Transformons l’essai !

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Juin 2016

Exercice 4 • 5 points

Transformons l’essai !

matT_1606_07_00C_02

Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-contre) situé à l’extérieur du segment [AB].

La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T que le joueur a le droit de choisir n’importe où sur le segment [EM] perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la figure.

Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l’angle ATB^ le plus grand possible.

Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une position du point T sur le segment [EM] pour laquelle l’angle ATB^ est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.

Dans toute la suite, on note x la longueur ET, qu’on cherche à déterminer.

Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50 m , EA = 25 m et AB = 5,6 m .

On note α la mesure en radians de l’angle ETA^, β la mesure en radians de l’angle ETB^ et γ la mesure en radians de l’angle ATB^.

▶ 1. En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer tan α et tan β en fonction de x.

La fonction tangente est définie sur l’intervalle ]0;π2[ par tanx=sinxcosx.

▶ 2. Montrer que la fonction tangente est strictement croissante sur l’intervalle ]0;π2[.

▶ 3. L’angle ATB^ admet une mesure γ appartenant à l’intervalle ]0;π2[, résultat admis ici, que l’on peut observer sur la figure.

On admet que, pour tous réels a et b de l’intervalle ]0;π2[, a > b,tan(ab)=tanatanb1+tana×tanb.

Montrer que tanγ=5,6xx2+765.

▶ 4. L’angle ATB^ est maximum lorsque sa mesure γ est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l’intervalle ]0 ; 50] de la fonction f définie par : f(x)=x+765x.

Montrer qu’il existe une unique valeur de x pour laquelle l’angle ATB^ est maximum et déterminer cette valeur de x au mètre près ainsi qu’une mesure de l’angle ATB^ à 0,01 radian près.

Remarque. Sur un terrain, un joueur de rugby ne se soucie pas d’une telle précision.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 70 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie plane • Dérivation et variations • Fonctions trigonométriques.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Fonctions sinus et cosinus  E10a • E10b  2.

Dérivation  E6e • E6f  2. et 4.

Variations d’une fonction  E6c  2. et 4.

Nos coups de pouce

 1. Identifiez dans chaque triangle rectangle considéré le côté opposé et le côté adjacent à l’angle T^. Concluez à l’aide des longueurs fournies dans l’énoncé.

 3. Justifiez que γ=βα. Remplacez a par β et b par α dans l’égalité admise dans l’énoncé de cette question, puis utilisez les résultats établis à la première question. Simplifiez enfin pour conclure.

 4. Étudiez les variations de la fonction f sur l’intervalle ]0;50]. Utilisez votre calculatrice pour conclure.

Corrigé

Corrigé

 1. Exprimer la tangente d’un angle

Notez bien

Dans un triangle ABC rectangle en B, tanA^=BCAB=côté opposécôté adjacent.

D’après l’énoncé, le joueur peut taper le ballon depuis n’importe quel point T sur le segment [EM] sauf au point E. Par suite, la distance ET ne peut pas être nulle. Autrement dit, x0.

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En utilisant les longueurs données dans l’énoncé et exprimées en mètres (EA =25 et ET =x), nous avons, dans le triangle ETA rectangle en E : tanα=EAET=25x.

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En utilisant les longueurs données dans l’énoncé et exprimées en mètres (EB = EA + AB =25+5,6=30,6 et ET =x), nous avons, dans le triangle ETB rectangle en E : 
tanβ=EBET=30,6x.

Ainsi, tanα=25x et tanβ=30,6x.

 2. Étudier le sens de variations d’une fonction

Notons I l’intervalle ]0 ; π2[.

Comme la fonction cosinus ne s’annule pas sur I et que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur et donc sur l’intervalle I, la fonction tangente définie dans l’énoncé est dérivable sur I.

Notez bien

Pour toutes fonctions u et v dérivables sur I,v ne s’annulant pas sur I, le quotient uv est dérivable sur I et (uv)=uvuvv2.

En notant u:xsin(x) et v:xcos(x),u et v leurs dérivées respectives, nous avons :

tan(x)=u(x)×v(x)u(x)×v(x)(v(x))2=cos(x)×cos(x)sin(x)×(sin(x))cos2(x)=cos2(x)+sin2(x)cos2(x)=1cos2(x).

Notez bien

Pour tout réel a,cos2(a)+sin2(a)=1.

Comme pour tout réel x de I,cos2(x)>0, il en est de même pour tan(x). La dérivée de la fonction tangente étant strictement positive sur l’intervalle I,la fonction tangente est strictement croissante sur l’intervalle I.

 3. Établir une égalité

Les points E, A et B étant alignés dans cet ordre, nous avons : ETA^+ATB^=ETB^ équivalent à ATB^=ETB^ETA^. En rappelant que α, β et γ sont respectivement les mesures en radians des angles ETA^, ETB^ et ATB^, nous en déduisons que γ=βα. En prenant a=β et b=α dans l’égalité admise dans l’énoncé de cette question, nous avons :

tanγ=tan(βα)=tanβtanα1+tanβ×tanα.

En utilisant les expressions de tanα et tanβ établies à la première question, nous en déduisons que :

tanγ=30,6x25x1+30,6x×25x=5,6xx2+765x2=5,6x×x2x2+765=5,6xx2+765.

Ainsi, tanγ=5,6xx2+765.

 4. Déterminer des valeurs sous contrainte

Notons Topt une éventuelle position du point T sur le segment [EM] à l’exception du point E pour laquelle l’angle ATB^ serait maximum, autrement dit pour laquelle sa mesure γ serait maximale. Désignons par γopt la mesure associée à cette position optimale du point T.

Par suite, quelle que soit la mesure γ de l’angle ATB^, T appartenant à [EM] à l’exception du point E, nous avons naturellement γoptγ.

Comme toutes ces mesures appartiennent à l’intervalle ]0 ; π2[ et que la fonction tangente est strictement croissante sur cet intervalle (question 2.), il s’ensuit que :

tanγopttanγ.

Notons xopt la longueur ETopt. En se remémorant que ET=x et en utilisant le résultat démontré à la question 3., nous avons : tanγopttanγ5,6xoptxopt2+7655,6xx2+765 simplificationpar  5,6>0 xoptxopt2+765xx2+765.

Comme x est dans l’intervalle ]0 ; 50] (pour rappel, T décrit le segment [EM] à l’exception du point E) et que la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +[, il en découle que :

tanγopttanγxopt2+765xoptx2+765xxopt2xopt+765xoptx2x+765xxopt+765xoptx+765xf(xopt)f(x).

Rechercher une mesure maximale γopt de l’angle ATB^ est ainsi équivalent à rechercher un minimum sur l’intervalle ]0 ; 50] de la fonction f définie par f(x)=x+765x.

Étudions les variations de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; 50].

La fonction affine xx est dérivable sur et la fonction inverse x1x est dérivable sur ]0 ; +[. La fonction f est alors dérivable sur ]0 ; 50] comme somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. Sa dérivée est donnée par :

Notez bien

Pour tous réels a et b,a2b2=(ab)(a+b).

f(x)=1+765×(1x2)=1765x2=x2765x2=(x765)(x+765)x2.

Comme x2>0 et que sur ]0 ; 50],x+765>0, le signe de f(x) dépend uniquement du signe de x765.

Mais, x765=0x=765 et x765>0x>765.

Il en découle le tableau de signes suivant :

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La dérivée f étant strictement négative sur ]0 ; 765[ et strictement positive sur ]765 ; 50], la fonction f est strictement décroissante sur ]0 ; 765] et strictement croissante sur [765 ; 50].

La fonction f admet alors un minimum sur l’intervalle ]0 ; 50] atteint en x=76528.

Il existe ainsi une unique valeur de x (xopt) dont une valeur approchée au mètre près est 28 pour laquelle l’angle ATB^ est maximum.

Gagnez des points !

N’oubliez pas de sélectionner le mode Radian dans votre calculatrice.

Pour cette valeur de x, à l’aide de la question précédente, nous avons :tanγopt=5,6×765(765)2+765=5,67651530=5,685510 et à l’aide d’une calculatrice, γopt0,10.

Une mesure de l’angle ATB^ à 0,01 radian près est 0,10.