▶ 1. Exprimer la tangente d'un angle

D'après l'énoncé, le joueur peut taper le ballon depuis n'importe quel point T sur le segment $\left[\text{EM}\right]$ sauf au point $\text{E.}$ Par suite, la distance $\text{ET}$ ne peut pas être nulle. Autrement dit, $x\ne 0.$

En utilisant les longueurs données dans l'énoncé et exprimées en mètres (EA $=25$ et ET $=x$), nous avons, dans le triangle ETA rectangle en E : $\tan \text{α}=\frac{\text{EA}}{\text{ET}}=\frac{25}{x}.$

En utilisant les longueurs données dans l'énoncé et exprimées en mètres (EB $=$ EA + AB $=25+\mathrm{5,6}=\mathrm{30,6}$ et ET $=x$$),$ nous avons, dans le triangle ETB rectangle en E :
$\tan \text{β}=\frac{\text{EB}}{\text{ET}}=\frac{\mathrm{30,6}}{x}.$

Ainsi, $\tan \text{α}=\frac{25}{x}$ et $\tan \text{β}=\frac{\mathrm{30,6}}{x}.$

▶ 2. Étudier le sens de variations d'une fonction

Notons $I$ l'intervalle $\left]0;\frac{\text{π}}{2}\right[.$

Comme la fonction cosinus ne s'annule pas sur $I$ et que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur ℝ et donc sur l'intervalle $I,$ la fonction tangente définie dans l'énoncé est dérivable sur $I.$

En notant $u:x\mapsto \sin (x)$ et $v:x\mapsto \cos (x),$ $u^{\prime }$ et $v^{\prime }$ leurs dérivées respectives, nous avons :

$\begin{array}{c}\mathrm{ta}{n}^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)\times v(x)-u(x)\times v^{\prime }(x)}{{\left(v(x)\right)}^2}\\ =\frac{\cos (x)\times \cos (x)-\sin (x)\times (-\sin (x))}{{\cos }^2(x)}\\ =\frac{{\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)}{{\cos }^2(x)}\\ =\frac{1}{{\cos }^2(x)}.\end{array}$

Comme pour tout réel $x$ de $I,$ ${\cos }^2(x)>0,$ il en est de même pour $\mathrm{ta}{n}^{\prime }(x).$ La dérivée de la fonction tangente étant strictement positive sur l'intervalle $I,$ la fonction tangente est strictement croissante sur l'intervalle I.

▶ 3. Établir une égalité

Les points E, A et B étant alignés dans cet ordre, nous avons : $\widehat{\text{ETA}}+\widehat{\text{ATB}}=\widehat{\text{ETB}}$ équivalent à $\widehat{\text{ATB}}=\widehat{\text{ETB}}-\widehat{\text{ETA}}.$ En rappelant que $\text{α},\text{β}\text{ et }\text{γ}$ sont respectivement les mesures en radians des angles $\widehat{\text{ETA}},\widehat{\text{ETB}}\text{ et }\widehat{\text{ATB}},$ nous en déduisons que $\text{γ}=\text{β}-\text{α}.$ En prenant $a=\text{β}$ et $b=\text{α}$ dans l'égalité admise dans l'énoncé de cette question, nous avons :

$\tan \text{γ}=\tan \left(\text{β}-\text{α}\right)=\frac{\tan \text{β}-\tan \text{α}}{1+\tan \text{β}\times \tan \text{α}}.$

En utilisant les expressions de $\tan \text{α}$ et $\tan \text{β}$ établies à la première question, nous en déduisons que :

$\tan \text{γ}=\frac{\frac{\mathrm{30,6}}{x}-\frac{25}{x}}{1+\frac{\mathrm{30,6}}{x}\times \frac{25}{x}}=\frac{\frac{\mathrm{5,6}}{x}}{\frac{x^2+765}{x^2}}=\frac{\mathrm{5,6}}{x}\times \frac{x^2}{x^2+765}=\frac{\mathrm{5,6}x}{x^2+765}.$

Ainsi, $\tan \text{γ}=\frac{\mathrm{5,6}x}{x^2+765}.$

▶ 4. Déterminer des valeurs sous contrainte

Notons ${\text{T}}_{\text{opt}}$ une éventuelle position du point T sur le segment $\left[\text{EM}\right]$ à l'exception du point E pour laquelle l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ serait maximum, autrement dit pour laquelle sa mesure $\text{γ}$ serait maximale. Désignons par ${\text{γ}}_{\text{opt}}$ la mesure associée à cette position optimale du point T.

Par suite, quelle que soit la mesure $\text{γ}$ de l'angle $\widehat{\text{ATB}},$ T appartenant à $\left[\text{EM}\right]$ à l'exception du point E, nous avons naturellement ${\text{γ}}_{\text{opt}}\ge \text{γ}.$

Comme toutes ces mesures appartiennent à l'intervalle $\left]0;\frac{\text{π}}{2}\right[$ et que la fonction tangente est strictement croissante sur cet intervalle (question 2.), il s'ensuit que :

$\tan {\text{γ}}_{\text{opt}}\ge \tan \text{γ}.$

Notons $x_{\text{opt}}$ la longueur ${\text{ET}}_{\text{opt}}.$ En se remémorant que ET$=x$ et en utilisant le résultat démontré à la question 3., nous avons : $\tan {\text{γ}}_{\text{opt}}\ge \tan \text{γ}\iff \frac{\mathrm{5,6}{x}_{\text{opt}}}{x_{\text{opt}}{}^2+765}\ge \frac{\mathrm{5,6}x}{x^2+765}\underset{\begin{array}{l}\text{simplification}\\ \text{par 5,6>0}\end{array}}{\iff }\frac{x_{\text{opt}}}{x_{\text{opt}}{}^2+765}\ge \frac{x}{x^2+765}.$

Comme $x$ est dans l'intervalle $\left]0;50\right]$ (pour rappel, T décrit le segment [EM] à l'exception du point E) et que la fonction inverse est décroissante sur $\left]0;+\infty \right[,$ il en découle que :

$\begin{array}{l}\tan {\text{γ}}_{\text{opt}}\ge \tan \text{γ}\iff \frac{x_{\text{opt}}{}^2+765}{x_{\text{opt}}}\le \frac{x^2+765}{x}\\ \iff \frac{x_{\text{opt}}{}^2}{x_{\text{opt}}}+\frac{765}{x_{\text{opt}}}\le \frac{x^2}{x}+\frac{765}{x}\\ \iff x_{\text{opt}}+\frac{765}{x_{\text{opt}}}\le x+\frac{765}{x}\\ \iff f(x_{\text{opt}})\le f(x).\end{array}$

Rechercher une mesure maximale ${\text{γ}}_{\text{opt}}$ de l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ est ainsi équivalent à rechercher un minimum sur l'intervalle $\left]0;50\right]$ de la fonction f définie par $f(x)=x+\frac{765}{x}.$

Étudions les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0;50\right].$

La fonction affine $x\mapsto x$ est dérivable sur ℝ et la fonction inverse $x\mapsto \frac{1}{x}$ est dérivable sur $\left]0;+\infty \right[.$ La fonction $f$ est alors dérivable sur $\left]0;50\right]$ comme somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. Sa dérivée est donnée par :

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)=1+765\times \left(-\frac{1}{x^2}\right)=1-\frac{765}{x^2}\\ =\frac{x^2-765}{x^2}\\ =\frac{\left(x-\sqrt{765}\right)\left(x+\sqrt{765}\right)}{x^2}.\end{array}$

Comme $x^2>0$ et que sur $\left]0;50\right],$ $x+\sqrt{765}>0,$ le signe de $f^{\prime }(x)$ dépend uniquement du signe de $x-\sqrt{765}.$

Mais, $x-\sqrt{765}=0\iff x=\sqrt{765}$ et $x-\sqrt{765}>0\iff x>\sqrt{765}.$

Il en découle le tableau de signes suivant :

La dérivée $f^{\prime }$ étant strictement négative sur $\left]0;\sqrt{765}\right[$ et strictement positive sur $\left]\sqrt{765};50\right],$ la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left]0;\sqrt{765}\right]$ et strictement croissante sur $\left[\sqrt{765};50\right].$

La fonction $f$ admet alors un minimum sur l'intervalle $\left]0;50\right]$ atteint en $x=\sqrt{765}\approx 28.$

Il existe ainsi une unique valeur de $x(x_{\text{opt}})$ dont une valeur approchée au mètre près est 28 pour laquelle l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ est maximum.

Pour cette valeur de $x,$ à l'aide de la question précédente, nous avons :$\tan {\text{γ}}_{\text{opt}}=\frac{\mathrm{5,6}\times \sqrt{765}}{{\left(\sqrt{765}\right)}^2+765}=\frac{\mathrm{5,6}\sqrt{765}}{1530}=\frac{\mathrm{5,6}\sqrt{85}}{510}$ et à l'aide d'une calculatrice, ${\text{γ}}_{\text{opt}}\approx \mathrm{0,10}.$

Une mesure de l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ à 0,01 radian près est 0,10.