Annale corrigée Exercice

Triangles

France métropolitaine • Juin 2018

Exercice 4 • 14 points

Triangles

La figure ci-dessous n'est pas représentée en vraie grandeur.

Les points C, B et E sont alignés.

Le triangle ABC est rectangle en A.

Le triangle BDC est rectangle en B.

mat3_1806_07_01C_04

1. Montrer que la longueur BD est égale à 4 cm.

2. Montrer que les triangles CBD et BFE sont semblables.

3. Sophie affirme que l'angle BFE^ est un angle droit. A-t-elle raison ?

4. Max affirme que l'angle ACD^ est un angle droit. A-t-il raison ?

Les clés du sujet

Points du programme

Théorème direct et réciproque de Pythagore • Triangles semblables • Trigonométrie.

Nos coups de pouce

4. Utilise une formule adéquate de trigonométrie pour calculer l'angle.

rappel

Le triangle BCD est rectangle en B, utilise le théorème de Pythagore.

1. Le triangle BCD est rectangle en B donc d'après le théorème de Pythagore, on a :

BC2 + BD2 = CD2

7,52 + BD2 = 8,52

56,25 + BD2 = 72,25

BD2 = 72,25 – 56,25 = 16

BD = 16= 4 cm.

2. Calculons les rapports de longueurs dans les deux triangles :

BCBF=7,56=1,25 ; BDFE=43,2=1,25 ; CDBE=8,56,8=1,25.

Les quotients sont égaux donc les triangles BCF et BFE sont semblables.

remarque

Les triangles BCF et BFE sont semblables, leurs angles sont donc égaux deux à deux, en particulier BFE^=CBD^=90°.

3. [BE] est le plus grand côté.

D'une part : BE2 = 6,82 = 46,24.

D'autre part : BF2 + FE2 = 62 + 3,22 = 46,24.

Donc : BE2 = BF2 + FE2.

Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle BFE est rectangle en F.

4. Le triangle BCD est rectangle en B, on a donc :

cos(BCD^)= côté adjacenthypoténuse=BCCD=7,58,5.

Et BCD^=arccos7,58,5 28°.

Or ACD^=ACB^+BCD^61°+28°89°, donc l'angle ACD^ n'est pas droit.

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