▶ 1. Déterminer le maximum d'une fonction

Pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[\text{0 };\text{ 1}\right[$, 1 - x est strictement positif. Le signe de $f^{\prime }\left(x\right)$ est alors le signe de son numérateur, à savoir - bx + b - 2 (b étant un paramètre réel supérieur ou égal à 2). Or,

$-bx+b-2=0\iff b-2=bx\iff x=\frac{b-2}{b}=1-\frac{2}{b}$

et

$-bx+b-2>0\iff b-2>bx\iff 1-\frac{2}{b}>x.$

Comme b ≥ 2, on a $0\le 1-\frac{2}{b}<mn>1</mn>$. La fonction f est ainsi strictement croissante sur $\left[\text{0 };\text{ 1}-\frac{2}{b}\right]$ et strictement décroissante sur $\left[1-\frac{2}{b} ;\text{ 1}\right[.$ Cette fonction admet alors un maximum sur $\left[\text{0 };\text{ 1}\right[$, atteint en $x=1-\frac{2}{b}$ et qui vaut :

$f\left(1-\frac{2}{b}\right)=b\times \left(1-\frac{2}{b}\right)+2\times \ln \left(1-\left(1-\frac{2}{b}\right)\right)=b-2+2\ln \left(\frac{2}{b}\right).$

▶ 2. Déterminer une valeur sous contrainte

On note m la fonction qui, à tout réel b supérieur ou égal à 2, associe $b-2+2\ln \left(\frac{2}{b}\right)$.

La fonction m est la somme de la fonction affine b ↦ b - 2 et de la fonction $b\mapsto 2\ln \left(\frac{2}{b}\right).$

La fonction affine est naturellement dérivable sur ℝ donc sur $\left[\text{2 }; +\infty \right[$ et comme $\frac{2}{b}>0$, la fonction $b\mapsto 2\ln \left(\frac{2}{b}\right)=2\ln \left(2\right)-2\text{ln}\left(b\right)$ est dérivable sur $\left[\text{2 }; +\infty \right[$ de dérivée $b\mapsto -\frac{2}{b}.$

Ainsi, la dérivée $m^{\prime }$ est définie sur $\left[\text{2 }; +\infty \right[$ et donnée par $m^{\prime }\left(b\right)=1-\frac{2}{b}$ qui est supérieur ou égal à 0 (voir question précédente). Par conséquent, la fonction m est strictement croissante sur $\left[\text{2 }; +\infty \right[$.

La fonction m étant dérivable sur $\left[\text{2 }; +\infty \right[$, elle y est continue. D'après le point précédent, elle est strictement croissante sur cet intervalle. De plus,

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $m\left(x\right)=\mathrm{1,6}$ admet alors une unique solution α dans l'intervalle $\left[\text{2 };\text{ 10}\right]$ et par suite sur $\left[\text{2 }; +\infty \right[$ (compte tenu des propriétés de m). À l'aide d'une calculatrice, en utilisant le solveur, α vaut environ 5,6917.

Compte tenu de la stricte croissance de la fonction m sur $\left[\text{2 }; +\infty \right[$, la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas 1,6 mètre pour toutes les valeurs de b comprises dans l'intervalle $\left[\text{2 }; \text{α}\right]$.

▶ 3. Déterminer une valeur approchée d'un angle

La tangente T à la courbe de la fonction f au point d'abscisse 0 (tracé en pointillés sur le graphique) a pour équation   $y=f^{\prime }\left(0\right)\times \left(x-0\right)+f\left(0\right)$.

Or, $f\left(0\right)=\mathrm{5,69}\times 0+2\times \ln \left(1\right)=0$ (la tangente passe par l'origine) et $f^{\prime }\left(0\right)=\frac{-\mathrm{5,69}\times 0+\mathrm{5,69}-2}{1-0}=\mathrm{3,69}.$

Ainsi, on a T : y = 3,69x.

On note O l'origine du repère, A le point de coordonnées (1 ; 0) et B le point de coordonnées (1 ; 3,69) qui appartient à la tangente T. Le triangle OAB est rectangle en A et l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ correspond à l'angle de tir θ. Dans ce triangle rectangle, on a alors : $\tan \left(\text{θ}\right)=\frac{\text{AB}}{\text{OA}}=\mathrm{3,69}$.

À l'aide de la calculatrice (en mode degrés), on obtient :

Une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle θ est 74,8°.