Trajet minimal et feux tricolores

Un chauffeur-livreur réside en Italie dans la ville d&rsquo Aoste.

Quatre fois par mois, son employeur l&rsquo envoie livrer du matériel informatique dans la ville de Florence.

Il est établi que le trajet en camion coûte, en carburant, 0,51 euro au kilomètre. Le chauffeur dispose d&rsquo un budget mensuel de 2 200 euros pour son carburant. Ce qu&rsquo il réussit à économiser lui permet de toucher une prime P équivalente en fin de mois.

Il consulte donc la carte routière ci-dessous pour optimiser ses trajets.

Le graphe ci-dessous indique les distances entre différentes villes &shy d&rsquo Italie : Aoste, Milan, Parme, Turin, Gènes, La Spézia, Bologne et Florence. Chaque ville est désignée par son initiale.

&gt  1. Déterminer le trajet le plus court entre Aoste et Florence. (On indiquera les villes parcourues et l&rsquo ordre de parcours). (1,25 point)

&gt  2. Déterminer le budget carburant nécessaire aux quatre voyages aller-retour du mois (le résultat sera arrondi à l&rsquo euro près).

En déduire le montant de la prime P qui lui sera versée en fin de mois, à l&rsquo euro près. (0,75 point)

Durant son trajet, le chauffeur est obligé de traverser Parme et ses très nombreux feux tricolores. Lorsque le feu est orange, le chauffeur se comporte comme lorsqu&rsquo il est rouge, il s&rsquo arrête.

L&rsquo expérience lui a permis d&rsquo établir que, s&rsquo il se présente à un feu, il se produit les événements suivants :

• Arrivé au feu, celui-ci est au vert (V) : la probabilité que le suivant soit vert est de 0,85.
• Arrivé au feu, celui-ci est orange ou rouge (R) : la probabilité que le suivant soit vert est de 0,30.

&gt  1. Représenter la situation par un graphe probabiliste. (0,75 point)

&gt  2. Indiquer la matrice de transition du graphe, en considérant les sommets dans l&rsquo ordre (V, R) en ligne comme en colonne. (0,5 point)

&gt  3. Le premier feu rencontré est vert. La matrice donnant l&rsquo état initial est donc (1&ensp 0).

a) Déterminer les matrices et . (Le détail des calculs n&rsquo est pas demandé.) (1 point)

b) Conclure quant à la probabilité  de l&rsquo événement &laquo  le chauffeur doit s&rsquo arrêter au troisième feu &raquo . (0,75 point)