Trajet domicile-travail

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Antilles, Guyane


Antilles, Guyane • Septembre 2017

Exercice 1 • 7 points • 1 h 15

Trajet domicile-travail

Les thèmes clés

Arbre pondéré • Loi normale • Loi exponentielle

 

Romane utilise deux modes de déplacement pour se déplacer entre son domicile et son lieu de travail : le vélo ou les transports en commun.

Partie A

Lorsque la journée est ensoleillée, Romane se déplace en vélo 9 fois sur 10. Lorsque la journée n’est pas ensoleillée, Romane se déplace en vélo 6 fois sur 10.

La probabilité qu’une journée soit ensoleillée, dans la ville où habite Romane, est notée p.

Pour une journée donnée, on note :

E l’événement « la journée est ensoleillée » ;

V l’événement « Romane se déplace en vélo ».

1. Construire l’arbre pondéré représentant la situation.

2. Montrer que la probabilité que Romane se déplace en vélo lors d’une journée donnée est P(V) = 0,3p + 0,6.

3. On constate que dans 67,5 % des cas, c’est en vélo que Romane se déplace entre son domicile et son lieu de travail.

a) Calculer la valeur de p.

b) Sachant que Romane s’est déplacée en vélo, montrer que la probabilité que la journée soit ensoleillée est 13.

Partie B

Lorsque Romane se déplace en vélo, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes, entre son domicile et son lieu de travail par une variable aléatoire TV suivant une loi normale d’espérance µV et d’écart type 1 minute.

Lorsqu’elle effectue ce trajet en transports en commun, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes, par une variable aléatoire TC suivant une loi normale d’espérance µC et d’écart type 3 minutes.

1. On nomme CV et CC les courbes représentatives des fonctions de densité des variables aléatoires TV et TC représentées dans la figure ci-dessous.

Déterminer, en justifiant votre réponse, µV et µC.

matT_1709_04_03C_01

2. Calculer la probabilité que pour Romane un trajet domicile-travail en vélo dure entre 10 et 15 minutes. Arrondir la réponse à 10−4.

3. Quel mode de déplacement Romane doit-elle privilégier si elle souhaite mettre moins de 15 minutes pour se rendre au travail ?

Partie C

En hiver, Romane roule en vélo de nuit. Son vélo est visible grâce à une ampoule dont la durée de fonctionnement en heures peut être modélisée par une variable aléatoire, notée X, suivant une loi exponentielle de paramètre λ, réel strictement positif.

La fonction de densité associée est donc la fonction f définie sur [0 ; +[ par f(t= λeλt.

1. Soit b un réel positif.

Démontrer, à l’aide d’une intégrale, que P(X b= 1 − eλb.

2. On sait que la probabilité que l’ampoule fonctionne encore après 50 heures d’utilisation est 0,9.

a) En déduire la valeur exacte de λ.

b) Calculer la probabilité que la durée de fonctionnement de l’ampoule soit supérieure à 250 heures sachant que l’ampoule a déjà fonctionné 200 heures.

Les clés du sujet

Partie A

3. a) Résolvez l’équation 0,3p+0,6=0,675 et concluez.

b) Remarquez que la probabilité demandée est une probabilité conditionnelle.

Partie B

1. Observez tout d’abord la symétrie des courbes pour connaître les valeurs des espérances. Ensuite, pensez à la dispersion des valeurs prises par les variables aléatoires et à la notion d’écart type pour conclure.

3. Comparez P(TV15) et P(TC15) sans calculatrice. Concluez.

Partie C

2. b) Pensez à la propriété de durée de vie sans vieillissement.