Annale corrigée Exercice Ancien programme

Trajet domicile-travail

Antilles, Guyane • Septembre 2017

Exercice 1 • 7 points • 1 h 15

Trajet domicile-travail

Les thèmes clés

Arbre pondéré • Loi normale • Loi exponentielle

 

Romane utilise deux modes de déplacement pour se déplacer entre son domicile et son lieu de travail : le vélo ou les transports en commun.

Partie A

Lorsque la journée est ensoleillée, Romane se déplace en vélo 9 fois sur 10. Lorsque la journée n'est pas ensoleillée, Romane se déplace en vélo 6 fois sur 10.

La probabilité qu'une journée soit ensoleillée, dans la ville où habite Romane, est notée p.

Pour une journée donnée, on note :

E l'événement « la journée est ensoleillée » 

V l'événement « Romane se déplace en vélo ».

1. Construire l'arbre pondéré représentant la situation.

2. Montrer que la probabilité que Romane se déplace en vélo lors d'une journée donnée est P(V) = 0,3p + 0,6.

3. On constate que dans 67,5 % des cas, c'est en vélo que Romane se déplace entre son domicile et son lieu de travail.

a) Calculer la valeur de p.

b) Sachant que Romane s'est déplacée en vélo, montrer que la probabilité que la journée soit ensoleillée est 13.

Partie B

Lorsque Romane se déplace en vélo, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes, entre son domicile et son lieu de travail par une variable aléatoire TV suivant une loi normale d'espérance µV et d'écart type 1 minute.

Lorsqu'elle effectue ce trajet en transports en commun, on modélise son temps de trajet, exprimé en minutes, par une variable aléatoire TC suivant une loi normale d'espérance µC et d'écart type 3 minutes.

1. On nomme CV et CC les courbes représentatives des fonctions de densité des variables aléatoires TV et TC représentées dans la figure ci-dessous.

Déterminer, en justifiant votre réponse, µV et µC.

matT_1709_04_03C_01

2. Calculer la probabilité que pour Romane un trajet domicile-travail en vélo dure entre 10 et 15 minutes. Arrondir la réponse à 10−4.

3. Quel mode de déplacement Romane doit-elle privilégier si elle souhaite mettre moins de 15 minutes pour se rendre au travail ?

Partie C

En hiver, Romane roule en vélo de nuit. Son vélo est visible grâce à une ampoule dont la durée de fonctionnement en heures peut être modélisée par une variable aléatoire, notée X, suivant une loi exponentielle de paramètre λ, réel strictement positif.

La fonction de densité associée est donc la fonction f définie sur [0  +[ par f(t= λeλt.

1. Soit b un réel positif.

Démontrer, à l'aide d'une intégrale, que P(X b= 1 − eλb.

2. On sait que la probabilité que l'ampoule fonctionne encore après 50 heures d'utilisation est 0,9.

a) En déduire la valeur exacte de λ.

b) Calculer la probabilité que la durée de fonctionnement de l'ampoule soit supérieure à 250 heures sachant que l'ampoule a déjà fonctionné 200 heures.

Les clés du sujet

Partie A

3. a) Résolvez l'équation 0,3p+0,6=0,675 et concluez.

b) Remarquez que la probabilité demandée est une probabilité conditionnelle.

Partie B

1. Observez tout d'abord la symétrie des courbes pour connaître les valeurs des espérances. Ensuite, pensez à la dispersion des valeurs prises par les variables aléatoires et à la notion d'écart type pour conclure.

3. Comparez P(TV15) et P(TC15) sans calculatrice. Concluez.

Partie C

2. b) Pensez à la propriété de durée de vie sans vieillissement.

Corrigé

partie A

1. Construire un arbre pondéré E37

« Lorsque la journée est ensoleillée, Romane se déplace en vélo 9 fois sur 10 » se traduit par : PE(V)=0,9.

C'est, en effet, une probabilité conditionnelle : la probabilité que Romane se déplace en vélo sachant que la journée est ensoleillée.

De plus, nous avons :

PE(V¯)=1PE(V)=10,9=0,1.

Similairement, « lorsque la journée n'est pas ensoleillée, Romane se déplace en vélo 6 fois sur 10 » se traduit par : PE¯(V)=0,6.

Par suite, PE¯(V¯)=1PE¯(V)=10,6=0,4.

« Dans la ville où habite Romane, la probabilité qu'une journée soit ensoleillée est p » se traduit par P(E)=p et par conséquent, P(E¯)=1p.

La situation peut donc se résumer à l'aide de l'arbre pondéré suivant :

matT_1709_04_03C_02

2. Déterminer une probabilité à l'aide d'un arbre pondéré E37

La probabilité que Romane se déplace en vélo lors d'une journée donnée se note P(V).

Par la formule des probabilités totales, nous avons :

P(V)=P(EV)+P(E¯V)        =P(E)×PE(V)+P(E¯)×PE¯(V)       =p×0,9+(1p)×0,6       =0,3p+0,6.

Ainsi, nous avons : P(V)=0,3p+0,6.

3. a) Résoudre une équation

« Dans 67,5 % des cas, c'est en vélo que Romane se déplace entre son domicile et son lieu de travail » se traduit par : P(V)=0,675. Or, d'après la question précédente, P(V)=0,3p+0,6. Ainsi, nous avons :

0,3p+0,6=0,6750,3p=0,075p=0,0750,3=0,25.

La valeur de p est donc 0,25.

b) Déterminer une probabilité conditionnelle E35 • E37

La probabilité que la journée soit ensoleillée sachant que Romane s'est déplacée en vélo est la probabilité conditionnelle PV(E). Or, par définition, nous avons :

PV(E)=P(EV)P(V)=p×0,90,3p+0,6 (question A2.) =0,2250,675 (question A3.a))=13.

Sachant que Romane s'est déplacée en vélo, la probabilité que la journée soit ensoleillée est donc 13.

partie b

1. Identifier une densité E40e

Les courbes représentatives des fonctions de densité représentées dans la figure sont toutes deux symétriques : l'une par rapport à la droite d'équation x=14 et l'autre par rapport à la droite d'équation x=16. Les variables aléatoires TV et TC ont ainsi pour espérance soit 14 (min), soit 16 (min).

La variable aléatoire dont la courbe représentative est en rouge, celle qui est donc symétrique par rapport à la droite d'équation x=16, prend des valeurs davantage dispersées autour de son espérance μ=16 que l'autre variable aléatoire autour de son espérance 14. Cela signifie que son écart type σ est plus grand.

D'après l'énoncé, la variable aléatoire qui a le plus grand écart type est TC (3 > 1).

Donc son espérance μC est 16 et, par suite, μV est 14.

2. Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale E40a • E40e • C3

D'après la question précédente, la variable aléatoire TV associée au déplacement en vélo suit la loi normale d'espérance μV=14 et σV=1.

La probabilité demandée se traduit à l'aide de la variable aléatoire TV de la manière suivante : P(10TV15).

À l'aide de la calculatrice, nous avons :

TI 83 +

Casio Graph 75

matT_1709_04_03C_03

matT_1709_04_03C_04

La probabilité que, pour Romane, un trajet domicile-travail en vélo dure entre 10 et 15 minutes est environ 0,8413.

3. Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale E40a • E40e • C3

La probabilité que Romane mette moins de 15 minutes pour effectuer le trajet domicile-travail en vélo est : P(TV15) (coloré en bleu sur le graphique).

Or, TV suit la loi normale d'espérance μV=14 et d'écart type σV=1.

Par suite,

P(TV15)=     P(TV14)+P(14TV15)=symétrieμV=140,5+P(14TV15)>0,5.

matT_1709_04_03C_05

La probabilité que Romane mette moins de 15 minutes pour effectuer le trajet domicile-travail en transport en commun est : P(TC15) (coloré en rouge sur le graphique).

Or, TC suit la loi normale d'espérance μC=16 et d'écart type σC=3.

Par suite,

P(TC15)=symétrieμC=160,5P(15TC16)0,5.

matT_1709_04_03C_06

Nous en déduisons que P(TV15)>P(TC15). Romane doit ainsi privilégier le vélo si elle souhaite mettre moins de 15 minutes pour se rendre au travail.

partie c

1. Établir une égalité E11d • E13 • E40c

Soit b un réel positif. Tout d'abord, nous avons :

P(Xb)=P(0Xb)=loi continue     0bf(t)dt=définitionde la densité 0bλeλtdt.

rappel

Une primitive de la densité associée à une loi exponentielle de paramètre λ>0 est :

teλt.

Or, une primitive de la fonction tλeλt sur donc sur [0  b] étant teλt nous en déduisons que :

P(Xb)=0bλeλtdt=[eλt]0b=eλ×b(eλ×0)=1eλb.

Pour tout réel positif b, P(Xb)=1eλb.

2. a) Déterminer le paramètre d'une loi exponentielle E9a • E34

On sait que la probabilité que l'ampoule fonctionne encore après 50 heures d'utilisation est 0,9.

Cette probabilité est la probabilité de l'événement {X>50} et ainsi : P(X>50)=0,9.

Or, l'événement contraire de l'événement {X>50} étant {X50}, nous avons :

P(X50)=1P(X>50)=10,9=0,1.

Par le résultat établi à la première question de cette partie en prenant b=500, cela se traduit alors de la manière suivante : 1eλ×50=0,1.

rappel

Pour tout réel x, pour tout réel y>0, ex=yx=ln(y).

Par équivalence, nous avons :

1eλ×50=0,1 e50λ=0,950λ=ln(0,9)λ=ln(0,9)50.

La valeur exacte du paramètre λ est donc ln(0,9)50.

b) Calculer une probabilité dans le cadre d'une loi exponentielle E42

La probabilité à déterminer est une probabilité conditionnelle : probabilité que la durée de fonctionnement de l'ampoule soit supérieure à 250 heures sachant que cette ampoule a déjà fonctionné 200 heures. Elle se note : P(X200)(X250).

Comme la variable aléatoire X suit une loi exponentielle et comme une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement, nous avons :

rappel

Si T suit la propriété de durée de vie sans vieillissement, alors pour tous réels positifs t et h :P(Tt)(Tt+h)=P(Th).

P(X200)(X250)=P(X200)(X200+50)=P(X50)=loi continueP(X>50)=énoncé0,9.

La probabilité que la durée de fonctionnement de l'ampoule soit supérieure à 250 heures sachant que cette ampoule a déjà fonctionné 200 heures est ainsi 0,9.

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