▶ 1. a) Calculer une dérivée

f est un produit de fonctions u et v dérivables sur ]0 ; 1] donc f est dérivable sur ]0 ; 1]. On définit sur ]0 ; 1] les fonctions u et v par $u(x)=x$ et $v(x)={(1-\text{ln}(x))}^2$. On a alors $u^{\prime }(x)=1$ et $v^{\prime }(x)=2(1-\text{ln}(x))\times \left(-\frac{1}{x}\right)$.

Pour tout x ∈]0 ; 1] :

$\begin{array}{c}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=u^{\text{'}}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\text{'}}\left(x\right)\\ ={(1-\text{ln}(x\left)\right)}^2+x\times 2(1-\text{ln}(x\left)\right)\times \left(-\frac{1}{x}\right)\\ =(1-\text{ln}(x\left)\right)\left[(1-\text{ln}(x\left)\right)-2\right]\\ =(1-\text{ln}(x\left)\right)(-1-\text{ln}(x\left)\right)=\left(\text{ln}\right(x)-1)\left(\text{ln}\right(x)+1).\end{array}$

b) Étudier les variations d'une fonction

Pour tout x $\in ]\text{0};\text{1}]$, ln(x) ≤ 0 donc $\ln (x)-1\le -1<mn>0</mn>$.

Pour tout x ∈]0 ; 1], $\text{ln}(x)+1=0\iff \ln (x)=-1\iff x={\text{e}}^{-1}=\frac{1}{\text{e}}$.

$\text{ln}(x)+1>0\iff \ln (x)>-1\iff x>\frac{1}{\text{e}}$.

Nous obtenons donc :

$f(1)=1\times {(1-\ln (1))}^2={(1-0)}^2=1$.

$f\left(\frac{1}{\text{e}}\right)=\frac{1}{\text{e}}\times {\left(1-\ln \left(\frac{1}{\text{e}}\right)\right)}^2=\frac{1}{\text{e}}\times {(1+1)}^2=\frac{4}{\text{e}}.$

$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$ (donnée de l'énoncé).

▶ 2. a) Estimer graphiquement l'aire d'un triangle

Graphiquement, il semble que nous ayons OP_0,2 = 2,6 et ON_0,2 = 0,52.

Par conséquent, l'aire du triangle ON_0,2P_0,2 serait, en unités d'aire, égale à :

$\frac{{\text{OP}}_{\mathrm{0,2}}\times {\text{ON}}_{\mathrm{0,2}}}{2}=\frac{\mathrm{2,6}\times \mathrm{0,52}}{2}$$=\text{0,676}$ u.a.

b) Déterminer une équation de tangente

d_0,2 est la tangente à la courbe Γ au point M_0,2. Γ est la courbe représentative de la fonction g qui n'est autre que la fonction logarithme népérien. Cette fonction est dérivable sur ]0 ; 1]. Une équation de d_0,2 est donc donnée par la formule $y=g^{\prime }(\mathrm{0,2})(x-\mathrm{0,2})+g(\mathrm{0,2})$.

Pour tout x ∈]0 ; 1], $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ donc $g^{\prime }(\mathrm{0,2})=\frac{1}{\mathrm{0,2}}=5$ ;

ensuite $g(\mathrm{0,2})=\ln (\mathrm{0,2})=\ln \left(\frac{1}{5}\right)=-\text{ln}(5)$. Finalement :

$y=g^{\prime }(\mathrm{0,2})(x-\mathrm{0,2})+g(\mathrm{0,2})=5(x-\mathrm{0,2})-\ln (5)=5x-1-\text{ln}(5)$.

Une équation de la tangente d_0,2 est donc $y=5x-1-\text{ln}(5)$.

c) Calculer la valeur exacte de l'aire d'un triangle

Pour calculer la valeur exacte de l'aire du triangle ON_0,2P_0,2, il faut au préalable déterminer les coordonnées des points N_0,2 et P_0,2 qui sont les points d'intersection de la droite d_0,2 respectivement avec l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

Nous avons $x_{{\text{P}}_{\mathrm{0,2}}}=0\text{et}{y}_{{\text{P}}_{\mathrm{0,2}}}=5x_{P_{\mathrm{0,2}}}-1-\ln (5)=-1-\ln (5)$.

Par conséquent, ${\text{OP}}_{\mathrm{0,2}}=$ $\left|-1-\text{ln}(5)\right|=$ $1+\text{ln}(5)$.

Nous avons $y_{{\text{N}}_{\mathrm{0,2}}}=0\text{et}{y}_{{\text{N}}_{\mathrm{0,2}}}=5x_{{\text{N}}_{\mathrm{0,2}}}-1-\ln (5)$ donc $x_{{\text{N}}_{\mathrm{0,2}}}=\frac{1+\ln (5)}{5}$. Par conséquent, ${\text{ON}}_{\mathrm{0,2}}=\frac{1+\ln (5)}{5}$.

Finalement, la valeur exacte de l'aire du triangle ${\text{ON}}_{\mathrm{0,2}}{\text{P}}_{\mathrm{0,2}}$, en unités d'aire, est égale à :

$\frac{{\text{OP}}_{\mathrm{0,2}}\times {\text{ON}}_{\mathrm{0,2}}}{2}=\frac{1}{2}(1+\ln (5))\times \frac{1+\ln (5)}{5}=$$\frac{{[1+\ln (5)]}^2}{10} \text{u}.\text{a}.$

▶ 3. Optimiser une aire

D'après l'énoncé, pour tout réel a de l'intervalle ]0 ; 1], l'aire du triangle ON_aP_a est donnée par $\mathcal{A}(a)=\frac{1}{2}a{(1-\ln (a))}^2$. En exploitant la fonction f de la question 1., nous remarquons que :

$\mathcal{A}(a)=\frac{1}{2}a{(1-\ln (a))}^2=\frac{1}{2}f(a).$

D'après le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; 1] de la question 1. b), nous constatons que le maximum de f sur ]0 ; 1] est $f\left(\frac{1}{\text{e}}\right)=\frac{4}{\text{e}}$. Par conséquent, l'aire $\mathcal{A}(a)$ du triangle ${\text{ON}}_a{\text{P}}_a$ est maximale pour $a=\frac{1}{\text{e}}$ et est égale à $\frac{1}{2}\times \frac{4}{\text{e}}=\frac{2}{\text{e}} \text{u}.\text{a}.$