Partie A • Études de deux fonctions

▶ 1. a) Justifier la limite d’une fonction en + ∞

Pour tout x ∈[0 ; + ∞[, $f(x)=\mathrm{0,06}x(-x+\mathrm{13,7})$.

$\underset{x\to +\text{∞}}{\lim }\mathrm{0,06}x=+\text{∞}$ et $\underset{x\to +\text{∞}}{\text{lim}}(-x+\mathrm{13,7})=-\text{∞}$, donc par produit :

$\underset{x\to +\text{∞}}{\text{lim}}f(x)=-\text{∞}$.

b) Justifier les variations d’une fonction

Pour tout x ∈[0 ; + ∞[, $f^{\prime }(x)=\mathrm{0,06}(-2x+\mathrm{13,7})$.

$f^{\prime }(x)=\text{0}\iff x=\frac{\mathrm{13,7}}{2}=\mathrm{6,85}$.

Si 0 ≤ x < 6,85, alors - 2x + 13,7 > 0, donc $f^{\prime }(x)>0$.

Si x > 6,85, alors - 2x + 13,7 < 0, donc $f^{\prime }(x)<0$.

f est donc croissante sur [0 ; 6,85] et décroissante sur [6,85 ; + ∞[.

c) Résoudre une équation

$f(x)=0\iff \text{0,06}x(-x+\mathrm{13,7})=\text{0}\iff x=\text{0 ou }x=\mathrm{13,7}$.

L’équation $f(x)=0$ a deux solutions : $\text{0 et 13,7}$.

▶ 2. a) Déterminer la limite d’une fonction en + ∞

$\underset{x\to +\infty }{\lim }(-\text{0,15 }x+\mathrm{2,2})=-\infty$ et, par composée, $\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}{\text{e}}^{\mathrm{0,2}x}=+\infty$, donc par opérations :

$\boxed{\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}g(x)=-\infty }$

b) Calculer la dérivée d’une fonction

Pour tout x ∈[0 ; + ∞[ :

$g^{\prime }(x)=-{\text{0,15 e}}^{\mathrm{0,2}x}+\text{0,2(}-\text{0,15 }x+\mathrm{2,2}{\text{) e}}^{\mathrm{0,2}x}$

$g^{\prime }(x)={\text{e}}^{\mathrm{0,2}x}(-\mathrm{0,15}-\mathrm{0,03}x+\mathrm{0,44})$

$\boxed{g^{\prime }(x)=(-\mathrm{0,03}x+\mathrm{0,29}){\text{e}}^{\mathrm{0,2}x}}$

c) Étudier les variations d’une fonction

Pour tout x ∈[0 ; + ∞[, ${\text{e}}^{\mathrm{0,2}x}>0$, donc $g^{\prime }(x)$ a le signe de $(-\mathrm{0,03}x+\mathrm{0,29})$.

$g^{\prime }(x)=\text{0}\iff -\mathrm{0,03}x+\mathrm{0,29}=\text{0}\iff x=\frac{29}{3}$.

Si $0\le x<\frac{29}{3}$, alors - 0,03x + 0,29 > 0, donc $f^{\prime }(x)>0$.

Si $x>\frac{29}{3}$, alors - 0,03x + 0,29 < 0, donc $f^{\prime }(x)<0$.

D’où le tableau de variations :

Le maximum de g est $M=g\left(\frac{29}{3}\right)$.

Or $M=\left(-\mathrm{0,15}\times \frac{29}{3}+\mathrm{2,2}\right){\text{ e}}^{\frac{\mathrm{5,8}}{3}}-\mathrm{2,2}$ donc :

$\boxed{M\approx \text{2,98}}$

d) Montrer qu’une équation admet une unique solution sur un intervalle donné

Sur $\left]\text{0};\frac{29}{3}\right]$, $g(x)>0$, donc l’équation $g(x)=0$ n’a pas de solution sur cet intervalle.

Sur $\left[\frac{29}{3};+\infty \right[$, g est continue et strictement décroissante.

On a $g\left(\frac{29}{3}\right)=M\approx \mathrm{2,98}$ et $\underset{x\to +\text{∞}}{\text{lim}}g(x)=-\text{∞}$, or $0\in ]-\text{∞};M].$

Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $g(x)=0$ a une unique solution sur l’intervalle $\left[\frac{29}{3};+\infty \right[$.

Finalement l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution non nulle $\text{α}$, avec $\text{α}>\frac{29}{3}$.

À l’aide de la calculatrice, on obtient que $g(\mathrm{13,72})\approx \mathrm{0,008}>0$ et $g(\mathrm{13,73})\approx -\mathrm{0,011}<0,$donc 13,72 et 13,73 sont des valeurs approchées de $\text{α}$ à ${10}^{-2}$ près.

Partie B • Trajectoires d’une balle de golf

▶ 1. Première modélisation 

a) Donner la hauteur maximale atteinte par une balle

D’après la partie A, le maximum de f sur [0 ; + ∞[ est f(6,85).

Or $f(\mathrm{6,85})\approx \mathrm{2,815}$ et f(x) représente la hauteur de la balle en dizaines de yards si x est la distance horizontale, également en dizaines de yards, parcourue par la balle après la frappe.

Selon cette modélisation, la hauteur maximale atteinte par la balle au cours de sa trajectoire est donc environ 28,15 yards.

b) Vérifier un nombre dérivé

$f^{\prime }(0)=\mathrm{0,06}\times \mathrm{13,7}=\mathrm{0,822}$.

c) Déterminer une valeur approchée de l’angle de décollage d’une balle

L’angle de décollage d de la balle vérifie $\tan (d)=\mathrm{0,822}$.

D’après le tableau donné, $\boxed{d\approx \mathrm{39,4}}$ au dixième de degré près.

d) Exploiter une propriété graphique d’une courbe

La fonction f est une fonction polynôme de degré 2, la courbe est un arc de parabole qui a pour axe de symétrie la droite Δ d’équation x = 6,85.

Les deux points d’intersection de $\mathcal{C}$_f avec l’axe des abscisses sont symétriques l’un de l’autre par rapport à Δ, les tangentes à $\mathcal{C}$_f en ces points sont également symétriques l’une de l’autre par rapport à Δ et par symétrie, elles forment le même angle avec l’axe des abscisses.

Par symétrie par rapport à la droite $\text{Δ}$ d’équation $x=\mathrm{6,85}$, on peut donc dire que selon ce modèle, les angles de décollage et d’atterrissage de la balle sont égaux.

▶ 2. Seconde modélisation 

a) Donner la hauteur maximale atteinte par une balle

D’après la partie A, le maximum de g sur [0 ; + ∞[ est :

$g\left(\frac{29}{3}\right)=M\approx \mathrm{2,98}$.

Comme g(x) représente la hauteur de la balle en dizaines de yards si x est la distance horizontale, également en dizaines de yards, parcourue par la balle après la frappe, on en déduit qu’avec cette modélisation, la hauteur maximale atteinte par la balle est environ 29,8 yards.

b) Déterminer une valeur approchée de l’angle de décollage d’une balle

On a $g^{\prime }(0)=\mathrm{0,29}$, donc si d est l’angle de décollage de la balle, on a $\tan (d)=\mathrm{0,29}$.

D’après le tableau donné, $\boxed{d\approx \mathrm{16,2}}$ au dixième de degré près.

c) Justifier une valeur approchée de l’angle d’atterrissage d’une balle

g′(13,7) ≈ - 1,87, donc $\tan (a)\approx \mathrm{1,87}$.

Or, d’après la calculatrice, $\tan (62)\approx \mathrm{1,88}$ et $\tan (61)\approx \mathrm{1,8}$, donc, à l’unité près, $a\approx 62$.

Partie C • Interrogation des modèles

Les deux modèles donnent une distance horizontale au point de chute égale ou environ égale à 137 yards ; cela ne permet donc pas de privilégier l’un des modèles par rapport à l’autre.

Les hauteurs maximales atteintes par la balle sont voisines avec les deux modèles, même si le deuxième modèle donne un résultat plus grand, donc plus proche de la valeur réellement observée.

Les observations des performances des joueurs donnent en revanche des angles de décollage d et d’atterrissage a très différents (valeur de d assez faible, valeur de a plus élevée), ce qui permet d’affirmer que le deuxième modèle semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel.