▶ 1. Le plus grand côté de AEB est [AB] donc AB² = 5,5² = 30,25.

D’autre part, AE² + EB² = 4,4² + 3,3² = 30,25.

Donc AB² = AE² + EB² et, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, AEB est rectangle en E.

▶ 2. Le triangle ABE est rectangle en E, donc on peut utiliser les formules de trigonométrie. Comme on connaît toutes les longueurs de ce triangle, on peut utiliser les trois formules de trigonométrie.

Par exemple $\cos \left(\widehat{\text{ABE}}\right)=\frac{\text{EB}}{\text{AB}}=\frac{\mathrm{3,3}}{\mathrm{5,5}}$, donc $\widehat{\text{ABE}}=\arccos \left(\frac{\mathrm{3,3}}{\mathrm{5,5}}\right)$.

On a alors $\widehat{\text{ABE}}\approx 53\text{°}$.

▶ 3. Dans les triangles EBA et EDF on a : E, A et F sont alignés ; E, B et D sont alignés et (AB) est parallèle à (FD).

On peut utiliser le théorème de Thalès : $\frac{\text{EA}}{\text{EF}}=\frac{\text{AB}}{\text{FD}}=\frac{\text{EB}}{\text{ED}}$, et en remplaçant les longueurs connues $\frac{\mathrm{4,4}}{\text{EF}}=\frac{\mathrm{5,5}}{\text{FD}}=\frac{\mathrm{3,3}}{\text{ED}}$.

Vu que E, B et D sont alignés dans cet ordre, alors : ED = EB + BD = 3,3 cm + 6,6 cm = 9,9 cm.

On en déduit que $\frac{\mathrm{5,5}}{\text{FD}}=\frac{\mathrm{3,3}}{\mathrm{9,9}}$ donc FD = 5,5 × 9,9 ÷ 3,3 = 16,5 cm.

▶ 4. Cette homothétie envoie le côté [EB] sur le côté correspondant [ED].

Si on note k le rapport d’homothétie, alors ED = k × EB soit k = ED ÷ EB, donc k = 9,9 ÷ 3,3 = 3.

On en déduit que le rapport d’homothétie k est égal à 3.