Annale corrigée Exercice

Trajectoire d'un projectile

Fonctions de référence

Trajectoire d'un projectile

30 min

4 points

Intérêt du sujet  La trajectoire d'un projectile est ici modélisée par la courbe représentative d'une fonction qui fait intervenir la fonction logarithme népérien. Cherchons la hauteur maximale atteinte et l'angle de la tangente à l'origine.

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Lors d'une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L'objectif est de déterminer pour quel angle de tir θ par rapport à l'horizontale la hauteur du projectile ne dépasse pas 1,6 mètre.

Comme le projectile ne se déplace pas dans l'air mais dans un fluide, le modèle parabolique usuel n'est pas adopté.

On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 1[ par :

fx=bx+2ln1x

b est un paramètre réel supérieur ou égal à 2, x est l'abscisse du projectile, f(x) son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètres.

1. La fonction f est dérivable sur l'intervalle [0 ; 1[. On note f sa fonction dérivée.

On admet que la fonction f possède un maximum sur l'intervalle [0 ; 1[ et que, pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 1[ : f(x)= bx+b21x.

Montrer que le maximum de la fonction f est égal à b2+2ln2b.

2. Déterminer pour quelles valeurs du paramètre b la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas 1,6 mètre.

3. Dans cette question, on choisit = 5,69.

L'angle de tir θ correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe de la fonction f au point d'abscisse 0 comme indiqué sur le schéma donné ci-dessus.

Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle θ.

Les clés du sujet

2. Étudiez les variations de la fonction qui, à tout réel b supérieur ou égal à 2, associe b2+2ln2b. Justifiez, en utilisant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, qu'il existe une unique valeur pour laquelle l'image par la fonction choisie est égale à 1,6. Concluez sur les valeurs qui satisfont la contrainte de hauteur maximale.

1. Déterminer le maximum d'une fonction

Pour tout nombre réel x de l'intervalle ; 1, 1 - x est strictement positif. Le signe de fx est alors le signe de son numérateur, à savoir - bxb - 2 (b étant un paramètre réel supérieur ou égal à 2). Or,

bx+b2=0b2=bxx=b2b=12b

et

bx+b2>0b2>bx12b>x.

Comme b ≥ 2, on a 012b1. La fonction f est ainsi strictement croissante sur ; 12b et strictement décroissante sur 12b ; 1. Cette fonction admet alors un maximum sur ; 1, atteint en x=12b et qui vaut :

f12b=b×12b+2×ln112b=b2+2ln2b.

2. Déterminer une valeur sous contrainte

On note m la fonction qui, à tout réel b supérieur ou égal à 2, associe b2+2ln2b.

La fonction m est la somme de la fonction affine b b - 2 et de la fonction b2ln2b.

La fonction affine est naturellement dérivable sur ℝ donc sur ; + et comme 2b>0, la fonction b2ln2b=2ln22lnb est dérivable sur ; + de dérivée b2b.

Ainsi, la dérivée m est définie sur ; + et donnée par mb=12b qui est supérieur ou égal à 0 (voir question précédente). Par conséquent, la fonction m est strictement croissante sur ; +.

La fonction m étant dérivable sur ; +, elle y est continue. D'après le point précédent, elle est strictement croissante sur cet intervalle. De plus,

m2=01,6m10=82ln54,78.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation mx=1,6 admet alors une unique solution α dans l'intervalle ; 10 et par suite sur ; + (compte tenu des propriétés de m). À l'aide d'une calculatrice, en utilisant le solveur, α vaut environ 5,6917.

Compte tenu de la stricte croissance de la fonction m sur ; +, la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas 1,6 mètre pour toutes les valeurs de b comprises dans l'intervalle ; α.

3. Déterminer une valeur approchée d'un angle

La tangente T à la courbe de la fonction f au point d'abscisse 0 (tracé en pointillés sur le graphique) a pour équation   y=f0×x0+f0.

Or, f0=5,69×0+2×ln1=0 (la tangente passe par l'origine) et f0=5,69×0+5,69210=3,69.

Ainsi, on a T : y = 3,69x.

On note O l'origine du repère, A le point de coordonnées (1 ; 0) et B le point de coordonnées (1 ; 3,69) qui appartient à la tangente T. Le triangle OAB est rectangle en A et l'angle AOB^ correspond à l'angle de tir θ. Dans ce triangle rectangle, on a alors : tanθ=ABOA=3,69.

À l'aide de la calculatrice (en mode degrés), on obtient :

Tableau de 2 lignes, 2 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : TI 83+;Casio Graph 35;Corps du tableau de 1 lignes ;Ligne 1 :  ;  ;

Une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle θ est 74,8°.

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