Matrices et graphes &bull Graphes probabilistes
Corrigé
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Ens. de spécialité
matT_1306_07_06C
France métropolitaine &bull Juin 2013
Exercice 4 &bull 5 points
Un chauffeur-livreur réside en Italie dans la ville d&rsquo Aoste.
Quatre fois par mois, son employeur l&rsquo envoie livrer du matériel informatique dans la ville de Florence.
Il est établi que le trajet en camion coûte, en carburant, 0,51 euro au kilomètre. Le chauffeur dispose d&rsquo un budget mensuel de 2 200 euros pour son carburant. Ce qu&rsquo il réussit à économiser lui permet de toucher une prime P équivalente en fin de mois.
Il consulte donc la carte routière ci-dessous pour optimiser ses trajets.
Le graphe ci-dessous indique les distances entre différentes villes ­ d&rsquo Italie : Aoste, Milan, Parme, Turin, Gènes, La Spézia, Bologne et Florence. Chaque ville est désignée par son initiale.

Partie A
Étude du trajet
En déduire le montant de la prime P qui lui sera versée en fin de mois, à l&rsquo euro près. (0,75 point)
Partie B
Traversée de Parme
Durant son trajet, le chauffeur est obligé de traverser Parme et ses très nombreux feux tricolores. Lorsque le feu est orange, le chauffeur se comporte comme lorsqu&rsquo il est rouge, il s&rsquo arrête.
L&rsquo expérience lui a permis d&rsquo établir que, s&rsquo il se présente à un feu, il se produit les événements suivants :
- Arrivé au feu, celui-ci est au vert (V) : la probabilité que le suivant soit vert est de 0,85.
- Arrivé au feu, celui-ci est orange ou rouge (R) : la probabilité que le suivant soit vert est de 0,30.
du graphe, en considérant les sommets dans l&rsquo ordre (V, R) en ligne comme en colonne. (0,5 point)
donnant l&rsquo état initial est donc (1&ensp 0).
et
. (Le détail des calculs n&rsquo est pas demandé.) (1 point)
de l&rsquo événement « le chauffeur doit s&rsquo arrêter au troisième feu » . (0,75 point)
Les thèmes en jeu
Graphe pondéré &bull Graphe probabiliste &bull Matrice associée à un graphe.
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
de l&rsquo événement « Le chauffeur doit s&rsquo arrêter au troisième feu » est la probabilité que le troisième feu soit orange ou rouge c&rsquo est l&rsquo un des coefficients de la matrice
.
Les deux parties sont indépendantes.