Analyse
Fonctions de référence
43
matT_2000_00_30C
Fonctions de référence
Trajectoire d'un projectile
Intérêt du sujet • La trajectoire d'un projectile est ici modélisée par la courbe représentative d'une fonction qui fait intervenir la fonction logarithme népérien. Cherchons la hauteur maximale atteinte et l'angle de la tangente à l'origine.
Lors d'une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L'objectif est de déterminer pour quel angle de tir θ par rapport à l'horizontale la hauteur du projectile ne dépasse pas 1,6 mètre.
Comme le projectile ne se déplace pas dans l'air mais dans un fluide, le modèle parabolique usuel n'est pas adopté.
On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 1[ par :
où b est un paramètre réel supérieur ou égal à 2, x est l'abscisse du projectile, f(x) son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètres.
▶ 1. La fonction f est dérivable sur l'intervalle [0 ; 1[. On note f′ sa fonction dérivée.
On admet que la fonction f possède un maximum sur l'intervalle [0 ; 1[ et que, pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 1[ : .
Montrer que le maximum de la fonction f est égal à .
▶ 2. Déterminer pour quelles valeurs du paramètre b la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas 1,6 mètre.
▶ 3. Dans cette question, on choisit b = 5,69.
L'angle de tir θ correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe de la fonction f au point d'abscisse 0 comme indiqué sur le schéma donné ci-dessus.
Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle θ.
Les clés du sujet
▶ 2. Étudiez les variations de la fonction qui, à tout réel b supérieur ou égal à 2, associe . Justifiez, en utilisant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, qu'il existe une unique valeur pour laquelle l'image par la fonction choisie est égale à 1,6. Concluez sur les valeurs qui satisfont la contrainte de hauteur maximale.
▶ 1. Déterminer le maximum d'une fonction
Pour tout nombre réel x de l'intervalle , 1 - x est strictement positif. Le signe de est alors le signe de son numérateur, à savoir - bx + b - 2 (b étant un paramètre réel supérieur ou égal à 2). Or,
et
Comme b ≥ 2, on a . La fonction f est ainsi strictement croissante sur et strictement décroissante sur Cette fonction admet alors un maximum sur , atteint en et qui vaut :
▶ 2. Déterminer une valeur sous contrainte
On note m la fonction qui, à tout réel b supérieur ou égal à 2, associe .
La fonction m est la somme de la fonction affine b ↦ b - 2 et de la fonction
La fonction affine est naturellement dérivable sur ℝ donc sur et comme , la fonction est dérivable sur de dérivée
Ainsi, la dérivée est définie sur et donnée par qui est supérieur ou égal à 0 (voir question précédente). Par conséquent, la fonction m est strictement croissante sur .
La fonction m étant dérivable sur , elle y est continue. D'après le point précédent, elle est strictement croissante sur cet intervalle. De plus,
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet alors une unique solution α dans l'intervalle et par suite sur (compte tenu des propriétés de m). À l'aide d'une calculatrice, en utilisant le solveur, α vaut environ 5,6917.
Compte tenu de la stricte croissance de la fonction m sur , la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas 1,6 mètre pour toutes les valeurs de b comprises dans l'intervalle .
▶ 3. Déterminer une valeur approchée d'un angle
La tangente T à la courbe de la fonction f au point d'abscisse 0 (tracé en pointillés sur le graphique) a pour équation .
Or, (la tangente passe par l'origine) et
Ainsi, on a T : y = 3,69x.
On note O l'origine du repère, A le point de coordonnées (1 ; 0) et B le point de coordonnées (1 ; 3,69) qui appartient à la tangente T. Le triangle OAB est rectangle en A et l'angle correspond à l'angle de tir θ. Dans ce triangle rectangle, on a alors : .
À l'aide de la calculatrice (en mode degrés), on obtient :
Une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle θ est 74,8°.