Partie A

▶ 1. Construire l'intersection d'une droite et d'un plan

Nous avons $(\text{HK})\subset (\text{FHK})$.

Dans le plan $(\text{AEH})$, les droites $(\text{EA})$ et $(\text{HD})$ sont parallèles. La droite $(\text{HK})$ coupe $(\text{HD})$ en H. Or, dans un plan, si deux droites sont parallèles, toute sécante à l'une est sécante à l'autre. Par conséquent, la droite $(\text{HK})$ coupe $(\text{EA})$ en M.

Ainsi, le point $\text{M}$, intersection du plan $(\text{FHK})$ et de la droite $(\text{EA})$, est le point d'intersection des droites $(\text{HK})$ et $(\text{EA})$.

▶ 2. Construire la section d'un cube par un plan

Les plans (FHK) et P sont parallèles ils coupent donc le plan (EHF) selon deux droites parallèles : (HF) et (IJ). On trace le segment [IJ].

Les plans (FHK) et P sont parallèles et sont tous deux coupés par le plan (AEH). Les droites d'intersection sont parallèles.

On trace donc la parallèle à (HK) passant par J.

Elle coupe le segment [AE] en un point Q. On trace le segment [QI].

La section cherchée est délimitée par le triangle $\text{IJQ}$.

Partie B

▶ 1. a) Montrer qu'un vecteur est normal à un plan

Pour que $\overrightarrow{n}$ soit normal au plan (FHK), il suffit qu'il soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (FHK). Or les vecteurs $\overrightarrow{\text{FH}}$ et $\overrightarrow{\text{FK}}$ sont deux vecteurs directeurs du plan (FHK).

On a :

$\overrightarrow{\text{FH}}\left|\begin{array}{l}{x}_{\text{H}}-x_{\text{F}}=0-1=-1\\ y_{\text{H}}-y_{\text{F}}=1-0=1\\ z_{\text{H}}-z_{\text{F}}=1-1=0\end{array}\right.\text{ et }\overrightarrow{\text{FK}}\left|\begin{array}{l}{x}_{\text{K}}-x_{\text{F}}=0-1=-1\\ y_{\text{K}}-y_{\text{F}}=\mathrm{0,25}-0=\mathrm{0,25}\\ z_{\text{K}}-z_{\text{F}}=0-1=-1\end{array}\right.$.

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{FH}}=4\times (-1)+4\times 1+(-3)\times 0=0$

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\text{FK}}=4\times (-1)+4\times \mathrm{0,25}+(-3)\times (-1)=0$

On en conclut que le vecteur $\overrightarrow{n}(\text{4};\text{4};-3)$ est normal au plan $(\text{FHK}).$

b) Déterminer une équation cartésienne de plan

$\overrightarrow{n}(\text{4};\text{4};-3)$ est un vecteur normal au plan (FHK).

Par conséquent, une équation cartésienne de (FHK) est 4x + 4y - 3z + d = 0 où d est un réel à déterminer.

Puisque le point F appartient au plan (FHK), il vient :

4x_F + 4y_F - 3z_F + d = 0 ⇔ 4 + 0 - 3 + d = 0 ⇔ d = - 1.

Une équation cartésienne de $(\text{FHK})$ est donc 4$x+4y-3z-1=0.$

c) Déterminer une équation cartésienne d'un plan parallèle à un autre

Les plans P et (FHK) sont parallèles donc ils ont un même vecteur normal $\overrightarrow{n}(\text{4};\text{4};-3)$. Une équation de P est donc 4x + 4y - 3z + d = 0 où d est un réel à déterminer. Puisque le point I appartient au plan P :

4x_I + 4y_I - 3z_I + d = 0 ⇔ 2 + 0 - 3 + d = 0 ⇔ d = 1.

Une équation cartésienne de P est donc 4$x+4y-3z+1=0.$

d) Déterminer les coordonnées d'un point d'intersection

Les plans P et (FHK) sont parallèles. Toute droite sécante à l'un est sécante à l'autre. D'après la question 1. de la partie A, (FHK) et (AE) sont sécants en M. Par conséquent, P et (AE) sont sécants en un point que l'on notera M′.

La droite (AE) passe par le point A(0 ; 0 ; 0) et admet pour vecteur directeur $\overrightarrow{\text{AE}}(\text{0 };\text{ 0 };\text{ 1})$.

Une représentation paramétrique de la droite (AE) est donc donnée par :

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=x_{\text{A}}+x_{\overrightarrow{\text{AE}}}\times t=0+0\times t=0\\ y=y_{\text{A}}+y_{\overrightarrow{\text{AE}}}\times t=0+0\times t=0\\ z=z_{\text{A}}+z_{\overrightarrow{\text{AE}}}\times t=0+1\times t=t\end{array}\right.,t\in \text{ℝ}.\\ \text{ M′}(x;y;z)\in (\text{AE})\cap \mathcal{P}\iff \left\{\begin{array}{l}4x+4y-3z+1=0\\ x=0\\ y=0\\ z=t\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}4\times 0+4\times 0-3t+1=0\\ x=0\\ y=0\\ z=t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t=\frac{1}{3}\\ x=0\\ y=0\\ z=\frac{1}{3}\end{array}\right.\end{array}$

Le point M′, intersection de (AE) et P, a pour coordonnées $\text{M′}\left(\text{0};\text{0};\frac{1}{3}\right)$.

▶ 2. a) Déterminer une représentation paramétrique de droite

La droite Δ est orthogonale au plan P. Le vecteur $\overrightarrow{n}(\text{4};\text{4};-3)$, normal au plan P, est aussi un vecteur directeur de Δ. Puisque la droite Δ passe par le point E(0 ; 0 ; 1), une représentation paramétrique de Δ est donnée par :

$\left\{\begin{array}{l}x=x_{\text{E}}+x_{\overrightarrow{n}}\times t=0+4\times t=4t\\ y=y_{\text{E}}+y_{\overrightarrow{n}}\times t=0+4\times t=4t\\ z=z_{\text{E}}+z_{\overrightarrow{n}}\times t=1-3\times t=1-3t\end{array}\right.,t\in \text{ℝ}\text{.}$

Ainsi, la droite Δ admet pour représentation paramétrique :

$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=4t\\ z=1-3t\end{array}\right., t\in \text{ℝ}\text{.}$

b) Déterminer les coordonnées d'un point d'intersection

Un vecteur normal au plan (ABC) est $\overrightarrow{\text{AE}}(\text{0};\text{0};\text{1})$. Un vecteur directeur de Δ est $\overrightarrow{n}(\text{4};\text{4};-3)$.

$\overrightarrow{\text{AE}}\cdot \overrightarrow{n}=0\times 4+0\times 4+1\times (-3)\ne 0.$

Les vecteurs $\overrightarrow{\text{AE}}$ et $\overrightarrow{n}$ ne sont pas orthogonaux donc le plan (ABC) et la droite Δ ne sont pas parallèles. Ils sont donc sécants en un point que nous noterons L.

Puisqu'un vecteur normal au plan (ABC) est $\overrightarrow{\text{AE}}(\text{0};\text{0};\text{1})$, une équation cartésienne de (ABC) est z + d = 0 où d est un réel à déterminer. Puisque le point A(0 ; 0 ; 0) appartient au plan (ABC), il vient :

z_A + d = 0 ⇔ 0 + d = 0 ⇔ d = 0.

Une équation cartésienne de $(\text{ABC})$ est donc $z=0.$

Déterminons maintenant les coordonnées du point L.

$\text{L}(x;y;z)\in (\text{ABC})\cap \text{Δ}\iff \left\{\begin{array}{l}z=0\\ x=4t\\ y=4t\\ z=1-3t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}z=0\\ x=4t\\ y=4t\\ 0=1-3t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}z=0\\ x=\frac{4}{3}\\ y=\frac{4}{3}\\ t=\frac{1}{3}\end{array}\right.$.

Le point $\text{L}$ a donc pour coordonnées $\left(\frac{4}{3};\frac{4}{3};\text{0}\right)$.

c) Tracer une droite

d) Étudier les positions relatives de droites

La droite Δ = (EL) coupe le plan (BFL) en L qui n'est pas sur (BF) et E n'appartient pas au plan (BFL). Par conséquent les droites (BF) et (EL) ne sont pas coplanaires et ne peuvent donc pas être sécantes. $(\text{BF})$ et $∆$ ne sont donc pas sécantes.

Une représentation paramétrique de Δ est :

$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=4t\\ z=1-3t\end{array}\right., t\in \text{ℝ}\text{.}$

Une représentation paramétrique de (CG), parallèle à (AE) passant par C, est :

$\left\{\begin{array}{l}x=1+0\times k=1\\ y=1+0\times k=1\\ z=0+1\times k=k\end{array}\right.,k\in \text{ℝ}\text{.}$

En résolvant le système d'équations formé par les représentations paramétriques des deux droites, on trouve $t=\mathrm{0,25}$, $k=\mathrm{0,25}$, $x=1$, $y=1$ et $z=\mathrm{0,25}$.

Les deux droites Δ et (CG) sont sécantes en le point de coordonnées $(\text{1};\text{1};\text{0,25})$.