▶ 1. Le triangle BCD est rectangle en B donc d'après le théorème de Pythagore, on a :

BC² + BD² = CD²

7,5² + BD² = 8,5²

56,25 + BD² = 72,25

BD² = 72,25 – 56,25 = 16

BD = $\sqrt[]{16}=\boxed{4\text{ cm}}$.

▶ 2. Calculons les rapports de longueurs dans les deux triangles :

$\frac{\text{BC}}{\text{BF}}=\frac{\mathrm{7,5}}{6}=\text{1,25 };\frac{\text{BD}}{\text{FE}}=\frac{4}{\mathrm{3,2}}=\text{1,25 };\frac{\text{CD}}{\text{BE}}=\frac{\mathrm{8,5}}{\mathrm{6,8}}=\mathrm{1,25}$.

Les quotients sont égaux donc les triangles BCF et BFE sont semblables.

▶ 3. [BE] est le plus grand côté.

D'une part : BE² = 6,8² = 46,24.

D'autre part : BF² + FE² = 6² + 3,2² = 46,24.

Donc : BE² = BF² + FE².

Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle BFE est rectangle en F.

▶ 4. Le triangle BCD est rectangle en B, on a donc :

$\cos (\widehat{\text{BCD}})= \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\frac{\text{BC}}{\text{CD}}=\frac{\mathrm{7,5}}{\mathrm{8,5}}$.

Et $\widehat{\text{BCD}}=\arccos \left(\frac{\mathrm{7,5}}{\mathrm{8,5}}\right)\approx$ 28°.

Or $\widehat{\text{ACD}}=\widehat{\text{ACB}}+\widehat{\text{BCD}}\approx 61°+28°\approx 89°$, donc l'angle $\widehat{\text{ACD}}$ n'est pas droit.