Partie 1 • Le réseau électrique français

▶ 1. D'après le document 2, le métal le plus conducteur est l'argent. Mais si on confectionnait les fils conducteurs d'un réseau aussi vaste que le réseau français en argent, le prix d'un tel réseau serait exorbitant. Ceci conduit à choisir un autre métal pour la fabrication des fils.

▶ 2. a) La longueur l des deux fils est la même et ils sont tous deux en cuivre. On peut donc exprimer les résistances R₁ et R₂ des deux fils :

$R_1=\text{ρ}\times \frac{\mathcal{l}}{S_1}$ et $R_2=\text{ρ}\times \frac{\mathcal{l}}{S_2}$

D'autre part, on constate que la résistance R est inversement proportionnelle à la section S d'un fil : plus S est grand et plus R sera faible. D'où :

Puisque S₂ > S₁, alors on peut écrire : $\frac{1}{S_2}\frac{1}{S_1}$ et $\frac{\text{ρ}\mathcal{l}}{S_2}\frac{\text{ρ}\mathcal{l}}{S_1}$

D'où finalement : R₂  R₁

Un fil de section plus élevée résiste donc moins qu'un fil plus fin.

b) $R_{(\text{Cu})}={\text{ρ}}_{(\text{Cu})}\times \frac{\mathcal{l}}{S}$

$R_{(\text{Cu})}=\mathrm{1,7}\times {10}^{-8}\times \frac{50\times {10}^3}{20\times {10}^{-6}}=\text{43 }\text{Ω}$

La résistance d'un tel fil est de 43 Ω.

c) Les lignes de haute tension du réseau électrique français ont une longueur L = 100 000 km.

On applique la formule donnée pour la résistance :

$R={\text{ρ}}_{(\text{Cu})}\times \frac{L}{S}=\mathrm{1,7}\times {10}^{-8}\times \frac{100\times {10}^6}{20\times {10}^{-6}}=85\times {10}^3 \text{Ω}$

La résistance du réseau de haute tension français serait de 85 × 10³ Ω.

Partie 2 • Minimiser les pertes d'énergie

▶ 3. a) L'effet Joule est la conversion de l'énergie électrique en énergie thermique dans un conducteur. Il résulte des résistances des fils électriques du réseau. Sa conséquence est la baisse de la tension électrique entre la source (la centrale) et la cible (le consommateur), lors du transport de l'énergie électrique.

Pour remédier à cette baisse de tension, on utilise des transformateurs « élévateurs de tension » placés juste après les sources. Une fois l'énergie électrique arrivée à proximité du consommateur, on utilise des transformateurs « abaisseurs de tension » pour que la tension électrique qui lui est fournie soit adaptée à ses besoins (230 V).

b) La puissance P est donnée par la formule suivante : P = U × I

D'autre part, pour un conducteur ohmique de résistance R, la loi d'Ohm s'écrit : U = R × I

En remplaçant l'expression de la tension U dans la formule de la puissance P par la loi d'Ohm, on obtient la puissance dissipée par effet Joule P_J :

P_J = U × I = R × I × I = R × I²

D'où finalement : P_J = R × I²

▶ 4. On représente le réseau par le graphe orienté suivant, où S₁ et S₂ sont les deux centrales (les sources) et C₃ et C₄ les immeubles et le lotissement (les cibles). Le distributeur joue le rôle du nœud dans ce graphe.

▶ 5. D'après le document 3, les pertes par effet Joule sont évaluées à 5 % de la puissance utile, donc :

$P_{\text{J}3}=\frac{5}{100}\times \mathrm{5,0}\times {10}^6=\mathrm{2,5}\times {10}^5\text{ W}$

$P_{\text{J}4}=\frac{5}{100}\times \mathrm{1,0}\times {10}^6=\mathrm{5,0}\times {10}^4\text{ W}$

On utilise l'expression de la puissance dissipée par effet Joule trouvée dans la question 3 pour calculer les intensités.

I₃ = $\sqrt[]{\frac{P_{\text{J}3}}{R_3}}=\sqrt[]{\frac{\mathrm{2,5}\times {10}^5}{\mathrm{4,0}}}$ = 250 A

I₄ = $\sqrt[]{\frac{P_{\text{J}4}}{R_4}}=\sqrt[]{\frac{\mathrm{5,0}\times {10}^4}{\mathrm{5,0}}}$ = 100 A

▶ 6. D'après la loi des nœuds en D : I₁ + I₂ = I₃ + I₄

D'où : I₁ + I₂ = 250 + 100 = 350 A

Et : I₁ = 350 – I₂

▶ 7. La puissance perdue par effet Joule sur l'ensemble du réseau est égale à la somme des puissances perdues par effet Joule sur chaque branche du circuit :

P_J(I₁) = P_J1 + P_J2 + P_J3 + P_J4

D'après l'énoncé et les expressions et valeurs trouvées aux questions 5 et 6, on obtient :

P_J(I₁) = 20I₁² + 10 × (350 – I₁)² + 300 000

▶ 8. a) D'après le graphique, la puissance dissipée par effet Joule serait minimale pour I₁ ≈ 120 A.

b) D'après le logiciel de calcul formel, on obtient :

$P_{\text{J}}\left(I_1\right)=30{\left(I_1-\frac{350}{3}\right)}^2+\frac{\text{3 350 000}}{3}$

La fonction P est minimale lorsque ${\left(I_1-\frac{350}{3}\right)}^2$ est minimal, c'est-à-dire lorsque $I_1-\frac{350}{3}=0$ soit $I_1=\frac{350}{3}\approx \text{117 A}$.

On a alors une puissance dissipée par effet Joule :

$P_{\text{J}}=\frac{3\text{ 350 000}}{3}\approx \mathrm{1,12}\times {10}^6\text{ W}=\text{1,12 MW}$

Remarque : Pour les élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité Mathématiques en Première, pour la dernière question, il aurait aussi été possible de dériver la fonction P pour le minimiser et trouver I₁.

P_J(I₁) = 30I₁² – 7 000I₁ + 1 525 000

Ainsi : ${P^{\prime }}_{\text{J}}(I_1)=60I_1-\text{7 000}$

En égalisant ${P^{\prime }}_{\text{J}}$ à zéro, on trouve I₁ = 117 A.