- 3}}$ = 0,15 soit 15 %.

Cette valeur étant inférieure à 20 %, la bouée n’est pas trop immergée et les instruments de mesure peuvent transmettre correctement leurs données.

Partie 2. Traitement de l’eau

▶ 4. Indiquer la formule qui permet de calculer le débit volumique

La section S et la vitesse d’écoulement v s’expriment respectivement en m² et m · s^–1.

Par ailleurs, le débit volumique D_V est le volume d’eau qui s’écoule par unité de temps donc son unité est le m³ · s^–1.

La seule relation possible entre ces trois unités est donc :

1 m³ · s^–1 = 1 m² × 1 m · s^–1

ce qui correspond à l’expression du débit volumique

D_V = S · v.

▶ 5. Calculer le débit volumique de l’eau dans la canalisation

La section en A est un disque de diamètre d_A donc de rayon $\frac{d_{A}}{2}$ . Ainsi :

$S_{A} = π {(\frac{d_{A}}{2})}^{2} = π \frac{d_{A}^{2}}{4}$ donc $S_{A} = \frac{π \times {(55 \times 10^{- 3})}^{2}}{4}$ = 2,4 × 10^–3 m².

Puisque le débit volumique en A s’exprime : D_V = S_A · v_A, on peut calculer : D_V = 2,4 × 10^–3 × 5,6 = 1,3 × 10^–2 m³ · s^–1.

▶ 6. Exploiter la conservation du débit volumique pour calculer la vitesse d’écoulement en B

à noter

L’expression $v_{B} = \frac{d_{A}^{2} \times v_{A}}{d_{B}^{2}}$ comporte le rapport $\frac{d_{A}^{2}}{d_{B}^{2}}$ donc il n’est pas utile de convertir les diamètres en mètre pour conduire le calcul numérique.

La conservation du débit volumique permet d’écrire que le débit en B est identique au débit en A : D_V = S_B · v_B = S_A · v_A.

La vitesse d’écoulement en B s’exprime donc :

$v_{B} = \frac{S_{A} \times v_{A}}{S_{B}} = \frac{π \frac{d_{A}^{2}}{4} v_{A}}{π \frac{d_{B}^{2}}{4}} = \frac{d_{A}^{2} \cdot v_{A}}{d_{B}^{2}}$ .

On peut ainsi calculer $v_{B} = \frac{55^{2} \times 56}{33^{2}}$ ce qui donne, avec deux chiffres significatifs, $v_{B}$ = 16 m · s^–1.

▶ 7. Nommer le phénomène responsable de l’aspiration de l’air

Le phénomène physique responsable de la dépression en B et donc de l’aspiration de l’air est l’effet Venturi.

▶ 8. Établir l’expression de la variation de pression entre A et B

La relation de Bernoulli appliquée à l’écoulement de l’eau de A vers B s’exprime :

$p_{A} + \frac{1}{2} ρ v_{A}^{2} + ρ g z_{A} = p_{B} + \frac{1}{2} ρ v_{B}^{2} + ρ g z_{B}$

La canalisation est horizontale donc z_A = z_B. L’équation de Bernoulli se simplifie en :

$p_{A} + \frac{1}{2} ρ v_{A}^{2} = p_{B} + \frac{1}{2} ρ v_{B}^{2}$

donc on peut écrire :

$p_{B} - p_{A} = \frac{1}{2} ρ v_{A}^{2} - \frac{1}{2} ρ v_{B}^{2}$

ce qui équivaut bien à la relation $Δ p = \frac{1}{2} ρ (v_{A}^{2} - v_{B}^{2})$ .

▶ 9. Calculer la valeur numérique de Δp et commenter

L’application numérique de la relation littérale précédente conduit à :

$Δ p = \frac{1}{2} \times 1,00 \times 10^{3} \times ({5,6}^{2} - 16^{2})$ donc Δp = – 1,1 × 10⁵ Pa.

La valeur négative de la différence pression signifie que la pression en B est inférieure à la pression en A. C’est donc bien en B que l’air est aspiré, comme cela est schématisé sur la figure 2.

On peut aussi noter que la valeur absolue de la différence de pression est légèrement supérieure à la pression atmosphérique (1,0 × 10⁵ Pa). On peut donc supposer que la pression en A est supérieure à la pression atmosphérique.

▶ 10. Déterminer la masse de dioxygène à ajouter à l’eau du bassin pour atteindre un taux de dioxygène de 6 mg · L^–1

Le taux de dioxygène de l’eau (c’est-à-dire la concentration en masse de dioxygène) doit être porté de 4 mg · L^–1à6 mg · L^–1avant le rejet dans la nature. Il s’agit donc d’apporter une concentration en masse supplémentaire c = 2 mg · L^–1 à l’ensemble du bassin de rétention d’eau.

La masse de dioxygène à ajouter à l’eau est donc $m (O_{2}) = c \times V_{eau}$ .

En exprimant c en g · L^–1 et V_eau en L : $m (O_{2}) =$ $2 \times 10^{- 3} \times 172 \times 10^{3} =$ 344 g.

▶ 11. Calculer le volume d’eau qui doit être brassé par l’aérateur

L’aérateur permet l’assimilation de 6 mg de dioxygène par litre d’eau brassé. Le volume d’eau qui doit être brassé pour la dissolution de 344 g de dioxygène est donc :

$V_{brassé} = \frac{344}{6 \times 10^{- 3}} = 57 \times 10^{3} L$ soit 57 m³.

▶ 12. Déterminer si l’oxygénation de l’eau peut être faite en moins de deux heures

Le débit volumique de l’eau dans l’aérateur est D_V = 1,3 × 10^–2 m^3 ·s^–1. Or, par définition, le débit est le rapport du volume d’eau brassé par la durée Δt nécessaire au brassage : $D_{V} = \frac{V_{brassé}}{Δ t}$ .

à noter

1 h = 3 600 s.

On peut donc calculer :

Δt = $\frac{V_{brassé}}{D_{V}} = \frac{57}{1,3 \times 10^{- 2}} =$ $4,4 \times 10^{3} s$ soit 1,2 h.

L’oxygénation est bien réalisable en moins de deux heures.

Traitement des eaux d'un bassin d'orage

Partie 1. Surveillance de la qualité de l’eau ⏱ 15 min

Figure 1. Bouée autonome instrumentée

Partie 2. Traitement de l’eau ⏱ 45 min

Figure 2. Plan de l’aérateur à jet immergé et zoom sur le rétrécissement

Les clés du sujet

Le lien avec le programme

Les conseils du correcteur

Partie 1. Surveillance de la qualité de l’eau

▶ 1. Nommer les forces appliquées à la bouée et les représenter

▶ 2. Déterminer le volume immergé V_imm de la bouée à l’équilibre

▶ 3. En déduire la proportion du volume immergé

Partie 2. Traitement de l’eau

▶ 4. Indiquer la formule qui permet de calculer le débit volumique

▶ 5. Calculer le débit volumique de l’eau dans la canalisation

▶ 6. Exploiter la conservation du débit volumique pour calculer la vitesse d’écoulement en B

à noter

▶ 7. Nommer le phénomène responsable de l’aspiration de l’air

▶ 8. Établir l’expression de la variation de pression entre A et B

▶ 9. Calculer la valeur numérique de Δp et commenter

▶ 10. Déterminer la masse de dioxygène à ajouter à l’eau du bassin pour atteindre un taux de dioxygène de 6 mg · L^–1

▶ 11. Calculer le volume d’eau qui doit être brassé par l’aérateur

▶ 12. Déterminer si l’oxygénation de l’eau peut être faite en moins de deux heures

à noter

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Figure 2. Plan de l’aérateur à jet immergé et zoom sur le rétrécissement

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Partie 1. Surveillance de la qualité de l’eau

▶ 1. Nommer les forces appliquées à la bouée et les représenter

▶ 2. Déterminer le volume immergé Vimm de la bouée à l’équilibre

▶ 3. En déduire la proportion du volume immergé

Partie 2. Traitement de l’eau

▶ 4. Indiquer la formule qui permet de calculer le débit volumique

▶ 5. Calculer le débit volumique de l’eau dans la canalisation

▶ 6. Exploiter la conservation du débit volumique pour calculer la vitesse d’écoulement en B

à noter

▶ 7. Nommer le phénomène responsable de l’aspiration de l’air

▶ 8. Établir l’expression de la variation de pression entre A et B

▶ 9. Calculer la valeur numérique de Δp et commenter

▶ 10. Déterminer la masse de dioxygène à ajouter à l’eau du bassin pour atteindre un taux de dioxygène de 6 mg · L–1

▶ 11. Calculer le volume d’eau qui doit être brassé par l’aérateur

▶ 12. Déterminer si l’oxygénation de l’eau peut être faite en moins de deux heures

à noter

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▶ 2. Déterminer le volume immergé V_imm de la bouée à l’équilibre

▶ 10. Déterminer la masse de dioxygène à ajouter à l’eau du bassin pour atteindre un taux de dioxygène de 6 mg · L^–1