Annale corrigée Exercice

Transport et optimisation de l'électricité

Le futur des énergies

Transport et optimisation de l'électricité

1 heure

10 points

Intérêt du sujet • Il suffit d'appuyer sur un interrupteur et le courant électrique circule ! À tout moment, dans nos foyers, l'énergie électrique est disponible. Elle nous parvient parfois de loin. Mais les étapes du transport de l'électricité sont semées d'embûches.

 

Les sites de production d'électricité sont parfois très éloignés des utilisateurs et des foyers. Le transport de l'électricité et sa distribution ne peuvent se dérouler sans pertes d'énergie électrique, qu'il faut alors minimiser.

Partie 1 • Le réseau électrique français

Document 1Un réseau de plus d'un million de kilomètres

Pour transporter l'électricité, il faut bien évidemment des câbles conducteurs. Ceux-ci sont composés d'un conducteur en métal, d'une couche d'isolation et d'une gaine de protection. On distingue :

les lignes à très haute tension, utilisées sur le réseau de grand transport et soutenues par des pylônes électriques. La longueur cumulée de ce réseau en France représente environ 100 000 kilomètres ;

les lignes à basse et moyenne tension, utilisées pour la distribution. La longueur cumulée de ce réseau est d'environ 1,3 million de kilomètres.

D'après : www.particuliers.engie.fr

Document 2Quel câble pour le transport ?

Les câbles électriques qui transportent puis distribuent l'électricité sont en général composés de cuivre ou, pour les nouvelles générations, d'aluminium. Ces deux métaux présentent en effet le triple avantage d'être d'excellents conducteurs, d'être légers et malléables.

On peut également utiliser, pour les lignes aériennes, un alliage d'aluminium, de magnésium et de silicium qui offre une meilleure résistance aux conditions climatiques.

Le classement des 5 métaux les plus conducteurs, par ordre de conductivité décroissante est : argent ; cuivre ; or ; aluminium ; zinc.

Source : www.particuliers.engie.fr

À partir de vos connaissances et des informations apportées par les documents 1 et 2, répondre aux questions suivantes.

▶ 1. Pourquoi n'utilise-t-on pas le métal le plus conducteur pour fabriquer les fils conducteurs ?

▶ 2. Un fil électrique se comporte comme un dipôle ohmique : il résiste. La résistance R (en Ω) d'un fil électrique dépend de sa longueur l (en m), de sa section S (en m2) et de la résistivité ρ (en Ω · m) du métal qui le constitue, c'est-à-dire la capacité de ce dernier à résister au passage du courant.

On peut écrire : R=ρ×lS

a) Comparer, en justifiant, les résistances de deux fils de cuivre de même longueur mais de deux sections S1 et S2 telles que S2S1. Conclure.

b) La centrale nucléaire de Nogent est située dans la commune de Nogent-sur-Seine. Elle se situe à 50 km à l'ouest de Troyes.

Calculer la résistance d'un fil en cuivre d'une section de 20 mm2 qui transporterait le courant de la centrale jusqu'à la ville de Troyes.

On donne la résistivité du cuivre : ρ(Cu) = 1,7 × 10–8 Ω · m

c) Estimer la résistance totale des lignes de haute tension du réseau en France si elles étaient semblables au fil précédent.

Partie 2 • Minimiser les pertes d'énergie

Document 3De la centrale aux usagers

Le transport de l'énergie électrique sur de longues distances, comme l'exige le réseau français, engendre des pertes par effet Joule. En effet, les fils conducteurs se comportent comme des résistances obéissant à la loi d'Ohm (U = R × I, avec U en volts, I en ampères et R en ohms). Une partie de la puissance utile Pu se dissipe, on l'appelle la puissance dissipée par effet Joule, notée PJ. Pour des raisons économiques et écologiques, il faut minimiser ces pertes pour optimiser l'acheminement de l'énergie électrique.

Le schéma ci-dessous représente un réseau de distribution entre deux centrales (sources) et deux zones d'habitations (cibles) que sont les immeubles en périphérie et les lotissements d'une ville. Le distributeur ajuste la production en fonction des besoins. Sur la partie entre le poste de distribution et les utilisateurs, les pertes par effet Joule sont évaluées à 5 % de la puissance utile des cibles.

sciT_2100_00_03C_01

À partir de vos connaissances et des informations apportées par le document 3, répondre aux questions suivantes.

▶ 3. a) Qu'est-ce que l'effet Joule et quelle en est la conséquence directe au sein du réseau électrique ? Quel est le rôle des transformateurs placés à la sortie des deux centrales sur le schéma du document 3 ?

b) Donner l'expression de la puissance électrique pour un conducteur de résistance R, soumis à une tension U et traversé par un courant d'intensité I. Démontrer à l'aide de la loi d'Ohm que la puissance dissipée par effet Joule peut s'écrire en fonction de R et I.

▶ 4. Représenter le réseau du document 3 sous la forme d'un graphe orienté.

▶ 5. Calculer les puissances dissipées par effet Joule dans les câbles qui acheminent l'électricité jusqu'aux cibles et en déduire les intensités I3 et I4.

▶ 6. À partir des contraintes sur le nœud (distributeur), justifier que I2 = 350 – I1.

▶ 7. Vérifier que la puissance dissipée par effet Joule PJ sur l'ensemble du réseau s'exprime en fonction de I1 de la façon suivante :

PJ(I1) = 20 I12 + 10 × (350 – I1)2 + 300 000

8. a) Le graphique ci-dessous donne la puissance dissipée par effet Joule sur l'ensemble du réseau. Estimer la valeur de I1 pour laquelle celle de PJ est minimale.

sciT_2100_00_03C_02

b) Avec un logiciel de calcul formel, on obtient différentes formes du polynôme PJ :

sciT_2100_00_03C_03

Utiliser l'une des deux expressions proposées par le logiciel de calcul formel pour déterminer la valeur exacte pour laquelle la puissance PJ est minimale. Justifier la réponse.

 

Les clés du sujet

Comprendre les documents

Tableau de 3 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : Document 1 Un réseau de plus d'un million de kilomètres; Le document présente le réseau électrique français de haute tension dédié au transport de l'électricité et celui de moyenne et basse tension utilisé pour sa distribution.Notez les longueurs de ces réseaux.; Ligne 2 : Document 2 Quel câble pour le transport ?; Ce texte donne la nature et les propriétés des métaux constituant les câbles électriques.Notez le classement des métaux les plus conducteurs.; Ligne 3 : Document 3 De la centrale aux usagers; Ce document montre un réseau de distribution de l'électricité allant de la source jusqu'à la cible.Soulignez, dans le texte du document, la loi d'Ohm et l'information sur l'effet Joule.;

Répondre aux questions

Coups de pouce

 2. a) Il s'agit d'une comparaison qualitative. Utilisez la formule donnée au début de la question.

▶ 5. Servez-vous de la formule démontrée dans la question 3. b.

▶ 7. Calculez la puissance perdue par effet Joule sur l'ensemble du réseau et non pas sur une seule branche.

Aide à la résolution de la question 8. b

sciT_2100_00_03C_04

Partie 1 • Le réseau électrique français

▶ 1. D'après le document 2, le métal le plus conducteur est l'argent. Mais si on confectionnait les fils conducteurs d'un réseau aussi vaste que le réseau français en argent, le prix d'un tel réseau serait exorbitant. Ceci conduit à choisir un autre métal pour la fabrication des fils.

▶ 2. a) La longueur l des deux fils est la même et ils sont tous deux en cuivre. On peut donc exprimer les résistances R1 et R2 des deux fils :

R1=ρ×lS1 et R2=ρ×lS2

D'autre part, on constate que la résistance R est inversement proportionnelle à la section S d'un fil : plus S est grand et plus R sera faible. D'où :

Puisque S2S1, alors on peut écrire : 1S21S1 et ρlS2ρlS1

D'où finalement : R2  R1

Un fil de section plus élevée résiste donc moins qu'un fil plus fin.

b) R(Cu)=ρ(Cu)×lS

R(Cu)=1,7×108×50×10320×106=43 Ω

La résistance d'un tel fil est de 43 Ω.

à noter

Il faut convertir certaines données avant d'effectuer les calculs. Il faut aussi donner la réponse avec deux chiffres significatifs.

c) Les lignes de haute tension du réseau électrique français ont une longueur L = 100 000 km.

On applique la formule donnée pour la résistance :

R=ρ(Cu)×LS=1,7×108×100×10620×106=85×103 Ω

La résistance du réseau de haute tension français serait de 85 × 103 Ω.

Partie 2 • Minimiser les pertes d'énergie

▶ 3. a) L'effet Joule est la conversion de l'énergie électrique en énergie thermique dans un conducteur. Il résulte des résistances des fils électriques du réseau. Sa conséquence est la baisse de la tension électrique entre la source (la centrale) et la cible (le consommateur), lors du transport de l'énergie électrique.

Pour remédier à cette baisse de tension, on utilise des transformateurs « élévateurs de tension » placés juste après les sources. Une fois l'énergie électrique arrivée à proximité du consommateur, on utilise des transformateurs « abaisseurs de tension » pour que la tension électrique qui lui est fournie soit adaptée à ses besoins (230 V).

b) La puissance P est donnée par la formule suivante : P = U × I

D'autre part, pour un conducteur ohmique de résistance R, la loi d'Ohm s'écrit : U = R × I

En remplaçant l'expression de la tension U dans la formule de la puissance P par la loi d'Ohm, on obtient la puissance dissipée par effet Joule PJ :

PJ = U × I = R × I × I = R × I2

D'où finalement : PJ = R × I2

▶ 4. On représente le réseau par le graphe orienté suivant, où S1 et S2 sont les deux centrales (les sources) et C3 et C4 les immeubles et le lotissement (les cibles). Le distributeur joue le rôle du nœud dans ce graphe.

sciT_2100_00_03C_05

▶ 5. D'après le document 3, les pertes par effet Joule sont évaluées à 5 % de la puissance utile, donc :

mot clé

Il faut d'abord déduire la valeur de la puissance dissipée par effet Joule de celle de la puissance utile pour chaque cible en se référant au document 3.

PJ3=5100×5,0×106=2,5×105 W

PJ4=5100×1,0×106=5,0×104 W

On utilise l'expression de la puissance dissipée par effet Joule trouvée dans la question 3 pour calculer les intensités.

I3 = PJ3R3=2,5×1054,0 = 250 A

I4 = PJ4R4=5,0×1045,0 = 100 A

▶ 6. D'après la loi des nœuds en D : I1I2 = I3I4

D'où : I1I2 = 250 + 100 = 350 A

Et : I1 = 350 – I2

▶ 7. La puissance perdue par effet Joule sur l'ensemble du réseau est égale à la somme des puissances perdues par effet Joule sur chaque branche du circuit :

PJ(I1) = PJ1 + PJ2PJ3PJ4

D'après l'énoncé et les expressions et valeurs trouvées aux questions 5 et 6, on obtient :

PJ(I1) = 20I12 + 10 × (350 – I1)2 + 300 000

8. a) D'après le graphique, la puissance dissipée par effet Joule serait minimale pour I1 ≈ 120 A.

mot clé

La forme canonique est la forme du polynôme du second degré qui fait apparaître les coordonnées du sommet de sa parabole.

b) D'après le logiciel de calcul formel, on obtient :

PJI1=30I135032+3 350 0003

La fonction P est minimale lorsque I135032 est minimal, c'est-à-dire lorsque I13503=0 soit I1=3503117 A.

On a alors une puissance dissipée par effet Joule :

PJ=3 350 00031,12×106 W=1,12 MW

Remarque : Pour les élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité Mathématiques en Première, pour la dernière question, il aurait aussi été possible de dériver la fonction P pour le minimiser et trouver I1.

PJ(I1) = 30I12 – 7 000I1 + 1 525 000

Ainsi : PJ(I1)=60I17 000

En égalisant PJ à zéro, on trouve I1 = 117 A.

Tableau de 3 lignes, 6 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : I1; 0; ; 3503; ; 350; Ligne 2 : Signe de P′J(I1); ; +; 0; -; ; Ligne 3 : Variations de PJ; ; ; ; ; ;

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