Transformons l’essai !

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : France métropolitaine

France métropolitaine • Juin 2016

Exercice 4 • 5 points

Transformons l’essai !

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Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-contre) situé à l’extérieur du segment [AB].

La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T que le joueur a le droit de choisir n’importe où sur le segment [EM] perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la figure.

Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l’angle ATB^ le plus grand possible.

Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une position du point T sur le segment [EM] pour laquelle l’angle ATB^ est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.

Dans toute la suite, on note x la longueur ET, qu’on cherche à déterminer.

Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50 m , EA = 25 m et AB = 5,6 m .

On note α la mesure en radians de l’angle ETA^, β la mesure en radians de l’angle ETB^ et γ la mesure en radians de l’angle ATB^.

▶ 1. En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer tan α et tan β en fonction de x.

La fonction tangente est définie sur l’intervalle ]0π2[ par tanx=sinxcosx.

▶ 2. Montrer que la fonction tangente est strictement croissante sur l’intervalle ]0π2[.

▶ 3. L’angle ATB^ admet une mesure γ appartenant à l’intervalle ]0π2[, résultat admis ici, que l’on peut observer sur la figure.

On admet que, pour tous réels a et b de l’intervalle ]0π2[, a > b,tan(ab)=tanatanb1+tana×tanb.

Montrer que tanγ=5,6xx2+765.

▶ 4. L’angle ATB^ est maximum lorsque sa mesure γ est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l’intervalle ]0 50] de la fonction f définie par : f(x)=x+765x.

Montrer qu’il existe une unique valeur de x pour laquelle l’angle ATB^ est maximum et déterminer cette valeur de x au mètre près ainsi qu’une mesure de l’angle ATB^ à 0,01 radian près.

Remarque. Sur un terrain, un joueur de rugby ne se soucie pas d’une telle précision.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 70 minutes.

Les thèmes clés

Géométrie plane • Dérivation et variations • Fonctions trigonométriques.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Fonctions sinus et cosinus  E10a • E10b  2.

Dérivation  E6e • E6f  2. et 4.

Variations d’une fonction  E6c  2. et 4.

Nos coups de pouce

 1. Identifiez dans chaque triangle rectangle considéré le côté opposé et le côté adjacent à l’angle T^. Concluez à l’aide des longueurs fournies dans l’énoncé.

 3. Justifiez que γ=βα. Remplacez a par β et b par α dans l’égalité admise dans l’énoncé de cette question, puis utilisez les résultats établis à la première question. Simplifiez enfin pour conclure.

 4. Étudiez les variations de la fonction f sur l’intervalle ]050]. Utilisez votre calculatrice pour conclure.

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